練習問題 Ver11 DSP exs ver11

1

ﾃﾞｨｼﾞﾀﾙ信号処理（ _AC 課程履修者）練習問題Ｈ１７年度版

H18/2/3 ver.1.1

練習問題１

離散フーリエ変換_(DFT)および逆離散フーリエ変換_(IDFT)がそれぞれ次のように与えられている。 DFT:

_{[ ] [ ]}

^{j nm N}

N

n

e

n

x

m

X

^{2 /}

1

0

π

− −

∑

=

=

^・・・(A)

IDFT:

_{[ ] [ ]}

^{j nm N}

N

m

e

m

N X

n

x

^{2 /}

1

0

1

_π

∑

₌⁻

=

^・・・(B)

なお、_n,mともに_0~N-1の整数である。 (1)

_{[ ] [ ]}

⎩ ⎨

⎧

<

<

= =

= 0 ( 0 )

)

0

(

1

N

m

m m

m

X

_c

_δ

^とし、

X

_c

_{[ ]} m

^のIDFT^、

x

_c

_{[ ]} n

^{を求めよ。}

(2) ^式(A)^{で与えられる伝達関数}

X _{[ ]} m

^{を時間関数}

X _{[ ]} n

^とおき、

X _{[ ]} n

^のDFT^を

x _{[ ]} m

^{により与えよ。た} だし、_k≧_Nのとき、

_{δ [ ] [ k}

_→

_{δ k}

_%

_{N ]}

（_k%Nは_kをＮで割った余り）を用いること。

（ヒント：

_{[ ]}

N m n j N

n

e

n

X

^{2 ' /}

1

0 '

'

^{− π}

−

∑

= ^{に(A)を代入してみよ。）}

(3) (2)^{において、}k^≧N^のとき

_{δ [ ] [} k

_→

_δ k

%

N _]

と置いた理由を考察せよ。 (4)

x

_d

_{[ ] [} n _{= δ} ( n ₋ k ₊ N )% N _]

(^ただし、k=0~N-1)^のDFT^、

X

_d

_{[ ]} m

^{を求めよ。}

練習問題２

下記のサンプリング系列

_{s [ ] n}

が与えられている。

(1)

^s

^c

[ ] [ ] [ ] ^{n = s n * s n}

を求め、n=- 5∼20 の範囲で図示せよ。ここで、 * はたたみ込み演算を表し、

[ ] _∑

^∞

[ ] [ ]

−∞

=

⁻

=

k

c

^{n s k s n k}

s

^{で与えられる。}

(2) ８ 点 Ｄ Ｆ Ｔ す な わ ち Ｎ ＝ ８ の Ｄ Ｆ Ｔ を 考 え る 。

_{s [ ] n}

₍た だ し 、_n=0~7)に 対 す る ８ 点 Ｄ Ｆ Ｔ 、

[ ] ^m

S

_DFT (^ただし、m=0~7)^{を求めよ。}

(3)

C _{[ ]} m _{= (} S

_DFT

_{[ ]} m ₎

²(^ただし、m=0~7)^を求め、

C _{[ ]} m

^のIDFT^、

c _{[ ]} n

(^ただし、n=0~7)^{を求めよ。} 1 1 1 1

0

0 7

n

0 ⁰

・ 試験は本練習問題の範囲で出題します。

・ 誤りや補足すべき事項等が発見された場合、 修正を施します。 _web ページは頻繁に確

認しておくようお願いします。修正箇所は本稿最終ページの履歴に掲示します。

（ http://mobcom01.is.kyushu-u.ac.jp/~furuhiro/ ^）

・ 模 範 解 答 は 提 示 せ ず 、 質 問 を 随 時 受 け 付 け ま す 。 希 望 者 は 、

furuhiro@is.kyushu-u.ac.jp ^{へ連絡をください。}

2

(4)

s _{[ ]} n

の離散時間フーリエ変換_(DTFT)

_{S [ ] m}

の自乗は、

_s

_c

_{[ ] n}

の_DTFT、

_S

_c

_{[ ] m}

に等しいことが証明 される。一方₍₃₎で規定したとおり、

_{s [ ] n}

のＤＦＴ、

_S

_DFT

_{[ ] m}

の自乗は、

_{c [ ] n}

の_DFT、

_{C [ ] m}

である。 すなわち、

_s

_c

_{[ ] n}

は

_{s [ ] n}

のたたみ込み演算で与えられるから、

_{c [ ] n}

も

_{s [ ] n}

のたたみ込み演算に類する 演算を施すことで得られると考えられる。この「たたみ込み演算に類する演算」が具体的にどのよ うに与えられるかを₍₁₎と₍₃₎の結果を活用し、かつＤＦＴの原理に立ち返り考察せよ。

練習問題３

次の伝達関数を有するフィルタ_Aが与えられている。

( )

4

1

2

2

1

+

= −

Z

Z

Z Z

H

_A

(1)

H

_A

_{( )} Z

^{を部分分数分解せよ。} (2)

H

_A

_{( )} Z

を表す信号線図を描け。

(3)

H

_A

_{( )} Z

^{のインパルス応答}

h

_A

_{[ ]} n

^を求め、n=0~8^{の範囲で図示せよ。}

(4)

H

_A

_{( )} Z

をフィードフォワード型のフィルタとして構成するとき、その信号線図を描け。（ヒント： (3)^{導出の過程における}n=0,1,2,…^に対する

h

_A

_{[ ]} n

^{の値から、}

h

_A

_{[ ]} n

^をnの関数として与えることを考 えよ）

(5) ^フィルタAは安定なシステムと言えるか？また、その理由を述べよ。

練習問題４

(1) ^{練習問題３で与えた}

H

_A

_{( )} Z

の逆特性（逆回路）となるフィルタＢ、

_H

_B

_{( ) Z}

を導出せよ。 (2) フィルタＢの周波数伝達特性

_{( )}

T 2 j

B

^{Z e}

H ₌

^{ω を図示せよ。}

(3) フィルタＢの特性を持つシステムの差分方程式を求め、これよりインパルス応答

_h

_B

_{[ ] n}

を図示せよ。 また、当該システムは因果的であるかどうか議論せよ。

(4)

h

_B'

_{[ ] [ ]} n

₌

h

_B

n

₋

k

^{なるフィルタＢ}’^{を定義する。フィルタＢ}’が因果なシステムとなるための_kの条件 を求めよ。ただし、ｋは整数とする。

(5) (3)^{で規定した} k のうち、その絶対値が最小となる _k を設定する。この場合のフィルタＢ_’の信号線

図を描き、またフィルタＢ_’の伝達関数、

_H

_B'

_{( ) Z}

を求めよ。フィルタＡとフィルタＢ_’とを従属接続 したシステムの伝達関数を求め、ひずみの有無を議論せよ。

3 修正履歴

ver1.0 H18/1/25 ^初版

ver1.1 H18/2/3 ^{・練習問題１の}(2)^{にヒントを掲示。}

・練習問題２の図面を修正。

・練習問題２（１）の図描画範囲を n=- 5∼20 に指定

・練習問題２（１）のたたみ込み演算の定義式の誤りを修正。

（誤）

_{[ ] ∑ [ ] [ ]}

−

=

⁻

=

¹

0 N

k

c

^{n s k s n k}

s

^→（正）

_{[ ] ∑ [ ] [ ]}

∞

−∞

=

⁻

=

k

c

^{n s k s n k}

s

・練習問題４（１）の「逆特性」の定義を補足。