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中級ミクロ経済学 レクチャーノート#1 論理と命題
講師：鈴木 慶春 配付：2017年4月10日
１. 論理と命題を学ぶモチベーション
• ミクロ経済学という1つの論理体系を学ぶ前に、まずは「論理」の言語を習得する必要がある。 今回「論理と命題」を学ぶことで「論理の言葉」と「日常の言葉」の違いを明確にする。
• 経済学は（実はその他の学問も）小説のような「日常の言葉」で書かれているように見えて、 実は「論理の言葉」で表現されており、それぞれで微妙に意味が異なる。
• 「論理と命題」は「微分」より大事な数学的素養（個人的意見）。
「明日晴れたらピクニックに行こうね」と親が娘に約束した。翌日にどの事案が発生すれば、この発言は 正しくないと言えるだろうか？全て選びなさい。(※前年度履修者の正解率は2割)
(a)晴れたのでピクニックに行った。 (b) 晴れたがピクニックに行かなかった。
具体例1：「日常感覚」と「論理」の違い
(c) 雨が降ったのでピクニックに行かなかった。 (d) 雨が降ったがピクニックに行った。
「もし明日返却のテストが80点未満だったら、お小遣い減らすからね」と親が娘に言った。翌日にどの 事案が発生すれば、この発言は正しくないと言えるだろうか？全て選びなさい。
(a) 80点以上だったので小遣いは減らなかった。 (b) 80点以上だったが小遣いを減らされた。
具体例2：「日常感覚」と「論理」の違い
(c) 80点未満だったので小遣いを減らされた。 (d) 80点未満だったが小遣いは減らされなかった。
集合論の簡単な復習（講義内では説明をしません。前提知識とします）
•「集合」とは「要素の集まり」のことである。
「千葉大生」という集合は、千葉大の学生1人1人という要素の集まりである。あなたが千葉 大生なら、千葉大生という集合に「属している」ということになり、あなた∈千葉大生と書く。
∈は「属する」という意味。もし� ∈ �と書けば「要素xは集合Aに属する」という意味になる。 逆に「属さない」という記号もあり、それは∉で表される。例：あなた∉ハーバード大生
•「集合Aに属さない全ての要素の集まり」を「集合Aの補集合」といい、これを��で表す。
•「集合A,Bの両方に属する要素の集まり」を「集合A,Bの共通部分」といい、これをA⋂Bで表す。
「� ∈ �かつ� ∈ �」は「� ∈ � ∩ �」と同じ意味である
•「集合Bのどんな要素も集合Aに属している」とき、集合Bは集合Aに含まれるまたは集合Bは集合Aの 部分集合であるといい、これを� ⊂ �と書く。
•「存在する全ての要素を集めた集合」を「全体集合X」という。
•「要素を持たない集合」を「空集合�」という。
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■3つ目の言葉：「かつ(and)」
•「AかつBが真である」（あるいは単純に「AかつB」）という主張は「Aが真であり」かつ同時に
「Bが真である」という意味。
これは日常感覚に（比較的）近い意味である。
■4つ目の言葉：「または(or)」
•「AまたはBが真である」（あるいは単純に「AまたはB」）という主張は「AかBの、少なくとも一方が 真である」という意味。
論理における「または」はA,B両方が真でもよい。これは日常感覚とかけ離れている！
1.「『Aである』かつ『Bである』」の否定は「『Aでない』または『Bでない』」 2.「『Aである』または『Bである』」の否定は「『Aでない』かつ『Bでない』」
ド・モルガンの法則（De Morgan's laws）
テストバンク（板書のみにて解説します）
問題1. 論理においてはどんな主張も「正しい」か「正しくない」かのどちらか1つである（二値論理と いう）。これを「ベン図」で書き表してみよう。
問題2. ベン図で「AかつB」となる領域を表してみよう。 問題3. ベン図で「AまたはB」となる領域を表してみよう。 問題4. ベン図で「AかつB」の否定となる領域を表してみよう。 問題5. ベン図で「AまたはB」の否定となる領域を表してみよう。
2. 論理の言葉を覚えよう
■1つ目の言葉：「正しい(true)」「正しくない(false)」
•ある主張Aが「正しい」「正しくない」の言い換えとして、以下もよく使われる
Aが「成り立つ」「成り立たない」、Aは「真である」「偽である」、A「である」「でない」
•日常言語で「正しい」は価値判断を含む言葉だが、論理では価値判断は一切含まれない。
•我々の「日常生活」では正しいとも正しくないとも言えない主張ばかり溢れているが、論理においては、 どんな主張も「正しい」か「正しくない」かのどちらか1つである。中間は無い
■2つ目の言葉：「～でない(not)」
•「Aである」という主張の否定は「Aでない」。Aが真でない、Aが偽であるの言い換え。¬�とも書く
「Aでない」はベン図における集合Aの補集合
「Aである」と「Aでない」が両方とも真になることはない
「Aである」の否定の否定は「Aである」と同じ
日常言語では必ずしもそれを意味していない。
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■5つ目の言葉：「ならば(if-then)」
•�, �という2つの主張があるとしよう。このとき「�ならば�（� ⇒ �とも書く）」とは
「Aが真である」ときは必ず「Bも真である」
という意味である。むしろ、これ以外の意味を何1つ持たないと思ったほうがいい 例えば「AならばB」は、以下の意味合いは全く持っていない（ので取消線を引いた）。
「Aが真でない」ならば「Bも真でない」
論理の世界において「ならば」は非常に重要であるにも関わらず、ここを誤解してしまう学生が 後を絶たない。
• 「AならばB」が意味を持つのは、前提となる主張Aが真の場合のみ。
• 「AならばB」は、Aが偽である場合のBの成立・不成立について何も主張していない
Aが偽である場合にBが真であろうがなかろうが、「AならばB」という主張そのものは 何も嘘をついていない
• 「AならばB」が偽となるのは前提となるAが真であるにも関わらずBが真でないときのみ。
論理における「ならば」に関する超重要事項
論理における「ならば」は、日常言語における「ならば」とは遠くかけ離れているので、 混同しないように注意すること。混同したままだと本講義で（他科目でも）痛い目に合う
3. 命題（Proposition）
• 真か偽かはっきり定まる主張を命題という。
例）� − �が3の倍数ならば�3− �3は9の倍数である
• 世の中には真か偽かはっきり定まらない主張が多数あるがそれらは命題とは言わない。
元々の命題
「Aである ⟹ Bである」
「Aでない ⟹ Bでない」命題の裏
「Bである ⟹ Aである」命題の逆
命題の対偶
「Bでない ⟹ Aでない」
裏 対偶 裏
逆
逆
■命題の逆、裏、対偶
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テストバンク（続き）
問題6. 集合A、集合Bを用いたベン図で「AならばB」を表現してみよう。
問題7. 「明日晴れたらピクニックに行こうね」を「ならば」を使った論理命題として書き換えよ。
問題8. 「もし明日返却のテストが80点未満だったら、お小遣い減らすからね」を「ならば」を使った論理 命題として書き換えよ。
問題9.論理における「ならば」は日常言語での意味と遠くかけ離れていることが分かってきた頃だろう。 もしサークルの新入生歓迎会で「20歳以上ならばお酒を飲んでよい」という発言があった場合、
「常識的な意味」と「論理における意味」をそれぞれ考えて答えよ。
問題10. 「AならばBである」という命題の意味を誤って捉えている文を選びなさい。
(ア) Aが成立するならばBが必ず成立する (イ) Aが成立するときだけに限りBが必ず成立する 問題11. 命題「AならばB」の逆と裏が真にならない例を作ってベン図で書き表してみよう。
問題12. 「彼は叱られないと勉強しない」の対偶は何だろうか？
問題13. 「Xが千葉大学法政経学部の学生である」ための必要条件になりうるものは次のうちどれ？
「中級ミクロ経済学を受講している」「千葉大学の2年生である」「千葉大生である」 問題14. 「Xが千葉大学法政経学部の学生である」ための十分条件になりうるものは次のうちどれ？
「千葉大学の2年生である」「千葉大生である」「千葉大学法政経学部経済コース所属である」 問題15. 「ある財が下級財である」ことは「その財がギッフェン財である」ための何条件だろうか？ 問題16. 「ある財がギッフェン財である」ことは「その財が下級財である」ための何条件だろうか？
1.真である命題を考える。このとき「命題の逆」と「命題の裏」が必ずしも真になるとは限らない。 2.命題の真偽と「命題の対偶の真偽」は必ず一致する。
命題の逆・裏・対偶と真偽について
•主張Bが成立するには少なくとも主張Aが成立する必要があるとき、AをBのための必要条件という。
•主張Bが成立するには主張Aが成立すればそれだけで十分であるとき、AをBのための十分条件という。
必要条件と十分条件
4. 必要条件（Necessary condition）と十分条件（Sufficient condition）
• これらは高校数学で勉強するが、大学生になると多くの人が忘れる概念である。しかし理解すると 論理的思考力が間違いなく格段にアップするので、良い機会だと思って今のうちに把握しよう。
