中学数学 風みどりの玉子焼 M3ST05

難しい計算問題

1 ^{次の数の計算をせよ。}

(1) ^√ _{48 −} ^√ _{12 +} ^√ ₂₇

千葉₀₄

(2) _√ ¹²

3 ⁻

√ 27

^福井04

(3)

µ

₂

3 ⁻

5

4

¶

÷ ²

3 ^÷

µ

− ⁷

2

¶

都立高専₀₄

(4) ₍ ^√ _{5 − 1)}

²

_{− (} ^√ _{5 + 2)(} ^√ _{5 − 2)}

 

都立高専₀₄

(5) ₍₂ ^√ ₃₊ ^√ ₂₎

²

₋₍₂ ^√ ₃₊ ^√ ₂₎₍₂ ^√ ₃₋

√ 2) + (2 ^√ _{3 −} ^√ 2)

^{2 青雲04}

(6) ₋₃

³

_×

Ã

7

2 ⁻

4

²

3

!2

÷

µ

₇

10 ⁻

5

4

¶

 

成城₀₄

(7) ₍ ^√ ₁₈₊ ^√ ₁₂₎₍ ^√ ₇₂₋ ^√ ₁₀₈₋ ^√ ₁₈₊

√ 48)

^{中央大学附04}

(8) ₂₁₄

²

−2×214×89+89

²

−181

²

−

2 × 181 × 94 − 94

^{2 早稲田実業05}

(9)  

5 × (15²+ 18²) − 3 × 18 × (15 + 18) − 5 × 15 × (15 − 3 × 18) 48²+ 2 × 48 × 15 − 8 × 15²

 

慶応女子₀₅

2 ^{次の式の計算をせよ。}

(1) _5ab

³

_{÷ (−2b)}

²

_× ⁸

5 ^a

^福井04

(2)

µ

− ⁶

5 ^xy

2^¶3

÷

µ

− ⁴

25 ^x

4

_y

2^¶2

×

Ã

x

³

3y

!₂

 

国学院久我山₀₄

(3) ^{5x − 2y}

3 ⁻

x _{− 3y}

4

^市川05

(4) ^{3x − y}

3 ⁺

   _{x +    y}

  

= ^{18x + 7y}

6

^{日大豊山女子05}

3 次の式を因数分解せよ。

(1) _x

²

+ 5x − 24  を因数分解しな

さい。

千葉₀₄

(2) 2(x + 5)(x − 2) − (x + 3)

²

− 7  

を因数分解せよ。

東工大附₀₅

(3) _{(2x − 1)}

²

− 3x(x − 2) − 4  を因

数分解せよ。

都立高専₀₅

(4) _x

²

+ 2xy − 9x + y

²

− 9y + 20  

を因数分解せよ。

日大習志野₀₅

難しい計算問題 _— 解答篇 _—

1

(1) ^√_{48 −}^√_{12 +}^√₂₇

= 4^√_{3 − 2}^√3 + 3^√3

=5^√3 (2) _√¹²

3 ⁻

√27

= 4^√_{3 − 3}^√3 =^√3 (3)

µ₂ 3 ⁻

5 4

¶

÷²₃÷ µ

−⁷₂

¶

= µ

−⁷ 12

¶

׳ 2 ^×

µ

−² 7

¶

=¹ 4

(4) ₍^√_{5 − 1)}²_{− (}^√_{5 + 2)(}^√_{5 − 2)}

= (5 − 2^√5 + 1) − (5 − 4)

=5 − 2^√5

(5) ₍₂^√_{3 +}^√₂₎²_{− (2}^√_{3 +}^√₂₎₍₂^√_{3 −}

√2) + (2^√_{3 −}^√2)²

= (12 + 4^√6 + 2) − (12 − 2) + (12 − 4^√6 + 2)

=18 (6) ₋₃³_×

Ã7 2 ⁻

4² 3

!₂

÷ µ ₇

10 ⁻ 5 4

¶

= 27 × 11 × 11 × 20 6 × 6 × 11

= 3 × 11 × 5

=165

(7) ₍^√_{18 +}^√₁₂₎₍^√_{72 −}^√_{108 −}^√_{18 +}

√48)

= (3^√2+2^√3)(6^√₂₋₆^√₃₋₃^√2+ 4^√3)

= (3^√2 + 2^√3)(3^√_{2 − 2}^√3)

= (3^√2)²_{− (2}^√3)²

= 18 − 12

=6 (8) ₂₁₄²

| {z }

A

−2×214_|{z}

A

× 89_|{z}

B

+ 89²

|{z}

B

− 181_{| {z }}²

C

−2×

|{z}181

C

× 94_|{z}

D

− 94_|{z}²

D

= A²_{−2AB +B}²_−C²_{−2CD −D}²

= (A²_{−2AB +B}²_{) −(C}²+ 2CD + D²)

= (A − B)²− (C + D)²

= (214 − 89)²− (181 + 94)²

= 125²_{− 275}²

= (125 + 275) × (125 − 275)

= 400 × (−150)

=−60000 (9)  

5 × (15²+ 18²) − 3 × 18 × (15 + 18) − 5 × 15 × (15 − 3 × 18) 48²+ 2 × 48 × 15 − 8 × 15²

15 = A，18 = B とおくと，分子は 5(A²+ B²) − 3B(A + B) − 5A(A − 3B)

= 5A²+ 5B²−3AB − 3B²−5A²+ 15AB

= 2B²+ 12AB

= 2B(B + 6A)

= 2 × 18 × (18 + 6 × 15)

= 2 × 18 × 108

さらに48 = C とおくと，分母は C²+ 2CA − 8A²

= (C − 2A)(C + 4A)

= (48 − 2 × 15) × (48 + 4 × 15)

= 18 × 108 ^{したがって，}

与式₌ 2 × 18 × 108 18 × 108 ⁼²

2

_{(1) 5ab}3_{÷ (−2b)}2_×⁸

5^a

= ^5ab

3× 8a (−2b) × (−2b) × 5

=2a²b (2)

µ

−⁶₅^xy2

¶3

÷ µ

−₂₅^{4 x4y2}

¶2

× Ãx³

3y

!₂

符号は_{. . . (−1)}³_{÷ (−1)}² _{= −1} 係数は_{. . .} 6 × 6 × 6 × 25 × 25

5 × 5 × 5 × 4 × 4 × 3 × 3

= ¹⁵ 2 x^は. . . ^x

3× x³× x³ x⁴_{× x}^{4 =}

x⁹ x^{8 = x} y^は. . . ^y

2_{× y}2_{× y}2

y²_{× y}²_{× y}^{2 =} y⁶ y^{6 = 1} まとめると_{. . . −}

15 2 ^x (3) ^{5x − 2y}

3 ⁻

x − 3y 4

= 4(5x − 2y) − 3(x − 3y) 12

= 20x − 8y − 3x + 9y 12

=^{17x + y} 12 (4) ^{3x − y}

3 ⁺

   _{x +    y}   

= ^{18x + 7y} 6 3x − y

3 ^{+    =}

18x + 7y

6 ^で

あるから    ₌

18x + 7y

6 ⁻

3x − y 3   ₌ 18x + 7y − 2(3x − y)

6

  ₌ 18x + 7y − 6x + 2y) 6

  ₌

12x + 9y 6   ₌

4 x + 3 y 2

この場合は約分できる¹ ことに注意。

3

(1) _x²+ 5x − 24 =(x − 3)(x + 8) (2) 2(x + 5)(x − 2) − (x + 3)²− 7

= 2(x²_{+3x−10)−(x}²_+6x+9)−7

= 2x²+ 6x − 20 − x²− 6x − 9 − 7

= x²_{− 36}

=(x + 6)(x − 6)

(3) _{(2x − 1)}²− 3x(x − 2) − 4

= 4x²− 4x + 1 − 3x²+ 6x − 4

= x²_{+ 2x − 3}

=(x − 1)(x + 3)

(4) _x²+ 2xy − 9x + y²− 9y + 20

= (x²+ 2xy + y²) − 9x − 9y + 20

= (x + y

| {z }

A

)²_{− 9(x + y}

| {z }

A

) + 20

= A²_{− 9A + 20}

= (A − 4)(A − 5)

=(x + y − 4)(x + y − 5)

1 つまりしなくてはいけない

babababababababababab

はじめてみると驚くような問題です

が，慣れれば「面白み」も感じられ

るようになるかもしれません。

デザートに易しい方程式でも解いて

みましょう。

1 ^{次の方程式を解け。}

(1)

½

_{x + 2y = 1}

3x − 4y = −7

^千葉04

(2) (x − 1)(x − 5) = −x + 1

^福井04

(3)











0.7x − 0.2y = 3

x

7 ⁻

y

5 ^{= 1}

東海₀₄

(4) _{2 −} ^{5x + 1}

6 ⁼

1

2

^桐蔭04

(5) ^{x + 1}

2 ⁻

2x − 1

3 ^{+2 = 0}

^{中央大学附04}

方程式の応用問題 _— 長い文章になれよう _—

1 ^{ある菓子店では，} A，B 2 種類の菓子

を，箱に詰め合わせて売ることにしま

した。 A10 個と B5 個を詰め合わせと

箱代を合わせて 1000 円になり，A5 個

と B10 個を詰め合わせると箱代を合

わせて 900 円になります。箱代はどち

らも _{50 円です。}

このとき， A1 個の値段と B1 個の値

段を，用いる文字が何を表すかを示

して方程式をつくり，それを解く過程

を書いて，それぞれ求めなさい。ただ

し，消費税は考えないものとします。

 

岩手₀₄

2 A,B ふたつのカップがある。これらの

カップを使って水をくみ出すことにし

た。

はじめに， A を 3 回，B を 2 回使って

水をくみ出したところ，その量は合わ

せて 680 mℓ であった。

次に， A を 4 回，B を 3 回使って水を

くみ出したところ，その量は前の時よ

り 280 mℓ 多かった。

ただし， A，B のカップを使って 1 回

にくみ出した水の量は，それぞれ毎回

同じとする。

このとき， A，B のカップを使って 1

回にくみ出した水の量をそれぞれ求

めなさい。求める過程も書きなさい。

 

福島₀₄

3 あるスーパーマーケットでは，トンカ

ツを最初， 1 枚 200 円で販売した。用

意した枚数の半分が売れたところで，

残りのトンカツを _{2 割引で販売した}

ところ， 10 枚が残った。この 10 枚を

最初の値段の半額にして販売したら，

すべて売り切れ，売り上げ額は ₁₃₈₀₀

円であった。このとき，最初に用意し

たトンカツは何枚か，求めなさい。た

だし，消費税は考えないものとする。

新潟₀₄

4 体育の授業でバスケットボールの試

合を行うことになった。 _{A チームと B}

チームに分かれ，対戦をした。試合の

勝敗は，前半と後半の合計得点で決め

られた。 A チームと B チームの対戦

は，前半が終わったとき， _{B チームが}

A チームを 5 点リードしていた。とこ

ろが，後半は， A チームが B チーム

の 2 倍の得点をしたため，結局，試合

は A チームが 3 点差で逆転勝ちした。

また， B チームの前半と後半合わせて

の得点は， 32 点であったという。

この対戦での， A チームの前半と後半

の得点はそれぞれ何点か。方程式をつ

くり，計算の過程を書き，答えを求め

なさい。

静岡₀₄

5 ある中学校で図書館の利用者数を調

査したところ， 4 月の利用者数は男女

合わせて 620 人であった。5 月の利用

者数は 4 月に比べ男子が 40%減り，女

子が 20%増えたので，全体では 80 人

減った。 5 月の男子，女子の利用者数

をそれぞれ求めよ。

和洋国府台₀₄

6 ^縦が 20m，横が 27m の長方形の土地

に，図のように同じ幅の道を作り，残

りを

かだん

花壇にしたところ， 花壇の面積は

もとの長方形の面積の

5

6 ^{倍になった。}

このときの道幅を求めよ。

和洋国府台₀₄

20m

27m

7 500 円の品物 A を x 個と，200 円の品

物 B を y 個，合わせて 1000 個仕入れ

た。ところが，品物 _{B の個数全体の}

1

5 を不注意で壊してしまった。壊れた

品物は売ることができないのでそれら

を捨ててしまい，残った品物だけを売

ることになった。品物 _{A は 1 割，品物}

B は 2 割の利益を見込んで定価をつけ

て売ったところ，すべて売り切れた。

その結果，全体として利益は _{26800 円}

になった。

x，y の値を求めよ。

^{浦和明の星女子}04

8 ^容積が 1200ℓ のタンクに，給水管が 1

本と，どれも同じ太さの排水管が _{3 本}

ついている。給水管からタンクへは，

常に一定の割合で水が入っている。

いま，タンクには 400ℓ の水が入って

おり，排水管を 1 本だけ開くと，20 分

でタンクが満水になり，排水管を _{2 本}

だけ開くと， 50 分でタンクが満水にな

る。このとき，排水管を _{3 本開くと，}

何分でタンクが満水または空になる

か。

中央杉並₀₄

方程式の応用問題 _— 解答篇 _—

1

A1^個x^円，B1^個y^{円とする。}

½10x + 5y + 50 = 1000 5x + 10y + 50 = 900 これを解いて

½x = 70 y = 50 この解は問題に適する。

答_.Aが₇₀円，_Bが₅₀円

2

A^はxmℓ^，B^はymℓ^とする。

½3x + 2y = 680 4x + 3y = 680 + 280 これを解いて

½_{x = 120} y = 160 この解は問題に適する。

答_.Aは_120mℓ，_Bは_160mℓ

3

^最初にx ^{枚用意したとする。} 200^{円で売れたのは x}

2 ^枚， 2^割引

µ

200 − 200 × ₁₀²

¶

= 160^円で売 れたのは

µx 2 ^{− 10}

¶ 枚，

半額 ₁₀₀円で売れたのは₁₀枚。 したがって方程式は

200 × ^x₂ ^{+ 160} µ_x

2 ^{− 10}

¶

+ 100 × 10 = 13800

これを解いて _{x = 80} この解は問題に適する。

答_.80枚

4

^{✓ MEMO ✏}

前半 後半 合計得点 A x^点 y^点 32+3=35^点 B (x + 3)^{点 y}

2 ^{点 32点}

✒ ✑

A^{チームの前半の得点を}x^{点，後半の得} 点を_y点とする。

(x + y = 32 + 3 (x + 5) +^y

2 ^{= 32} これを解いて

½x = 19 y = 16

答_.前半₁₉点，後半₁₆点

5

4^{月の男子の利用者数を}x^{人，女子の利} 用者数を_y人とする。

(x + y = 620

−₁₀₀^{40 x +}₁₀₀²⁰ y = −80

これを解いて

½x = 340 y = 280 5^{月の男子は}_{340 −} ⁴⁰

100× 340 = 204 女子は_{280 +}

20

100× 280 = 336

答_.男子₂₀₄人，女子₃₃₆人

6

^道幅をx m ^とする。

(27 − x)(20 − x) = 20 × 27 ×⁵₆ 整理すると_x²− 47x + 90 = 0 これを解いて _{x = 2}または_{x = 45} x < 20^なのでx = 45^{は問題に適さない。}

答_{.2 m}

7

^{✓ MEMO ✏}

2つ目の式が壊れて無駄にした分が あるので難しい。

(^売り上げ)-(^仕入れ額)=(^利益) の形で立式する。

✒ ✑

A^の売値は500 + 500 × ₁₀^{1 = 550(円)2} B^の売値は 200 + 200 ×₁₀^{2 = 240(円)}







x + y = 1000 µ

550x + 240y × ⁴₅

¶

− (500x + 200y) = 26800

これを解いて

½x = 600 y = 400 この解は問題に適する。

答_{.x = 600}，_{y = 400}

8

^{給水管からは} x ℓ/^{分 の水がタンクに入} り，₁本の排水管からは_{y ℓ/}分 の水が排 出されるとする。

½400 + 20(x − y) = 1200 400 + 50(x − 2y) = 1200 これを解いて

½_{x = 64} y = 24 3^本開くと64 − 24 × 4 = −8

すなわち毎分_8ℓずつ水の量は減っていく。 400

8 ^{= 50なので}

答_.50分で空になる

✓ MEMO ✏

(^{最 初 の 量})+(^{流 入 量})-(^{流 出 量})=(^満 タン₎

がわかりやすかったならば，式は 400 + 20x − 20y = 1200

というものになります。この問題の 場合時間が共通なので，模範解答の ような式にしました。

✒ ✑

2 500 × 1110 と同じことになるのはよろしいです ね。

babababababababababab

入試問題の場合，けちをつけられな いように対処するため，無駄に詳しく 文章が書かれていて，よけい読みにく く，長い問題になる傾向があります。 ですから，そこに惑わされないよう に，数多くの問題にあたり，経験値を 上げ，慣れるようにしましょう。

また，

頭の中を整理するには

output

. . .^この

ことわざ

諺 も覚えておいて ください。きっと役に立つはず^a です。

a

作者：こいずみ！

方程式の応用問題 _— 速さの問題 _—

1

^{図のように，}P^地点からQ^{地点までの道} のりが_3000mのサイクリングコースがあ ります。このコース上の_Pから_Qの間に は_A地点と_B地点があり，_Aから_Bまで の道のりは，_Pから_Aまでの道のりの₂ 倍です。

Sさんが自転車に乗ってこのコース上 を_Pから_Qまで走ったとき，平均の速さ はそれぞれ，_Pから_Aまでが分速_300m， A^からB^{までが分速}200m^，B^からQ^ま でが分速_300mで，_Pを出発してから₁₃ 分後に_Qに着きました。

このとき，_Pから_Aまでの道のりは何

m^{ですか。 北海道}04

P

Q

A B

2

図のように，池のまわりに₁周 _{3360 m} の道がある。この道を，洋子さんは自転 車に乗り毎分_{200 m}の速さで進み，太郎 さんは歩いて毎分_{80 m} の速さで進むも のとする。

このとき，次の問いに答えなさい。な お，。途中の計算も書くこと。 石川₀₄

A

右まわり 左まわり

池

(1) 洋子さんが右まわりに，太郎さんが 左まわりに_A地点を同時に出発し た。このとき，₂人が出発してから はじめて出会うのは何分後か，求め なさい。

(2) 太郎さんが_A地点から右まわりに 出発し，その₁₅分後に洋子さんも 同じように_A地点から右まわりに 出発した。このとき，洋子さんが太 郎さんにはじめて追いつくのは，_A 地点から右まわりに何_m 進んだ地 点か，求めなさい。

3

サ イ ク リ ン グ コ ー ス を 自 転 車 で 時 速₁₂ km の速さで走り，スタートからゴール まで₁時間₃₀分かかる予定であった。し かし，途中から自転車を押しながら時速₄ km^{で歩いたので，}2^{時間かかってしまっ}

た。 長野₀₄

(1) このサイクリングコースの，スター トからゴールまでの道のりを求めな さい。

(2) 自 転 車 で 走った 道 の り を 求 め な さ い。

4

^{「ある人が}P^地点から2360m^離れたQ 地点に行った。途中の_R地点までは毎分 50m^，R^地点からQ^{地点までは毎分}70m の速さで歩き，全体で₄₀分かかった。こ のとき，_P地点から_R地点までの時間と 道のりを求めよ。」という問題がある。

この問題を，_Aさんは_P地点から_R地 点までの時間を_x分，_R地点から_Q地点 までの時間を_y分として，_Bさんは_P地点 から_R地点までの道のりを_{x m}，_R地点 から_Q地点までの道のりを_{y m}として， それぞれ連立方程式を作って解いた。こ のとき，次の問いに答えなさい。高知₀₄

✓ ✏

Aさんがつくった連立方程式

½x + y = 40 50x + 70y = 2360

✒ ✑

✓ ✏

Bさんがつくった連立方程式























ア

    

= 40

イ

    

= 2360

✒ ✑

(1) _Bさんがつくった連立方程式の ア ， イ に当てはまる式を書け。

(2) _P地点から_R地点までの時間と道 のりを求めよ。

5

A^君とB^君が1^周400m^{のトラックで持} 久走をした。

2人はスタート地点を同時に出発し，は じめは_A君が分速_{x m, B}君が分速_{y m} の速さで走っていた。スタートしてから 8^{分 後 に} B^{君 が}A ^{君 に}1^{周 遅 れ に なっ} て並ばれたため，その瞬間から_B君は遅 れをとりもどすために速さを₂倍にして 走った。

その後，_B君は_A君に追いつき，スター トしてから₁₄分後には，_B君が_A君を 200m^{リードした。}

このとき，次の問いに答えなさい。

法政一₀₄

(1) _x，_yの値を求めなさい。

(2) _B君が_A君に追いついたのは，ス タートしてから何分後ですか。

6

K^君とO^君の2^人が，A^地点からB^地点 を経由して_C地点まで_30.8kmを歩きま す。_K君は_A地点から_B地点までを時速 x km ^{で歩き，そこで}30^{分間休憩して，} B^地点からC^{地点までを時速}1.1x km^で 歩いて休憩を含めて合計_8.7時間かかり ました。_O君は_K君と同じように_AB間 を時速_{x km} で歩き，₄₅分間休憩して， BC^間を時速1.2x km ^{で歩いて休憩を含} めて合計_8.45時間かかりました。慶應₀₅

(1) _AB間の距離を _{y km}として，_K君 と_O君の歩いた時間を_xと_yを用 いた式で表すと。_K君のほうは

        

=8.2^，

O^{君のほうは}

        

=7.7

となる。

(2) _x，_y の値を求めなさい。

方程式の応用問題 _— 速さの問題 解答篇 _—

✓ ✏

速さの問題は，必ず道のり・時間・速さと いう異なる₃種類の量がからんでくるので， きちんと整理できないと混乱しがちです。

単純な問題は図を描きながら，複雑な問 題はダイヤグラムを描きながら整理すると 良いでしょう。

✒ ✑

1

P^からA^{までの道のりを}x m^，B^からQ までの道のりを _{y m}とすると，

(x + 2x + y = 3000 x

300⁺ 2x 200⁺

y 300 ^{= 13} これを解いて

½x = 900 y = 300 この解は問題に適する

答_.900m babababababababababab

出会いの問題

 ₍道のり₎₊₍道のり₎₌₍全行程₎ 追いつきの問題

 ₍道のり₎₌₍道のり₎

2

⁽¹⁾ x^{分後に出会うとする。} 200x + 80x = 3360 これを解いて_{x = 12}

答_.12分後 (2) 洋子さんが走り始めて_x分後に追い

つくとする

200x = 80(15 + x) これを解いて_{x = 10} 道のりは200 × 10 = 2000

答_.2000m (2)’ _{x m}進んだ地点で追いつくとすると (^{太郎さんの歩いた時間})=(^洋子さん の走った時間₎₊₍₁₅分₎ なので

x 80 ⁼

x 200^{+ 15}

これを解いて_{x = 2000}

3

_{(1) 12 ×}³

2 ^{= 18}

答_{.18 km} (2) 自転車で走った道のりを_{x km}，押 して歩いた道のりを_{y km}とすると (_{x + y = 18}

x 12 ⁺

y 4 ^{= 2} これを解いて

½x = 15 y = 3 この解は問題に適する。

答_{.15 km}

4



(1) ( _x

50 ⁺ y 70 ^{= 40} x + y = 2360

(2) どちらかの連立方程式を解けば 答_.1100m

5

複雑な問題はダイヤグラムで整理すると 式が立てやすくなります。

A^君

B^君

°x

°y

°2y

400m 200m

8^分 14^分

6^分

(1) はじめの₈分間で式を作る。_(A君 の走った道のり_)=(B君の走った道 のり₎₊₍₁周₎ だから

8x = 8y + 400

次にその後の₆分間で式を作る。_(B 君の走った道のり_)=(A君の走った 道のり₎₊₍₁周₊₂₀₀₎ なので 12y = 6x + 400 + 200

整理すると

½x − y = 50 x − 2y = −100 これを解いて

½x = 200 y = 150

(2) _B君がスパートしてから_t分後に追 いついたとする。

A^君

B^君

200°

150°

300°

400m 200m

8^分 t分

8分後から追いつくまでで式を立て る。

(B^{君の走った道のり})=(A^君の走っ た道のり₎₊₍₁周₎ だから

300t = 200t + 400 これを解いて_{t = 4} 8 + 4 = 12

答_.12分後

6

慶應のブランド名に怯えることはない。 問題も数値計算がややこしいだけで，式 は簡単に立てられる。

(1) _K君は y x ⁺

1 2 ⁺

30.8 − y

1.1x ^{= 8.7 移項して} y

x ⁺

30.8 − y 1.1x ^{= 8.2} O^{君も立式は簡単}

y x ⁺

3 4 ⁺

30.8 − y

1.2x ^{= 8.45} y

x ⁺

30.8 − y 1.2x ^{= 7.7}

(2) スペースもあるので丁寧に計算を解 説します。

y x⁺

30.8 − y

1.1x ^{= 8.2まずはこの式を} 整理しよう。普通の分数を含んだ方 程式の処理と同様に，両辺に _1.1x をかければよい。小数・分数が混じっ た式なので分数に統一したいが，複 雑になりそうな気配もあるので，こ こは小数のまま計算してしまうのが 良い。

1.1y + 30.8 − y = 9.02x

整理すると9.02x − 0.1y = 30.8 100^倍して902x − 10y = 3080 次に

y x ⁺

30.8 − y 1.2x ^{= 7.7}

(^両辺_{) × 1.2x}^すると 1.2y + 30.8 − y = 9.24x

同様に処理して924x − 20y = 3080 両辺を₂でわって462x−10y = 1540 加減法を用いて

440x = 1540 x = 3.5

これを代入しての計算もめんどうだ が，がんばって計算すると _{y = 7.7}

答_.

½x = 3.5 y = 7.7

1 ^{次関数の応用問題 —} 式・表・グラフを自在に使う _—

1

下のア∼エのグラフのうち，₁次関数_{y =}

2x−1を表すグラフはどれか。正しいもの を₁つ選び，記号で答えなさい。福島₀₅

(※ どうせなので，全部式を求めてしまい ましょう₎

O ^x

y

2 2

−2

−2 ア

O ^x

y

2 2

−2

−2 イ

O ^x

y

2 2

−2

−2 ウ

O ^x

y

2 2

−2

−2 エ

2

^{図のように，関数} y = 2x ^と y = ¹ 2^{x の} グラフがあり，これらの直線上に，それ ぞれ_x座標が₂となる点_A，_Bをとりま す。この線分_ABを₁辺として，正方形 ABCD^を，頂点C^のx^座標が2^より大き くなるようにつくります。このとき，直 線_ACの式を求めなさい。 埼玉₀₄

O ^x

y

A

B

C D

3

^{図のように，点}A(0^，₋₃₎^{を通り，傾き} が

1

2 ^{の直線ℓ，点B(0，2)を通り直線ℓ} に平行な直線_m，直線_m上を動く点_Cが あります。これについて次の問に答えな

さい。 広島₀₄

y

O x B

A

m

ℓ C

(1) 直線_ℓの式を求めなさい。

(2) 点_Cと_y軸との距離が，線分_AB の長さと等しくなるような点_Cの x座標を，すべて求めなさい。

4

^{図のように，関数}y = 2x + 5^{のグラフと} 関数_{y = −x − 4}のグラフがあります。₂ つのグラフの交点を_Aとします。_y軸上 に点_{B(0 , 2)}をとります。このとき，グ ラフが直線_ABになる関数の式を求めな

さい。 広島₀₅

y

O x A

B

5

^図で点O^{は原点，点}A^の座標は(0,6)^，直 線_ℓは一次関数_{y =}

1

2^{x のグラフを表し} ている。

点_Bは直線_ℓ上にあり，_x座標は₈である。 点_Pは直線_ℓ上にあり，_x座標が正の数 で，点_Bから原点の方向へ動く。 2^点A^，B^を結ぶ。

2^点A^，P^{を通る直線を}m^とする。 座標軸の₁目盛を _{1 cm} として，次の各 問に答えよ。 東京₀₄

y

O 5 x

5 A

B P

ℓ m

(1) 点_Pが点_Bにあるとき，直線_mの 式を求めよ。

(2) _△AOPの面積と_△APB の面積の 比が_{3 : 1}となるとき，点_Pの座標 を求めよ。

(3) 下の図は，直線_mの傾きが ₋₂ の 場合を表している。

このとき，_△APBの面積は何_cm² か。

y

O 5 x

5 A

B ℓ m

P

6

ある中学校の数学の授業で，次の問題を 皆で考えた。次の各問に答えよ。東京₀₄

✓ ✏

【皆で考えた問題】

右の図₁で，四角形_ABCDは，一 辺の長さが_{6 cm}の正方形である。

点_Pは，正方形_ABCDの辺上にあ る点で，毎秒_1cmの速さで，頂点_B を出発し，頂点_C，_Dを通って頂点 A^{まで動き，頂点}A^{に到着後は動か} ない。

頂点_Aと点_P，頂点_Bと点_Pを それぞれ結んでできる_△ABP を考 える。

点_Pが頂点_Bを出発してからの時 間と_△ABPの面積との関係を，点_P が頂点_Aに到着するまでについて調 べてみよう。

A

B ^C

D

P

→

図₁

✒ ✑

【皆で考えた問題】で_Sさんは，時間と ともに動く点_Pの位置から_△ABP の面 積を計算し，図₂のグラフを描いた。

18(^秒) 0

20 ^(cm

2₎

図₂

時間

(1) 図₂のグラフで，_△ABPの面積が 6 cm^{2 となるのは，点}P^が頂点B を出発してから何秒後と何秒後か。

T^さんは，【皆で考えた問題】の点_Pとは 異なる速さで動く点_Qを図₁に加え，点 Q^が点P^{と同時に頂点}B^{を出発する問題} を作った。

✓ ✏

【_Tさんの問題】

点_Qは，一辺の長さが_{6 cm} の正 方形_ABCDの辺上を，毎秒_{3 cm}の 速さで，頂点_Bを出発し，頂点_C，_D の順に頂点_C，_Dを通って頂点_Aま で動き，その後は，逆方向に頂点_D， C^{を通って頂点}B^{まで戻り，再び頂} 点_C，_Dを通って頂点_Aまで動き， 頂点_Aに到着後は動かない。

頂点_Aと点_Q，頂点_Bと点_Qを それぞれ結んで出来る_△ABQ を考 える。

点_Qが点_Pと同時に頂点_Bを出発 するとき_,点_Qが頂点_Bを出発して からの時間と_△ABQ の面積との関 係について調べて，その関係を表す グラフを図₂にかきくわえてみよう。

なお，この点_Pは【皆で考えた問 題】における点_Pと同じ動きをする 点である。

✒ ✑

(2) 【_Tさんの問題】で，次の問いに答 えよ。

°1 ^{点Qが頂点Bを出発してから} の時間と_△ABQの面積との関 係を表すグラフを，点_Qが二 度目に頂点_Aに到着するまで の₁₈秒間について，図₂に書 き加えよ。

°2 ^{点Qと点Pが同時に頂点Bを} 出発したのち，点_Qがはじめ て頂点_Aに到着するまでの時 間に，_△ABPの面積と_△ABQ の 面 積 が 等 し く な る の は 何 秒 後か。

1 ^{次関数の応用問題 — 解答篇 —}

babababababababababab

関数の問題は文章では説明が難しい。 特に，グラフを活用する解法を推奨し ている私はホントに困る。

だから式を中心にした解説が問題集な どでは主流になってしまうわけだ。 そこで，今回は，ほとんど解答だけ。解 説はなし。

1

^ア： _{y = −x + 2}

イ： _{y = 2x + 2} ウ： _{y = 2x − 1} エ： _{y =}

1 2^{x − 1}

答_.エ

2

AC^の傾きは₋₁^であり，A^の座標は(2, 4) であるから，もうこれだけの情報で， ACの式を求めることができる。_(Cの座 標など求める必要はない）

答.y = −x + 6

3

(1) 答_{.y =} 1 2^{x − 3} (2) _AB=5であるから

答_{.5, −5}

4

Aの座標を求める。交点の座標は連立方 程式を解けばよい

½_{y = 2x + 5}

y = −x − 4 ^を解いて

½x = −3 y = −1 A^の座標は_{(−3, −1)}^あとはAB^の式を求 めればよい。

答_{.y = x + 2}

5

^{(1) なぜ「直線}AB^{の式を求めよ」と書} かないか不思議でならない。国語の 読解力を問う問題ではなく数学の問 題なのに_{. . .}

A(0,6)^→切片は6 B(8,4)^{だから傾きは −2}

8 ⁼ 1 4 答_{.y = −}

1 4^{x + 6}

(2) △AOP : △APB=OP:PB=3:1 B(8,4)^なので

P µ

8 ׳₄, 3 × ³₄

¶

= (6, 3)

答_.(6,3) (3) _Pの座標を求める。

(y = −2x + 6 y = ¹

2^x これを解いて _{x =}

12 5

△BAO=¹

2 ^{× 6 × 8}

△PAO=¹₂× 6 × ¹²₅

∴△APB=△BAO−△PAO   ₌

1

2 ^{× 6 × 8 −} 1 2 ^{× 6 ×}

12 5   ₌

1 2 ^{× 6 ×}

µ 8 −¹²₅

¶

  _{=3 ×} 28

5   ₌

84 5

答_. 84

5 ^cm

2

6

(1) 答_.2秒後と₁₆秒後 (2)  

°1 0 ₁₈₍秒₎

20 ^(cm

2₎

図₂

時間

°2

½_{y = 3x} y = −9x + 54 これを解いて_{x =} ⁹

c

答_. 9 2^秒後

証明問題 _— 平行線と角・三角形の合同・平行四辺形 _—

1

_△ABC^の辺AB^，AC^{上にそれぞれ点}D^， E^をDE// BCとなるようにとります。 点_Eを通り，辺_ABに平行な直線と辺_BC との交点を_Fとします。_AE=DBのとき，

6 _EAF=6 _BAFを証明しなさい。北海道₀₄

A

B _C

D _E

F

2

^{「二等辺三角形の}2^{つの底角は等しい」} ことを証明しなさい。 青森₀₄

A

B C

3

^四角形ABCD^{は平行四辺形であり，} BD=CD^{である。線分}BD^，CD^の中点を それぞれ_E，_Fとし，線分_EFを_F側に延 長した線上に，四角形_EBCGが平行四辺 形になるように点_Gをとり，_BGと_CD との交点を_Hとする。

△ADF^と△BCG^{が合同であることを証} 明したい。下の証明を完成させなさい。

山形₀₄

A

B ^C

D

E ^F _G

H

〔証明〕

△ADF^と △BCG^において 仮定より，DF=FC=DE=EB

平行四辺形_EBCGの対辺はそれぞれ等し いので

EB=CD

したがって，DF=CD . . . 1°

4

^{図のように，}AB=AC^，AB>BC ^である 二等辺三角形_ABCがある。頂点_Cを中 心として，辺_BCが辺_ACと重なるまで

△ABCを回転させて作った三角形を_△DEC とする。また，頂点_Bと点_Eを結んだ線 分_BEの延長上に点_Fをとる。このとき，

6 _AEF=6 _DEF であることを証明しなさ

い。 新潟₀₅

A

B _C

E D

F

証明問題 _— 解答篇 _—

1

AF^を結ぶ。

A

B _C

D _E

F DE//BF^，DB//EF

なので四角形_DBFEは平行四辺形 したがって，_DB=EF

仮定より_AE=DB であるから，_AE=EF すなわち_△EAF は二等辺三角形

したがって，6 _EAF=6 _EFA

ここで平行線の錯角は等しいので

6 _BAF=6 _EFA

したがって6 _EAF=6 _BAF

babababababababababab

平行線の同位角・錯角，二等辺三角形 の底角，平行四辺形の対辺・対角など， 豊富な材料を必要とする問題。

これを機会に，₂年生の₄章∼₅章を総 復習してみると良いでしょう。 証明が出来るようになるためには，そ の材料を覚えていなくてはなりません。 定理をカードやノートにまとめておい て，覚えてしまうことです。

書き方を研究するのはその後です。

2

^角A^{の二等分線を引き，辺}BC^との交点 を_Mとする。

A

B C

M

△ABM^と △ACM^において AB=AC (^仮定)

6 _BAM=6 _{CAM (補助線)}

AM=AM (^共通)

∴△ABM≡ △ACM (2^{辺とその間の角} が等しい₎

∴6 _{B =}6 _{C (}対応する角₎ babababababababababab

教科書にあるソノマンマが青森県で出 題されていました。証明問題や作図問 題は生徒諸君も頭痛いですが，問題を 作る高校の先生も悩んでいるはずです。 なぜなら，そんなに難しい問題は出題 できないし，使える材料は限られてい るからです。そこで，おなじような問 題や，このようにソノマンマの問題が 出題されても不思議でないわけです。

※ 余談ですが，この定理の証明はいろい ろな方法がありますが，模範解答のよう に「₂辺とその間の角が等しい」合同条件 を使うのが正しい方法です。それ以外は 厳密には間違いです。なぜかは高校か大 学でユークリッド幾何学の最初のあたり を学べばわかります。（数学の先生でもこ こらへん適当な人がいるのは遺憾です）

3

_A

B ^C

D

E ^F _G

H

(^つづき)

平行四辺形_ABCDの対辺は等しいので AD=BC . . . 2° 次に6 _ADFと6 _BCGが等しいことを示 す。

仮定より_AD//BCであるから，平行線の 錯角は等しいので

6 _ADB=6 _DBC

仮定より_BD=DCであるから，二等辺三

角形の底角は等しいので

6 _DBC=6 _DCB

したがって6 _ADB=6 _BCD

また_BD//CGであるので，6 _BDC=6 _GCD

ここで

6 _ADF=6 _ADB+6 _BDC 6 _BCG=6 _BDC+6 _GCD

であるから

6 _ADF=6 BCG . . . 3°

°1^，°^2，°^{3から2辺とその間の角がそれ} ぞれ等しいので，

△ADF≡ △BCG

babababababababababab

角が等しいことを説明する所が，人に よって書き方も様々だしめんどうくさ い。さぞかし，採点も大変だったと思 う。だからというわけではないが，実際 に出題される問題はかつては₂年で勉 強したが現在は₃年で習うことになっ ている相似を題材にしたものが多い。 相似は「₂角が等しい」ことを示せば よいので比較的書き易いのである。

4

^A

B _C

E D

F

△ABC≡ △DEC^{であるから，CB=CE} したがって_△CBEは二等辺三角形なので その底角は等しいから

6 _CEB=6 CBE . . . 1° 対頂角は等しいので

6 _AEF=6 CEB. . . 2°

△ABC^と△DEC^{は二等辺三角形でかつ} 合同であるから

6 _ACB=6 _DEC

したがって錯角が等しいので ED//BC

平行線の同位角は等しいので

6 _DEF=6 CBE . . . 3°

°, 21 °, 3°^より

6 _AEF=6 _DEF

babababababababababab

夏季補充教室，わずか₅日間ではある がお疲れ様です。夏休みに入ったと思っ たら，次の日からいつもと同じ時間に 授業が始まる_{. . .}。つらいけれど，最初 が肝腎。このまま朝寝坊でだらけた生 活に陥ることなく残りの休暇を勉学に 充実させてください。

私は昆布やってるときは当然学校にで ていますので，しおりをみて，質問な どもってきてください。

諸君の健闘を祈ります。