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代数系のクラスの圏同値性

東北大学理学研究科数学専攻 井澤 昇平

２０１１年６月２４日 東北大学ロジックセミナー

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{1 / 22}

目次

1

一般代数系の基礎

2

代数系のなす圏

3

最近の取り組み

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{2 / 22}

一般代数系とは

集合A と A 上の演算（の集合）S の対に関する一般的な性質を 研究する分野。大まかに以下のように分類できる（？）

関係記号のない言語を固定して、その構造の全体像を探る 集合を一つ固定しその上の（合成に閉じた）演算の集合と してどのようなものがあるのかを探る

他の構造との間にある対応などを調べる。 用語

以下では関数記号（と定数記号）のみからなる言語Lを固 定し、Lを作用域と呼ぶ。

L構造のことを代数系と呼ぶ。

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{3 / 22}

一般代数系とは

集合A と A 上の演算（の集合）S の対に関する一般的な性質を 研究する分野。大まかに以下のように分類できる（？）

関係記号のない言語を固定して、その構造の全体像を探る 集合を一つ固定しその上の（合成に閉じた）演算の集合と してどのようなものがあるのかを探る

他の構造との間にある対応などを調べる。 用語

以下では関数記号（と定数記号）のみからなる言語Lを固 定し、Lを作用域と呼ぶ。

L構造のことを代数系と呼ぶ。

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{3 / 22}

新しい代数系を作る操作１

定義

部分構造を部分（代数）系と呼ぶ。

{A_k}_k∈Kを代数系の族としたとき直積集合に成分毎の演算を 入れた代数系を_{Ak}の直積（代数系）という。

s((a_k)_k)_{i := (s(ai}))_k

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{4 / 22}

新しい代数系を作る操作２

定義₍合同関係・剰余系₎ A を代数系、θ ⊂ A^{2とする。}

θ が^{合同関係であるとは}

(ai,bi) ∈ θ ⇒ (s(ai), s(bi)) ∈ θ

が任意の_{s ∈ L, ai,bi} ∈ A に対して成り立つことをいう。 A の合同関係全体を Con(A) と書く。

θ がA の合同関係のとき、次のように構造を入れた A/θ を A の_{θ による}剰余系と呼ぶ：

s(a_i/θ_{) := s(ai})/θ

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{5 / 22}

定義₍準同型と核₎

A, B：代数系。写像 f : A → B が^{準同型であるとは} f (s_A(a_{i)) = sB}( f (a_i))

が任意の_{s ∈ L と ai} ∈ A に対して成り立つことをいう。 準同型 f : A → B に対し以下を f の核という。

Ker( f ) := {(a1,a₂) ∈ A² | f (a_{1) = f (a2})}

命題₍準同型定理₎

f : A → B を準同型とするとき Ker( f ) は A の合同関係であり、 A/Ker( f ) ≃ Im( f )

が成り立つ。

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{6 / 22}

等式クラスの定義

定義

1 ∀ ¯x(t( ¯x) = t^′( ¯x)) の形の論理式からなる公理系を^{等式公理と} 呼ぶ。

2 等式公理Σ により V = {A | A |= Σ} と書けるクラス V を^等式 クラスと呼ぶ。

一般代数系の研究は等式クラスに関連するものがかなりの割合 を占めているように思われる。

理由は・・・何故か心惹かれるという身も蓋もないものが一番大 きい（？？）

また_cloneというある等式公理で特徴付けられる代数系と等式ク

ラスが一対一に対応するという事実があり研究を行ないやすく、 一般の代数系のクラスを考えるときにもそれを含む最小の等式 クラスを経由して考える方が扱いやすいという理由も大きいか も知れない。

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{7 / 22}

等式クラスの定義

定義

1 ∀ ¯x(t( ¯x) = t^′( ¯x)) の形の論理式からなる公理系を^{等式公理と} 呼ぶ。

2 等式公理Σ により V = {A | A |= Σ} と書けるクラス V を^等式 クラスと呼ぶ。

一般代数系の研究は等式クラスに関連するものがかなりの割合 を占めているように思われる。

理由は・・・何故か心惹かれるという身も蓋もないものが一番大 きい（？？）

また_cloneというある等式公理で特徴付けられる代数系と等式ク

ラスが一対一に対応するという事実があり研究を行ないやすく、 一般の代数系のクラスを考えるときにもそれを含む最小の等式 クラスを経由して考える方が扱いやすいという理由も大きいか も知れない。

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{7 / 22}

抽象化して初めて考えられる問題

以上は群、環、束など、特殊な代数系の場合に考えられる基本的 な概念のいくつかが、より広い場合においても考えることがで きるということだった。しかし

一般代数系が真に取り組むべき問題は「演算構造が入った集合」 というもの全てを見るという視点に立ったときに初めて意味を 持つ現象を発見することにある。

例：

V_{1, V2}を代数系のクラスとする。V₁とV₂が圏として同型 となる条件を求めよ。

“ 拡大等式クラス全体 ” の束構造は等式クラスの完全不変 量か？

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{8 / 22}

抽象化して初めて考えられる問題

以上は群、環、束など、特殊な代数系の場合に考えられる基本的 な概念のいくつかが、より広い場合においても考えることがで きるということだった。しかし

一般代数系が真に取り組むべき問題は「演算構造が入った集合」 というもの全てを見るという視点に立ったときに初めて意味を 持つ現象を発見することにある。

例：

V_{1, V2}を代数系のクラスとする。V₁とV₂が圏として同型 となる条件を求めよ。

“ 拡大等式クラス全体 ” の束構造は等式クラスの完全不変 量か？

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{8 / 22}

抽象化して初めて考えられる問題

以上は群、環、束など、特殊な代数系の場合に考えられる基本的 な概念のいくつかが、より広い場合においても考えることがで きるということだった。しかし

一般代数系が真に取り組むべき問題は「演算構造が入った集合」 というもの全てを見るという視点に立ったときに初めて意味を 持つ現象を発見することにある。

例：

V_{1, V2}を代数系のクラスとする。V₁とV₂が圏として同型 となる条件を求めよ。

“ 拡大等式クラス全体 ” の束構造は等式クラスの完全不変 量か？

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{8 / 22}

抽象化して初めて考えられる問題（続き）

ある性質を持つ代数系／等式クラスの分類を与えよ。  等式クラスの性質の例：

  部分等式クラスのなす束が○ ○ の性質を持つ   ○ ○ の例_:直積分解できない

 代数系の性質の例：

  部分系の束／合同関係の束／自己同型群_etc. が× × の 性質を持つ

  × × の例_:（台集合を固定し）_termを一つでも増やすと 全ての演算が_termの演算となる

ある新しい代数系をとる操作で閉じた代数系のクラスの特 徴付けを与えよ。

“ 方程式 ” の解の性質、数の評価

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{9 / 22}

定義

K を代数系のクラスとする。F ∈ K が X ⊂ F を自由生成元とす るK の自由（代数）系であるとは、

任意のA ∈ K と写像 f : X → A に対し、g|_{X = f となる準同型} g : F → A がただ一つ存在することをいう。

X の濃度を F のランクという。

命題

等式クラスは任意ランクの自由系を持つ。

証明：_termの全体を公理からt = s が導けるものを同一視する同 値関係で割ったものに自然に演算を入れたものが自由系になる。



(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{10 / 22}

定義

K を代数系のクラスとする。F ∈ K が X ⊂ F を自由生成元とす るK の自由（代数）系であるとは、

任意のA ∈ K と写像 f : X → A に対し、g|_{X = f となる準同型} g : F → A がただ一つ存在することをいう。

X の濃度を F のランクという。

命題

等式クラスは任意ランクの自由系を持つ。

証明：_termの全体を公理からt = s が導けるものを同一視する同 値関係で割ったものに自然に演算を入れたものが自由系になる。



(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{10 / 22}

定義

Vを等式クラス、_TnをVのn 項 term の全体とし（V で常に同 一の演算を定めるものを同一視する）_{xn,i ∈ Tn}を変数記号、 cn,m : T_n^m× T_m→ T_n^を

c_n,m((t₁, ···,t_m), s) := s ◦ (t1^{, ···,t}m⁾

と定める。

({T_n}_n∈N, {c_n,m}_n,m∈N, {x_n,i}_{n∈N,1≤i≤n}) を V に対応する clone といい C(V) とかく。

cloneはもとの等式クラスの本質的情報（_termを一義的なものと

考え、何が演算記号であるかを気にしない立場から見たときの 構造：definitional equivalence）を完全に表現している。また、 等式クラスの_cloneとなりうる構造の特徴付けも容易に与えるこ とができる。

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{11 / 22}

定義

以下の条件をみたす対_({Cn}_{n∈N, {cn,m}}_{n,m∈N, {pn,i}}_{n∈N,1≤i≤n) を clone} という：

各_Cnは集合。 cn,m : C^m_n × C_m→ C_n.

p_n,i ∈ C_n

c_n,l((c_n,m((x_i)^m_i=1,y_j))^l_j=1,_{z) = cn,m}((x_i)^m_i=1,c_m,l((y_j)^l_j=1,z)). c_n,m((x_i)^m_i=1,p_{m, j) = xj}.

c_n,n((p_n,i)ⁿ_i=1,_{y) = y.} 定理

等式クラスのclone は clone である。また、任意の clone C に対し C(V) = C となる等式クラス V が存在し、V は定数記号の有無と definitionally equivalent を除いて一意に定まる。

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{12 / 22}

定義

圏とは次の条件をみたす対(Ob, Mor, dom, cod, id, ◦) のことを いう。

Ob, Mor はクラス、id : Ob → Mor, dom, cod : Mor → Ob,

◦ = {◦A,B,C : Mor(B, C) × Mor(A, B) → Mor(A, C)}_A,B,C∈Ob. ただしMor(A, B) = { f ∈ Mor | dom( f ) = A, cod( f ) = B}. dom(g ◦ f ) = dom( f ), cod(g ◦ f ) = cod(g),

( f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h), dom(id(A)) = cod(id(A)) = A,

f ◦ id(A) = id(B) ◦ f = f ( f ∈ Mor(A, B)). 以下_{id(A) を idA}と書く。

f ∈ Mor(A, B) であることを f : A → B と書く。

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{13 / 22}

例

L：関係記号のない言語 K^：L^{構造からなるクラス} このとき

・_{Ob = K}

・Mor(A, B) = Hom(A, B)，Mor =^∪A,B∈K^{Mor(A, B)}

・_{id(A) = idA}，f ◦ g = g と f の合成写像 とすると圏になる。以下この圏もKと書く。

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{14 / 22}

定義

  f : A → B ∈ Mor が同型射である

⇔ ∃g : B → A; g ◦ f = idA, _{f ◦ g = id}B^.

同型射A → B が存在するとき A と B は同型であると言い、 A ≃ B と書く。

定義 C_{1, C2}：圏

・関手_{F : C1}→ C₂とは対

F_Ob: ObC₁ → ObC₂,F_Mor : MorC₁ → MorC₂ ^でid, dom, cod, ◦ を保存 するもののこと。

・関手_{F : C1}→ C₂,G : C₂ → C₁が圏同値対であるとは

G(F(A)) ≃ A (∀A ∈ ObC₁), F(G(B)) ≃ B (∀B ∈ ObC₂) となること。 F, G が存在するとき C1^とC2^{は圏同値と言う。}

問題

代数系のクラスK , L が圏同値となるのはどんなときか？

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{15 / 22}

定理_(McKenzie)

K , L：任意ランクの自由系を含む retract に閉じたクラス K ^とL^が圏同値⇔∃n ∈ N, ∃σ = (σ1^{, ···, σ}n) ; L = K^[n](σ). ここで_σiはK のn 項 term で、 ¯σ はべき等的かつ可逆なもの。 定義

 σ がべき等的  ⇔  _¯ σ ◦¯ σ.¯  _{σ が可逆¯}

⇔ _{(x1, ···,xn}) = ¯t( ¯σ(t1( ¯x)), ···, ¯σ(t_m( ¯x))) をみたす term t, t₁, ···t_m^が 存在する。

定義

A^{[n]の台集合は}A^n，m 項演算は A の nm 項演算の n 個の対。 A(σ) の台集合は σ(A)，演算は σ ◦ t（t は A の演算）の形の もの。

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{16 / 22}

定義

A を代数系、Rel_{n(A) := A}^{nの部分系全体とする。}

Rel(A) = {Reln(A) | n ∈ N} に以下の演算を入れた代数系を A の関 係構造という。

・置換：_σ: {1, ·, n} 上の置換に対し σ_{(ρ) := {(x}1, ···,x_n) | (x_σ(1), ···,x_σ(n)) ∈ ρ}.

・直積：_{ρ × τ:= {(x1, ···,xn,y1, ···,ym) | (x1, ···,xn) ∈ ρ, (y1, ···,ym) ∈ τ}}

・射影：_{prn(ρ) := {(x1, ···,xn}) | ∃y ∈ A; (x₁, ···,x_n,y) ∈ ρ}

・結合：

ρ ◦ τ_{:= {(x1}, ···,x_n−1,y₂, ···,y_m) | ∃z; (x₁, ···,x_n−1,z) ∈ ρ, (z, y₂, ···,y_m) ∈ τ}

・複製：∆(ρ) := {(x1^{, ···,x}n^,xn^{) | (x}1^{, ···,x}n^{) ∈ ρ}}

・“ 対角集合 ”：_δ := {(x, x, y) | x, y ∈ A} 定理(Denecke, L ¨uders)

A, B：有限代数系

  V(A) と V(B) との間に A を B に移す圏同値がある

⇔ Rel(A) と Rel(B) が同型。

※ A B の有限性の仮定を外しても Rel を A 項関係まで加えた不 変関係の全体とすれば定理は成り立つ。

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{17 / 22}

Fact (McKenzie^{の定理の系})

K ^とL^{が自由系を含み}retract に閉じたクラスのとき、その 間の圏同値はそれらを含む最小の等式クラスに拡張される。 V, W が等式クラスでそれらの間に圏同値が存在するとき、 VとWの部分等式クラスの束は同型。

問題

「圏同値の拡張」において等式クラスは何らかの自然な位 置づけが与えられるか？より細かく分けると

・他のクラスの圏同値は等式クラスの圏同値に拡張され るか？

・等式クラスの間の圏同値は自然により広いクラスへと拡 張されるか？

拡大等式クラスの対応関係はあるか？

最後の問について「全く否定的である」という回答が多分成り立 つのではないかと思う。

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{18 / 22}

定理_(McKenzie)

V, W₁, W₂^{を等式クラス、}ϕ_i : V → W_i^{を圏同値とする。} W₁とW₂がdefinitionally equivalent である条件は W1^の

rank 1 の自由系 FW₁(1) の ϕ₁^{による引き戻しと}W₂のそれが 同型であることである。

ϕ⁻¹₁ (F_W1(1)) は 有限生成、射影的、余生成 代数系であり、下 線部の条件をみたす代数系は等式クラスの間の圏同値で F(1) に写りうる。

定義

代数系A ∈ V が余生成であるとは任意の B ∈ V に対し A から B への全ての準同型の像によりB が生成されることをいう。

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{19 / 22}

Fact

V₁, V₂を等式クラスとし、V₁からV₂への翻訳（が存在すると しその一つ）を固定する。

その翻訳の随伴関手_{G : V1 → V2}により有限生成性、射影 性、余生成性は保存される。また自由系は同じ_{rank の自由} 系に写る。

W_{1 = V}^[n]₁ (σ) で ϕ₁: V₁ → W₁^{を圏同値とするとき} W_{2 := V}^[n]₂ (σ) とおくと自然に圏同値 ϕ2 : V2^{→ W}2^があ

り、_ϕ2(G(ϕ⁻¹_(FW

1(1)))) = F^W2^{(1) となる。}

等式クラスVの有限生成射影的余生成代数系の全体を_{P(V) と} 表記すると、等式クラスの間の翻訳V₁ → V₂は写像

P(V₁) → P(V₂) を誘導する。

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{20 / 22}

今後やりたいこと

1 P(V) に適当な構造を入れ、取り得る構造の特徴付けを与え る公理を与える。

2 「等式クラスVと上で定義したい構造の準同型

f : X → P(V) が任意に与えられたとき、等式クラス V^′と翻 訳V^′ → Vで_P(V^′) ≃ X であり、翻訳が誘導する準同型が f と一致するものが存在する」という命題を証明する。

(^井澤昇平) 代数系のクラスの圏同値性 _{21 / 22}

参考文献

1 Ralph McKenzie, An algebraic version of categorical equivalence for varieties and more general algebraic categories, Logic and Algebra vol.180

2 K.Denecke, O. L ¨uders, Categorical equivalence of varieties and invariant relations, Algebra Universalis 46(2001)

3 Yoshihiro Maruyama, A Duality for Algebras of Lattice-Valued Modal Logic,

4 Stanley N. Burris and H.P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra The Millennium Edition, Springer-Verlag

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