『新しい計量経済学』鹿野研究室 slide24

(1)

計量経済学#24

IV

推定：応用編

(1)

鹿野繁樹

大阪府立大学

2017年12月更新

(2)

Outline

1 識別条件：複数の内生変数と操作変数

2 需要曲線・供給曲線のIV推定

テキスト：鹿野繁樹 [2015]、第13.1章・第13.2章。

前回の復習

(3)

Section 1 識別条件：複数の内生変数と操作変数

(4)

過小識別

重回帰で、複数の説明変数が内生変数のとき、どうすればよい？

説明変数がk= 3個のモデル

Yi =α+β1X1_i+β2X2_i+β3X3_i+u_iを考える。⇒誤差項は

ui =Yi−E(Yi|X1i, X2i, X3i)

=Yi−α−β1X1_i−β2X2_i−β3X3_i. (1)

未知の回帰係数はα，β1，β2，β3の四つ。

一方、適当な推定量を当てはめたときの残差を、一般的に

ˆ

(5)

(1)式に関し、次式を仮定。

E(ui) = 0, E(uiX1i) = 0, E(uiX2i)= 0, E(uiX3i)= 0.

内生⇒直交しない

(3)

(X1_i, X2_i, X3_i)のうちX2_iとX3_iは内生変数。直交条件が部分的に不成立。

この段階で使える母集団モーメントと、それに対応する標本

モーメントは

E(ui) = 0 ⇒

1

n

ˆ

ui = 0, (4)

E(uiX1_i) = 0 ⇒

1

n

ˆ

uiX1_i = 0 (5)

だけ。未知数（係数）の数= 4に対し、方程式の数= 2。

∴係数の値が定まらない！これを過小識別と呼ぶ。

(6)

過小識別とは推定以前の問題、「問題外」の状況。

全てのパラメータを特定するために必要な条件が不十分⇒内

生変数を間引かない限り、推定ができない。

重回帰分析における多重共線性（この講義の前半）と、よく似た問題。

OLS推定量の内生性バイアス（講義ノート#22）は、「本来成

立しないはずの、間違った条件式を使ったことによるバイア

(7)

丁度識別

もしここで(1)式に関し二つの操作変数

E(uiZ1i) = 0, E(uiZ2i) = 0 (6)

が存在するならば、利用可能なモーメント条件は

E(ui) = 0 ⇒

1

n

ˆ

ui = 0, (7)

E(uiX1i) = 0 ⇒

1

n

ˆ

uiX1i = 0, (8)

E(uiZ1i) = 0 ⇒

1

n

ˆ

uiZ1i = 0, (9)

E(uiZ2i) = 0 ⇒

1

n

ˆ

uiZ2i = 0. (10)

係数の数= 4と方程式の数= 4が一致！

全ての係数推定値が一意に定まり、丁度識別される。

上の連立方程式の解が、IV推定量。

(8)

モーメント推定では、利用できる母集団・標本モーメントの次元と、推定すべきパラメータの次元を意識すること。

(9)

過剰識別：

2SLS

の利用

三つの操作変数(Z1_i, Z2_i, Z3_i)が使えるとき、(7)式から(10)式で構成されるモーメント条件に

E(uiZ3i) = 0 ⇒

1

n

ˆ

uiZ3i = 0 (11)

が加わる。

条件式の総数は5本、未知係数の数4を上回る。過剰識別の

状態。

(10)

過剰識別の場合は、2SLSにより全操作変数を一度に使うと推定精度が上がる。

すなわち

1 X₂_iとX3iをそれぞれ(X1i, Z1i, Z2i, Z3i)に重回帰し、OLS予測値Xˆ2i，Xˆ3i を求める。

2 _Y_iを(X1_i,Xˆ2_i,Xˆ3_i)に重回帰し、回帰係数α，β1，β2，β3を

OLS推定。

注意：第一ステージのOLSで、X1iを説明変数に含める。X1i はu_iと無相関の外生変数なので、操作変数(Z1i, Z2i, Z3i)と並列的に扱われる。

「第一ステージは、全ての内生変数を全ての外生変数に回帰

(11)

重回帰モデルの識別条件のまとめ。

Remark 1

内生的な説明変数を含む重回帰モデルの，識別条件と推定法

1 _{過小識別：係数の数}_>_{モーメント条件の数．}⇒_{推定不可能．}

（間違ったモーメント条件を使って無理に推定すると，内生性

バイアス発生．）

2 過剰識別：係数の数=モーメント条件の数．⇒ IV（2SLS）で推定．

3 過剰識別：係数の数<モーメント条件の数．⇒ 2SLSで推定．

(12)

Section 2

(13)

市場均衡モデルの構造型と誘導型

市場取引の価格・数量データから、市場均衡モデルにおける需要

曲線・供給曲線をIV推定する方法を考る。

市場均衡モデルは、同時方程式モデル（講義ノート#22）の

一例。

(14)

ある財の市場iにおける需要・供給曲線を以下に仮定。

需要曲線: Y_i =α0+α1Xi+ui, (D) 供給曲線: Y_i =β0 +β1Xi+vi. (S)

Xiは価格、Y_iは数量。⇒上式の均衡点でその水準が決定されるの

で、内生変数と呼ぶ。

係数の符号は、理論上α1 <0、β1 >0。

(ui, vi)は確率的な誤差。市場iごとの消費者の選好の違いや、

企業の技術水準の違いを表す。

(D)式と(S)式は市場均衡の仕組みを描写した、経済学上の意

味のある表現。一般に構造型（こうぞうけい）あるいは構造

(15)

市場均衡モデルに基づけば、市場取引データの観測は、均衡価格と均衡数量の組み合わせ(X_i, Y_i)。

図1A：右下がりの需要曲線(D)式と右上がりの供給曲線(S)

式を示すグラフ。

経済学の伝統：横軸に数量Y_i、縦軸に価格X_i。

市場ごとに(u_i, v_i)が異なる⇒グラフ上の需要・供給曲線のロケーションもいろいろ。∴均衡点(X_i, Y_i)のバリエーション。 i= 1,2, . . . , nの市場に関し(X_i, Y_i)を観測すれば、図1Bのよ

うな散布図を得る。

(16)

A

X

S1

S2 S3

S3

D1 D2

D3 D4

B

(17)

構造型を内生変数X_i，Y_iについて解く。⇒均衡価格と均衡数量の

ペア、誘導型

均衡価格: X_i =−

(α0 −β0)

(α1 −β1) =γ1

−(ui−vi) (α1−β1)

=ǫi

=γ1+ǫ_i, (12)

均衡数量: Y_i =β0+β1γ1 =_γ₂

+vi+β1ǫi

=ξi

=γ2+ξi. (13)

を得る。

誘導型は、ある市場iの均衡点(X_i, Y_i)がグラフ上のどこに現れるかを示す、直接的なデータ発生プロセスの表現。

二つの誤差項(u_i, v_i)の実現値の違いにより、市場ごとの均衡価格・均衡数量の水準が説明される。

(18)

OLS

の同時性バイアス

需要曲線あるいは供給曲線を推定する「つもり」で、散布図

(Xi, Yi)に回帰直線をフィットさせれば、OLS

b= SXY

SXX

= sXY

s2

X

(14)

を得る。

このbは、需要曲線の傾きα1と供給曲線の傾きβ1、どちらを推定するか？

(19)

準備：需要曲線(D)式と供給曲線(S)式の誤差項に以下の仮定。

E(ui) = E(vi) = 0, E(u

2

i) = σ

2

u, E(v

2

i) = σ

2

v, E(uivi) = 0

(15)

このとき、均衡価格と数量の共分散Cov(X_i, Y_i)および価格の分散Var(X_i)について、

Cov(Xi, Yi)

Var(Xi)

=cα1+ (1−c)β1. (16)

（証明は章末付録参照。）ここで

c= σ

2

v σ2

u+σ

2

v

= 供給側の分散

分散の総和

, 0≤c≤1. (17)

一方、OLS推定量の確率極限をとれば、一般的に

plimb= plimsXY plims2

X

= Cov(Xi, Yi) Var(Xi)

. (18)

(20)

公式

1

市場均衡モデルから発生した均衡の取引データ(X_i, Y_i)に関し、Y_i をX_iに回帰したOLS係数の確率極限は

plimb=cα1+ (1−c)β1. (19)

証明：(16)式を(18)式に代入。(16)式の証明は、章末付録。

XiをY_iに回帰したbは、需要曲線の傾きα1と供給曲線の傾きβ1の加重平均を一致推定！

(21)

需要・供給曲線のシフトによる

IV

推定

(D)式と(S)式のモデルは、取引データ(X_i, Y_i)から推定不可能。

⇒別の状況：もし生産者側の技術要因Z_iで供給曲線がシフトする

ならば、

需要曲線: Y_i =α0+α1X_i +u_i, (D’)

供給曲線: Y_i =β0+β1Xi+β2Zi+vi. (S’)

Ziは供給サイドに影響するが、需要側に一切影響しない変数。需

要曲線の誤差とも無相関であると仮定。

Cov(ui, Zi) = E(uiZi) = 0. (20)

∴Z_iは、需要曲線(D’)式から見れば外生変数。具体的には、

生産要素価格（労賃、資本コスト、燃料費）や気候、法的規

制、技術水準の違いなど。

需要曲線(D’)式は、先の(D)式と同じ。

(22)

図2A：需要曲線(D)式と新しい供給曲線(S)式のグラフ。

Ziが変動⇒供給曲線Sはシフトするが、需要曲線Dは不動。 ∴右下がりの需要曲線があぶりだされる！（図2B。）

Ziが需要曲線Dに一切影響しない点が重要。

(23)

A

Y

X

S(Z1)

S(Z2) S(Z3)

S(Z4)

B

Y

X

図2 : 供給曲線Dのシフトで見えてくる需要曲線S

(24)

(D’)式と(S’)式を均衡価格X_iについて解く。⇒新たな誘導型

均衡価格: X_i =γ1+ηZ_i+ǫ_i, η=

β2

(α1−β1)

. (21)

Ziを(D’)式左辺のX_iの操作変数に置いて、α0，α1のIV 推定。

(25)

Remark 2

需要曲線・供給曲線の識別条件

需要曲線のIV推定：供給曲線だけをシフトさせる操作変数が

必要。

供給曲線のIV推定：需要曲線だけをシフトさせる操作変数が

必要。

需給の双方をシフトさせる変数は、操作変数として使えない。

(26)

Example 1

東京都中央卸売市場の取引データ（9市場×12か月）から、みか

んの需要曲線を推定。

季節・気象条件は農産物の限界費用に影響するが、消費者の

選好には影響しないと考え、「月（1月→Z_i = 1，. . .，12月

→Zi = 12）」と「月の2乗」を操作変数とする2SLS推定。

表1：推定結果。（価格X_i，数量Y_iは対数変換済。市場ダ

ミーをコントロール。）

IVと比べOLSは、需要曲線の弾力性をやや過小評価。OLSの

(27)

OLS 2SLS

係数 t値係数 t値

定数項 8.14 35.92 9.43 21.14

対数価格（内生変数） -2.15 -27.15 -2.64 -15.95

大田ダミー 0.71 4.49 0.71 4.14

...

多摩NTダミー -1.75 -8.41 -1.77 -8.33

修正済みR

2

0.82 0.81

サンプル数n 108 108

表1 : みかんの需要曲線のIV推定

(28)

構造方程式のIV推定=計量経済学の「奥義」。

経済学を超え、さまざまな非実験データの実証分析で利用される。

無作為化実験で需要曲線を推定するなら？⇒「同一財に関し、

消費者ごとに異なる価格X_iをランダムに与え、購入量Y_iを

観測」... これはほぼ無理！

人間の行動原理や戦略、社会構造に関する深い洞察で、非実

(29)

今回の復習問題

次の設問に答えよ。各自用意した紙に解答し、退出時に提出せよ。講義名、日付、学籍番号、氏名を明記すること。

1 _{次の市場均衡モデルを考える。}

需要曲線: Y_i =α0+α1Xi+α2Wi+ui, (22) 供給曲線: Y_i =β0+β1Xi+β2Zi+vi. (23)

ここで内生変数は価格X_iと数量Y_i、外生変数はZ_iとW_iであ

る。このモデルは、供給曲線・需要曲線、双方ともIV推定が

できる。その理由を、グラフを用いて説明せよ。（テキスト第

13章復習問題13.1の類題。）

(30)

『新しい計量経済学』 鹿野研究室 slide24

IV