2016.7.14. 作成：加藤賢悟 補足資料：特性関数
特性関数が分布を一意に決めることと，その系として，モーメント母関数が存在すれば 分布を一意に決めることを証明する．また，連続性定理を証明する．簡単のために1次元 の場合を考える．次の技術的な補題が重要である．
Lemma 1. Xをr.v.とし，その特性関数をϕとする．また，σ >0に対してZσ ∼ N(0, σ2) であって，Xと独立とする．このとき，有界区間の外側では0になる連続関数g: R → R に対して，
E[g(X + Zσ)] = 1 2π
∫ ∞
−∞
ˇ
g(t)e−σ2t2/2ϕ(−t)dt が成り立つ．ここで，
ˇ g(t) =
∫ ∞
−∞
g(x)eitxdx である．
Proof. x∈ Rに対して， E[g(x + Zσ)] = √ 1
2πσ2
∫ ∞
−∞
g(x + z)e−z2/(2σ2)dz= √ 1 2πσ2
∫ ∞
−∞
g(u)e−(u−x)2/(2σ2)du. ここで，N(0, 1)の特性関数がe−t2/2であることから，
e−t2/2= √1 2π
∫ ∞
−∞
e−x2/2+itxdx が成り立つ．変数を入れ替えて，
e−(u−x)2/(2σ2) = √σ 2π
∫ ∞
−∞
e−σ2t2/2+i(u−x)tdt を得る．よって，
E[g(x + Zσ)] = 1 2π
∫ ∫
g(u)eitue−σ2t2/2e−itxdtdu= 1 2π
∫ ∞
−∞
ˇ
g(t)e−σ2t2/2e−itxdt を得る．積分順序の交換はFubiniの定理から保証される．従って，再びFubiniの定理より，
E[g(X + Zσ)] = E[E[g(x + Zσ)]|x=X] = 1 2π
∫ ∞
−∞
ˇ
g(t)e−σ2t2/2E[e−itX]
| {z }
=ϕ(−t)
dt
を得る．
この補題を使って，特性関数が分布を一意に定めることを示そう．
Theorem 1. X ∼ F, Y ∼ Gに対して，特性関数をそれぞれϕF, ϕGとする．このとき， ϕF ≡ ϕGならばF ≡ Gである．
Proof. σ >0に対してZσ ∼ N(0, σ2)として，(X, Y )と独立とする．任意のa < b, ε >0 に対して，
ga,b,ε(x) =
0 x < a− ε linear a− ε ≤ x < a 1 a≤ x ≤ b linear b < x≤ b + ε 0 x > b+ ε とおくと，
I(a,b](x) ≤ ga,b,ε(x) ≤ I(a−ε,b+ε](x), ∀x ∈ R, |ga,b,ε(x) − ga,b,ε(y)| ≤ |x − y|ε , ∀x, y ∈ R をみたす． よって，
0 ≤ E[ga,b,ε(X)] − P (a < X ≤ b) ≤ P (a − ε < X ≤ a) + P (b < X ≤ b + ε) であって，
|E[ga,b,ε(X)] − E[ga,b,ε(X + Zσ)]| ≤ E[|ga,b,ε(X) − ga,b,ε(X + Zσ)|] ≤ E[|Z
σ|]
ε ≤
σ ε. 同様の評価がXをY に替えても成り立つ．ここで，ϕF ≡ ϕGと(*)より，E[ga,b,ε(X + Zσ)] = E[ga,b,ε(Y + Zσ)]だから，
|P (a < X ≤ b) − P (a < Y ≤ b)| ≤ P (a − ε < X ≤ a) + P (b < X ≤ b + ε) + P (a − ε < Y ≤ a) + P (b < Y ≤ b + ε) +2σε
を得る．さらに，a→ −∞, σ ↓ 0, ε ↓ 0の順に極限をとって，F(b) = G(b)を得る． 次に，モーメント母関数が存在すれば分布を一意に定めることを示す．
Theorem 2. X∼ F, Y ∼ Gに対して，それぞれモーメント母関数ψF, ψGが存在すると する．このとき，十分小さいε >0に対して，
ψF(θ) = ψG(θ) ∀|θ| < ε ならばF ≡ Gである．
Proof. ψF を複素平面の領域D= {θ + it : |θ| < ε, −∞ < t < ∞}に拡張する： ψ˜F(z) = ˜ψF(θ, t) = E[e(θ+it)X], z = θ + it, |θ| < ε, −∞ < t < ∞.
ここで，E[eθX] < ∞ ∀|θ| < εより，ψ˜F は複素数値関数としてちゃんと定義されている． ψ˜F がD上で正則であることを確認しよう．そのためにはψ˜F(θ, t)が(θ, t)について連続 微分可能であって，Cauchy-Riemannの方程式
∂ ˜ψF
∂θ (θ, t) + i
∂ ˜ψF
∂t (θ, t) = 0 をみたすことを確認すればよい．いま，
∂
∂θe
(θ+it)X = Xe(θ+it)X, ∂
∂te
(θ+it)X = iXe(θ+it)X
であって，|θ| < εにおいて期待値と偏微分の交換が正当化できて，
∂ ˜ψF
∂θ (θ, t) = E[Xe(θ+it)X], ∂ ˜ψF
∂t (θ, t) = iE[Xe(θ+it)X]
となるから(Lebesgueの優収束定理による)，Cauchy-Riemannの方程式がみたされる．さ らに，再びLebesgueの優収束定理より，(θ, t) 7→ E[Xe(θ+it)X]が|θ| < εにおいて連続であ ることが示せるから，ψ˜FはD上で正則である．同様に，ψGもD上の正則関数ψ˜Gに拡張で きる．ここで仮定より，ψ˜Fとψ˜Gは{θ ∈ R : |θ| < ε}上で一致しているので，正則関数に対 する一致の定理より，ψ˜F(z) = ˜ψG(z) ∀z ∈ Dを得る．これからE[eitX] = E[eitY] ∀t ∈ R, i.e., F ≡ Gを得る．
モーメント母関数が存在すれば分布を一意に決めることから，r.v. Xに対して，有限な k次モーメントmk = E[Xk], k = 1, 2, . . . がすべて存在するなら，{mk}∞k=1からXの分
布が一意に決まるであろうか．じつはそうでないことが次の例からわかる．
Example 1 (Heydeの例). Z ∼ N(0, 1)に対して，X= eZとおく．ここで，x >0に対 して，P(X ≤ x) = P (log X ≤ log x) = Φ(log x)だから，両辺をxで微分して，Xは密度 関数
fX(x) = √1 2πx
−1e(log x)2/2, x >0
をもつことがわかる．Xの分布のことを 対数正規分布 (log-normal distribution)と呼ぶ． いま，Zのモーメント母関数はψZ(θ) = eθ2/2だから，k= 1, 2, . . . に対して，
E[Xk] = E[ekZ] = ψ(k) = ek2/2 である．一方，Y を密度関数
fY(y) = fX(y)(1 + sin(2π log y)), y > 0
をもつr.v.とする．fY がちゃんと確率密度関数になっていることは，
∫ ∞
0
fX(y) sin(2π log y)dy = E[sin(2π log X)] = E[sin(2πZ)] = 0 から確認できる．さらに，k= 1, 2, . . . に対して，
∫ ∞ 0
ykfX(y) sin(2π log y)dy = E[ekZsin(2πZ)] = e
k2/2
√2π
∫ ∞
−∞sin(2π(z − k))e−(z−k)2/2dz
= e
k2/2
√2π
∫ ∞
−∞
sin(2πz)e−z2/2dz= 0 だから，E[Yk] = E[Xk]である．
最後に連続性定理を証明する．
Theorem 3 (連続性定理). Xの特性関数をϕとし，Xnの特性関数をϕnとする．この とき，
Xn→ X ⇔ limd
n ϕn(t) = ϕ(t) ∀t ∈ R.
Proof. ⇒はsin xとcos xがともに有界連続関数であることから従う．⇐を証明する．証 明を2つのステップに分割する．g: R → Rに対して，∥g∥∞= supx∈R|g(x)|と定める．
ステップ 1．有界区間の外側では0になる連続関数g: R → Rに対して， limn E[g(Xn)] = E[g(X)]
を示す．Lemma 1より，σ >0に対してZσ ∼ N(0, σ2)をXと独立とすると， E[g(X + Zσ)] = 1
2π
∫ ∞
−∞
ˇ
g(t)e−σ2t2/2ϕ(−t)dt となる．ここで，
ˇ g(t) =
∫ ∞
−∞
g(x)eitxdx である．さらに，gは一様連続だから，
∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. |x − y| < δ ⇒ |g(x) − g(y)| < ε より，
|E[g(X)] − E[g(X + Zσ)]| ≤ E[|g(X) − g(X + Zσ)|]
≤ E[|g(X) − g(X + Zσ)|I(|Zσ| < δ)] + E[|g(X) − g(X + Zσ)|I(|Zσ| ≥ δ)]
≤ ε + 2∥g∥∞P(|Zσ| ≥ δ)
となる．よって，
|E[g(Xn)]−E[g(X)]| ≤ 2π1
∫ ∞
−∞|ˇg(t)|e
−σ2t2/2
|ϕn(−t)−ϕ(−t)|dt+2ε+4∥g∥∞P(|Zσ| ≥ δ) を得る．ˇgは有界であって，limnϕn(t) = ϕ(t) ∀t ∈ Rだから，Lebesgueの優収束定理より，
lim sup
n |E[g(Xn)] − E[g(X)]| ≤ 2ε + 4∥g∥∞P(|Zσ| ≥ δ)
| {z }
=2{1−Φ(δ/σ)}
を得る．あとはσ↓ 0, ε ↓ 0の順に極限をとって，limnE[g(Xn)] = E[g(X)]を得る． ステップ 2. 有界連続関数g : R → Rに対して，limnE[g(Xn)] = E[g(X)]を示そ う．これからXn → Xd が従う．任意のε > 0に対して，M > 1を十分大きくとって， P(X ∈ [−M + 1, M − 1]) ≥ 1 − εとする．η : R → Rを
η(x) =
0 x <−M
linear −M ≤ x < −M + 1 1 −M + 1 ≤ x ≤ M − 1 linear M− 1 < x ≤ M 0 x > M
と定めると，
I[−M +1,M −1](x) ≤ η(x) ≤ I[−M,M ](x), ∀x ∈ R だから，ステップ1の結果より，
limn E[η(Xn)] = E[η(X)] ≥ P (X ∈ [−M + 1, M − 1]) ≥ 1 − ε となる．よって，
|E[g(Xn)] − E[g(X)]| ≤ |E[g(Xn)η(Xn)] − E[g(X)η(X)]| + 2∥g∥∞{E[1 − η(Xn)] + E[1 − η(X)]}
| {z }
≤2ε+o(1)
を得る．ここで，g(x)η(x)は[−M, M]の外側では0になる連続関数だから，ステップ 1 の結果より，limnE[g(Xn)] = E[g(X)]を得る．
