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計量経済学II ハンドアウト 7 – 説明変数の過不足 1/ 3

7 ^{説明変数の過不足}

7.1 変数の過不足とその影響

A. ⁽¹⁾ がわかっているというのはまれな話

B. 余分な説明変数がある場合や、必要な説明変数がない場合の影響を検討

7.1.1 ^{変数の過剰とその影響}

A. 余分な説明変数の係数がほぼ 0 であれば、問題はなさそう B. 真のモデルを次のように与える

y_i = α^∗ + β₁^∗x_1,i+ ϵ^∗_i (7.1) C. 実際に推定したモデルを次のように与える

y_i = ˆα+ ˆβ₁x_1,i+ ˆβ₂x_2,i+ ˆϵi ^(7.2)

D. ⁽²⁾ が余分な変数として入っている推定量は次の通り βˆ₁ = ^{(S1yS22− S12S2y)}

S₁₁S₂₂− S₁₂^{2 (7.3)}

= ⁽

∑N

i=1^{(yi−y¯)(x1,i−x¯1)S22− S12}

∑N

i=1^{(yi −y¯)(x2,i−x¯2))}

S₁₁S₂₂− S₁₂^{2 (7.4)} E. 分子だけを着目すると、次のように計算できる

(分子)= S₂₂

∑N i=1

[(α^∗+ β₁^∗x_1,i+ ϵ^∗_i) − (α^∗ + β₁^∗x¯₁+ ¯ϵ^∗)] (x_1,i−^x¯₁)

− S₁₂

∑N i=1

[(α^∗ + β₁^∗x_1,i+ ϵ^∗_i) − (α^∗+ β₁^∗x¯₁ + ¯ϵ^∗)] (x_2,i−x¯₂) (7.5)

= S₂₂

∑N i=1

[(β₁^∗(x_1,i−x¯₁) + (ϵ_i^∗−¯ϵ^∗)] (x_1,i−x¯₁)

− S₁₂

∑N i=1

[(β₁^∗(x_1,i−x¯₁) + (ϵ_i^∗−¯ϵ^∗)] (x_2,i−x¯₂) (7.6)

= β₁^∗S₂₂S₁₁+ S₂₂

∑N i=1

ϵ^∗_i (x_1,i−x¯₁) − β₁^∗S₁₂² − S₁₂

∑N i=1

ϵ^∗_i (x_2,i−x¯₂)

= β₁^∗(S₂₂S₁₁− S₁₂² ) +

∑N i=1

ϵ^∗_i[S₂₂(x_1,i−x¯₁) − S₁₂(x_2,i−x¯₂)] (7.7)

Ver. 1.3 Masumi Kawade, 2009

計量経済学II ハンドアウト 7 – 説明変数の過不足 2/ 3 F. 元の式に代入にすると次のようになる

βˆ₁ = β^∗₁ +

∑N

i=1^{ϵ∗i[S22(x1,i−x¯1) − S12(x2,i−x¯2)]}

S₁₁S₂₂− S₁₂^{2 (7.8)} G. ˆβ₂も全く同様に計算すれば、次のようになる

βˆ₂ = 0 +

∑N

i=1^{ϵ∗i[S11(x2,i−x¯2) − S12(x1,i−x¯1)]}

S₁₁S₂₂− S₁₂^{2 (7.9)} H. 双方とも期待値の意味 ( ⁽³⁾ ) では問題はない

E[ ˆ^β₁] = β₁^∗+

∑N

i=1^{E[ϵ∗i][S22(x1,i−x¯1) − S12(x2,i−x¯2)]}

S₁₁S₂₂− S₁₂^{2 = β}

∗

1 ^(7.10)

I. ⁽⁴⁾ もあることが分かっている

J. ただし、 ^{(5) がなく、 (6) も下がる}

K. そのため、不要な変数のない正しいモデルを推定する方が望ましい

7.1.2 ^{変数の不足とその影響}

A. 真のモデルを次のように考える

y_i = α^∗ + β₁^∗x_1,i+ β₂^∗x_2,i+ ϵ^∗_i (7.11) B. 実際に推定したモデルを次のように与える

y_i = ˆα+ ˆβ₁x_1,i+ ˆϵi ^(7.12)

C. ^{(7) が不足した}β^ˆ₁の推定量は次のようになる

βˆ₁ =

∑N i=1

(x_1,i−x¯₁) (yi⁻y)¯

∑N i=1

(x_1,i−x¯₁)²

(7.13)

=

∑N i=1

(x_1,i−^x¯₁) [(α^∗+ β₁^∗x_1,i+ β₂^∗x_2,i+ ϵ^∗_i) − (α^∗+ β₁^∗x¯_1,i+ β₂^∗x¯_2,i+ ¯ϵ^∗_i)]

∑N i=1

(x_1,i−^x¯₁)²

(7.14)

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計量経済学II ハンドアウト 7 – 説明変数の過不足 3/ 3

= β₁^∗ + β₂^∗

∑N i=1

(x_1,i−x¯₁)(x_2,i−x¯₂)

∑N i=1

(x_1,i−x¯₁)²

+

∑N i=1

(x_1,i−x¯₁)(ϵ^∗_i −¯ϵ^∗)

∑N i=1

(x_1,i−x¯₁)²

(7.15)

= β₁^∗ + β₂^∗

∑N i=1

(x_1,i−x¯₁)x_2,i

∑N i=1

(x_1,i−x¯₁)² +

∑N i=1

(x_1,i−x¯₁)ϵ^∗_i

∑N i=1

(x_1,i−x¯₁)²

(7.16)

D. (7.16) 式の第 2 項目を見れば、不足した変数の影響が残っている E. β₂^∗ ̸= 0 ゆえ、推定量がゆがんでいる ( ^{(8) がなくなっている})

F. 説明変数が不足すると推定全体が ⁽⁹⁾ という大きな問題を抱える G. 標本を十分大きくしたとしても β^{∗に収束せず、 (10) もない} H. 推定式が真のモデルであることを「前提」に、推定量は計算されている

I. 少なくとも ⁽¹¹⁾ がすべてなければ、正しい推定はできない J. 必要な説明変数が不足していても、推定には問題がない場合もある

1. 不足した説明変数と推定された説明変数に ^{(12) が全くないこと} 2. 説明変数の間に何らかの ⁽¹³⁾ があることは一般的で、このような

条件を満たすことは珍しい

K. 実際の分析では ⁽¹⁴⁾ に注意しつつ、まず必要な説明変数を含めて多め の説明変数で推定し、

(15)

を用いながら不要な説明変数を外して行く

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