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全射 単射 木 研究室₂₀₁₆春合宿

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全射と単射

2016-02-29

木下佳樹

1. ^全射と epi

1.1. ^{定義 全射}

: → ^{全射 任意 要素 対} = ^{満 要素 存在 こ}

言う

∀ ∈ ∃ ∈ = 1.2. ^定義 epi

: → ^{epi 任 意 集 合 任 意 写 像} , ℎ: → ^対

∘ = ℎ ∘ = ℎ ^{こ 言う}

∀ ∀ , ℎ: → ∘ = ℎ ∘ ⇒ = ℎ

全射 定義 集合 要素 使わ い や 集合 _, 要素 あ

こ 使わ い 等号₌ 集合 要素 間 等号 あ こ 対 以 示 epi ^{定義 集合 要素 言及 い 等号 要素 間 等号 写像 間 等}

号 あ 全射 定義 う 関数 要素 適用 用い _epi 定

義 こ 用い い代わ _∘ う 関数 合成 用い

◇

□

△

○

☆

◎

＊

ℎ

∀ ∀ , ℎ: → ∘ = ℎ ∘ = ℎ

∀ ∈ ∃ ∈ =

こ う 全射 _epi 定義 用い 語彙 異 次 命題 全射 定

義 _epi 定義 用い い

1.3. ^命題

写像 _{: →} 対 全射 あ 時 限 _epi あ

証明

: → ^{全射 あ 仮定} epi ^{あ こ 示 う}

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2 集合

, ℎ: → ^{写像 さ}

∘ = ℎ ∘ 仮定

以 設定 _{= ℎ} 示 _epi あ こ 示さ

空集合 あ う い あ

空集合 あ う こ 空集合 け い _{: →} 空

い集合 空集合 写像 存在 い あ さ 空集合 空集合 写

像 空集合 恒等写像_{id∅ = id∅}

= ∘ id∅ = ∘ = ℎ ∘ = ℎ ∘ id∅= ℎ あ _{= ℎ} 示さ

空集合 い う

∈

全射 あ いう仮定 ₌ こ

= = ℎ = ℎ

= ℎ

以 全射 _epi あ こ 示さ

次 _{: → epi} あ 仮定

全射 あ こ 示 う

空集合 あ う い あ

空集合 あ う 記 同 理由 空集合 け _{= id∅ id∅}

全射 あ

空集合 い う

全射 い 仮定 矛盾 導

全射 い 対 _{= 0} い う ₀ 一

= { , } , ℎ: → ^{う 定 写像}

∈ ^い =

ℎ ₀ = , ≠ ₀ ℎ =

∈ ^対 ≠ ₀

∘ = ( ) = = ℎ( ) = ℎ ∘

∘ = ℎ ∘ ^{仮 定 epi} = ℎ ^{け い}

0 ^{= ≠ = ℎ} 0 ^{≠ ℎ こ 矛盾 あ}

全射 い 仮定 矛盾 導 全射 け い

以 _epi 全射 あ こ 示さ 証明終わ

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2. ^単射と mono

単射 い _mono いう あ 全射 対 _epi う 働

2.1. ^{定義 単射}

: → ^{単射 要素} , ^{′ 対} = ^{′ あ} = ^{′ 成}

立 こ いう

∀ , ^′∈ = ^′ ⇒ = ^′

こ 条件 要素 _, ^′ 対 _≠ ^′ あ _≠ ^′ 成 立 こ

同値 あ

∀ , ^′∈ ≠ ^′⇒ ≠ ^′ 2.2. ^定義 mono

: → ^{mono 任 意 集 合 任 意 写 像} , ℎ: → ^対

∘ = ∘ ℎ = ℎ ^{こ 言う}

∀ ∀ , ℎ: → ∘ = ∘ ℎ ⇒ = ℎ

mono ^{定義 写像 向 逆} epi ^{定義 こ 注意} mono

定義 _epi 定義 互い 双対 あ いう 一般 何 定義 あ

定義 写像 向 全部逆 別 定義 得 こ 二 定義 互

い 双対 あ いう

◇

□

△

○

☆

◎

＊

ℎ

∀ ∀ , ℎ: → ∘ = ∘ ℎ = ℎ

2.3. ^命題

写像 _{: →} 対 単射 あ 時 限 _mono あ

証明

: → ^{単射 あ 仮定} mono ^{あ こ 示 う} 集合

, ℎ: → ^写像

∘ = ∘ ℎ

∈

仮 定 _{∘ = ∘ ℎ = ℎ} あ 単 射 あ

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= ℎ ^{任意 要素 あ} = ℎ

mono ^あ

: → ^{mono あ 仮定} 単射 あ こ 示 う

, ^′∈

= ^′

, ℎ: { , } → ^{次 う 定}

= = ℎ = , ℎ = ′ こ

∘ = ( ) = = (ℎ ) = ∘ ℎ

∘ = ( ) = = ^′ = (ℎ ) = ∘ ℎ

∘ = ∘ ℎ ^mono = ℎ ^あ = = ℎ = ′

け い

単射 あ 証明終わ