宿題24 測度論的確率論 2015 Kengo Kato

2015.12.1.

宿題

₂₄

提出期限：12.8の講義開始時．

問題

以下，{Bt: t ∈ [0, ∞)}は標準BMとする．

1. 一般に2つの確率過程{Xt : t ∈ T }, {Yt : t ∈ T }が互いの変形(modification)であるとは， P (Xt = Yt) = 1 (∀t ∈ T )が成り立つことを言う．標準BMの変形であるが，パスが不連 続な確率過程を構成せよ．

2. {Xt : t ∈ T } と {Yt : t ∈ T } が区別できない (indistinguishable) とは，ある N ∈ F, P (N ) = 0が存在して，あらゆるω ∈ N^cに対して，Xt(ω) = Yt(ω) (∀t ∈ T )が成り立 つことをいう．T = [0, ∞)のとき，連続なパスをもつ2つの確率過程が互いの変形であれ ば，それらは区別できないことを示せ．

3. {Xt: t ∈ [0, ∞)}を連続なパスをもつ確率過程とすると，

(t, ω) 7→ Xt(ω), [0, ∞) × Ω → R

はB_[0,∞)× F/B可測であることを示せ．

4. T = [0, ∞)とし，B^T をR^T のcylinder σ-fieldとする(宿題16問1を参照)．このとき， C(T ) /∈ B^T を示せ．

5. 任意の0 < α < 1/2に対して，

P {

sup

s,t∈[0,1],s̸=t

|Bt− Bs|

|t − s|^{α < ∞} }

= 1

を示せ．

6. Xt= tB1/t (t ̸= 0), X0= 0とおくと，{Xt}は標準BMであることを示せ． 7. t ∈ [0, ∞)に対して，

Xt(ω) =

∫ t 0

Bs(ω)ds

とおく．{Xt}がGauss過程であることを示し，その平均関数と共分散関数を計算せよ．

1

8. B_t^◦= Bt− tB(1), t ∈ [0, 1]をBrownian bridgeと呼ぶ．

（a）{B_t^◦}がGauss過程であることを示し，その共分散関数を計算せよ．

（b）0 < t₁< · · · < t_k < 1を任意に固定し，ϵ > 0に対して，µ_ϵ(A) := P ((B_t1, . . . , B_tk) ∈ A | |B₁| ≤ ϵ), A ∈ B^kとおく．このとき，任意のϵ_n↓ 0に対して，

µϵn

→ L(Bw _t^◦₁, . . . , B_t^◦_k)

を示せ．

9. 講義ノートLemma 29.4において，f がD上で一様連続でなくて，単に連続な場合は結論 は成り立つか．

10. Durrett 8.1.3.

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