メカニズムデザイン・宿題解答 utgame2017 solution09 revised

メカニズムデザイン 宿題 9

奥村 恭平

^∗†‡

November 15, 2017

略解を示す．

問 1: 各人が一単位しか需要しない場合，一律価格が VCG メカニズムに一致することを示せ．

K個の同じ財をn人の買い手を相手に売る．買い手を，申告された財評価の高い順に並べたとする．i.e. ω¹

1

^>

^ω12

^{> · · · >}

^ω1n

^>

^{0. また，}

^∀

ⁱ

^∀

^{k; k}

^≥

²

^=⇒

^ωki ^:

⁼

^{0である．}

まず，効率的な配分は，以下のようになる．¹ g

(

^ω

) = (

1, . . . , 1

| {z }

K

, 0, . . . , 0

| {z }

n−K

)

オークションの設定下では，pivot mechanismの支払いルールは，そのプレイヤーの「外部性」を 支払うものになることに注意すると，pivot mechanismの支払いルールは，

xi

⁽

^ω

^{) =}

{ ω¹

k+1 ^{if i}

^≤

^k

0 o.w.

となることがわかる．これらは，各人が財を一単位のみ需要する場合の一律価格オークションの配分ルー ル・支払いルールに一致している．つまり，各人が財を一単位需要する場合，一律価格オークションは VCGメカニズムになっている．

問 2: Demand Reduction

ここでいう戦略とは，「メカニズムに申告する

(

^ωh_i

)

_{h∈{1,...,10}}の値をどうするか」であることに注意する．

(2-1)双方が正直戦略に従う場合の取引価格は？

取引価格は最高非落札価格である(としている．スライド参照．)ことに注意すると，二人が正直戦略に 従う場合の取引価格は，p :

=

5となることがわかる．

(2-2)相手が正直なときに，自身の利得を最大化するような戦略は？

自身が競り落とす財の数で場合分けして考える．いまbidder 2は正直に自身のタイプを申告するとし， bidder 1が，必ずしも本当とは限らない値

(

^ω_ei^h

)

_{h∈{1,...,10}}を申告すると考える．

例えば，仮にbidder 1が財を一つだけ競り落とすとした場合の最適な戦略(の一つ)は， e

ω¹

1 ^:

⁼

¹

⁺

^{ε, ωe2}1

^{= · · · =}

^ωe101

⁼

⁰

というものであり，このとき，取引価格は1，bidder 1の利得はu^∗

(

1

) ≈

10

−

1

=

9となる．

同様にして考えると，bidder 1がk個財を競り落とすとした場合のbidder 1の最適な戦略(の一つ) は，

e ω¹

1

^>

^ωe1²

^{> · · · >}

^ωe1^{k :}

⁼

^k

⁺

^{ε, ω}e₁^k+1

^{= · · · =}

^ωe¹⁰1

⁼

⁰

∗first-year master student at Graduate School of Economics, the University of Tokyo

†E-mail: [email protected]

‡誤り等見つけた場合は教えて頂ければ幸いです．質問がある場合も上のメールアドレスまでご連絡ください． 1_{g(ω) = (g}

1^(ω), . . . , gn^(ω)), g_i(^ω) ∈ {0, 1}であり，「g_i(^ω) =1⇐⇒iが財を一単位得る」としている．

1

であり，そのときの利得は，

u^∗

(

k

) ≈

k−1

∑

i=0

(

10

−

k

−

i

) =

³

2^k

⁽

⁷

⁻

^k

⁾

と表せることがわかる．よって，k

∈ {

3, 4

}

のときu^∗

(

k

)

は最大になり，その時の利得は， u^∗

(

3

) ≈

u^∗

(

4

) ≈

18

である．

(2-1)の場合のbidder 1の利得が15であることに注意されたい．(2-2)では，bidder 1は自身の需要 を少なめに申告する(demand reduction)ことで利得を上げることに成功している．このように，一般 にuniform price auctionではdemand reductionが問題になり，正直申告が最適でなくなってしまう．

2