講演資料置き場 名城大学春季セミナー2015

加藤 恭

大阪大学大学院基礎 学研究

大阪大学金融 保険教育研究 ン _(CSFI)

[email protected]

T. Kato

名城大学理工学部数学科 2014年度春季セミナー

数理 ン 入門 そ 3

Quantitative Financial Risk Management

( _{定量的金融 管理)}

Outline

Introduction

 ^金融

 ^{金融 計量化 量的 管理}

金融資産運用 管理 関わ 話

 ^{Markowitz 理論 発展}

 ^{資産運用 ン}



^{長期運用 伴う ッ ン}



^{ン ッ 運用 ッ ン}

 ^{引執行 場流動性}

ンキン 計量 ^・ 管理

 ^{Basel 自己資本比率規制}

 ^{場 、信用 、 ( )}



^量 (Value-at-Risk and more) ^計測手法

 ^{解析的 VaR 計算手法、 ッ 損失 、極値理論}

 ^{量 限界}



^CVA

Purpose of This Talk

金融 管理 関 理論的話 課

 ^{危機や ン ッ 等、数々 経}

金融 管理高度化 対 機運 理論 実務共々高 い

 ^{量的金融 管理 関 概要 、全体像 俯瞰 共 、}

各 ッ 関 近 理論的 話 い 紹



^{、何 問 い ？}



^{う 研究 い ？}



^{う 理論的 明 い ？}



^{実務 い 使え 統計的 学的手法 う あ ？}

 ^{紹 理等 、煩雑 避 数学的 詳}

あ 程度省略



^{各 ッ い 深 踏 込 、様々 話 幅広 い}



^{厳密 数学的議論 関 本資料 最後 あ} References ^文献

参照 い

T. Kato

Introduction of

Quantitative Risk Management

金融

 ^{義 ( 一例 )}



^{あ 行動 伴 ( あ い 行動 い ) 、}

^{危険 遭う可能性や損 可能性 意味 概念}

 ^{金融 関 文脈 、 いう言葉 確実性 表 多い}



^{、金融 = 将来起 得 確実性 伴 損失}

 ^{量的 管理}



^{益獲得 適 ン}

 ^{散 要 削減 、 健全性 高}



^{確率 起 得 大規模損失 対 備え}

 ^{保有株式 価格 落}

 ^{債 債務 行}

 ^{大規模自然災害 伴う資産価値 落}

 ^etc.

Financial Risks

金融 種類 (あく 一例)

 ^場



^{価格変動 ( ) 、金利 、 ( 場性信用 、 )}

場流動性 、 _{( )…}

 ^信用



^{、 ン …}

 ^{( )}



^{務 、 、自然災害 、訴訟 、 ( 風評 )…}

 ^{集中 、伝播}

 ^{資金流動性 、 ッ}



^{ッ : - 菊池 - 丹羽 - 服部} (2014), K.- ^山中 (2014)

 ^{他、 や統合的 管理 金融 管理 関わ 重要}

話

T. Kato

Risk Quantification & Risk Measures

金融 定量化

 ^{将来 確実 損失 (or 益 ) 確率変数 概念}

式化

 ^{大雑把 : あ 金融商品 1 単 購入 考え}



^{商品 現在価値 = X}

(deterministic)



^{将来時 価値 = X}

^(random)



^{時、将来時 益 X}

^{– X}

⇔ 言い換え 、将来時 損失 _X

_{– X}

 ^{勿論、期中 商品 運用や 他 要因 考え 状況 複雑}

計量化 、大雑把 言う

確率変数 程度 損失 生 可能性 あ

現時点 数値化 把握

Risk Quantification & Risk Measures

尺度 (Risk Measure)

 ^{将来 確実 損失} deterministic ^{量 落 込 関数}



Future random losses (t = T) Present deterministic values (t = 0)

 ^{数学的 …}

 ^{尺度 、確率変数遉 空間 義 実数値関数}

 ^{尺度 例}

 ^{期待損失 (EL) (L)= E[L]}

 ^標準偏差 (L) = Var(L)^1/2 ← ^{資産運用等 い 標準的}

 Value at Risk (VaR) (L) = VaR (L) ← ^{ン ン 計量 い 標準的}

 Conditional VaR (CVaR) (L) = CVaR (L)

 ^etc.

T. Kato

確率変数 空間: 必要 応 ^{Lp, L∞}, Orlicz spc. _{等 え}

( _{同時 懐疑的…)}

Risk Control on Investment Problem

金融 計量化 最近 話 取 前 資産運用

ン ⁽ 管理) 目 向

 ^{量的資産運用 関 理論 数理 ン や金融 学 い 最}

基本的 一 あ 長い歴 持

 ^{金融資産 抑え 益性 高 、}

あ い 益性 維持 抑え 金融 管理 関

問 一 あ 、 場 範疇 捉え 出来

 ^{基本的 理論 振 返 、}



^{動的 管理 関 最近 話}

 ^{均 散理論 発展、 場流動性 考慮 多期間投資問}



^{場流動性 執行理論 関 一連 話 ( 次 講義 )}

 ^{ッ ン 最適執行、 ッ ッ}

^{い 紹}

The Markowitz World -1-

Markowitz (1952) _{均 散理論}

 ^{量的資産運用 い 最 基本 理論}



^{複数 危険資産 金融 場 効率的 ？}

 ^{ン 益率確率変数}

均 標準偏差 表現



^{期待 ン制約条件 最 化問}



^{各資産 益率 均} 標準偏差及び相関係数行列 所 時

次計画問



^{最適 要求期待 ン 関数}



^{適 散投資 、 益性 保}

( ^標準偏差 ) ^{減少 出来}

T. Kato

第 i 資産 収益率確率変数 (i = 1, …, n)

The Markowitz World -2-

Markowitz (1952) _{均 散理論}

 ^{効率的 ン}



^{全資産 (i.e. 益率 ( 標準偏差 ) = 0 資産 ) 無い場合}



^{全資産 あ 場合 ( 第 0 資産 R}

^{= r 加え 場合 )}

最 散

曲線 ＝ タ ン特性

_え (_効率的 )

_{望 い}

実 全 効率的 所

_{効率的 構成 来}

(2 _{ン 離定理そ 1)}

安全資産収益率 r ^{効率的安全資産 無い場合ン 、安全資産収益率ン 接 片直線}

全 効率的 安全資産投資

接点 構成 来

接点

(tangent portfolio)

The Markowitz World -3-

多期間 均 散理論

 ^{Markowitz 現時 将来時 2 時 考慮}

1 ^期間

 ^{Markowitz 理論 従 長期的 運用 …}



^{現時 t = 0 ( 遠 ) 将来時 t = T 1 期間 均 散理論 適用}

⇒ 動的 資産価格変動 考慮 い静的 _(static) 戦略 扱う

^{多期間問 い 効率的 限 い}



^{一 考え方 : 各時 い 繰 返} Markowitz ^適用

⇒ 近視眼的戦略 (myopic strategy)

 ^{実 、資産変動 (時間的一様 Markov 型 SDE う ) 簡単 記述出来 時、}

近視眼的戦略 冪効用最大化 (Merton problem) ^{最適戦略 等価 あ}

(e.g. ^関根(2006))



^{動的 変更 ( ン ) 許容 均 散最適化}

⇒ 多期間 均 散理論 (Li-Ng(2000), Zhou-Li(2000))

T. Kato

The Markowitz World -4-

多期間 均 散理論

 ^{連続時間 式化 ( 概略 )}



^{: 全資産価格、} : ^{危険資産価格}



^{: 資産 i 投資 、}

The Markowitz World -5-

多期間 均 散理論

 ^{連続時間 均 散問} = Stochastic LQ problem



BSDE, Stochastic Riccati Equation ^{解 最適解 得 出来}

 ^金利 deterministic ^時: Zhou-Li(2000)

 ^{金利 確率的 変動 時}: Lim-Zhou(2002)

 ^{効率的 ン}



LQ problem ^実行可能 (feasible) ^{時、効率的 ン や}

ン 面 い 半直線 、効率的 対 ₂ ン

理 成立

 ^{最 全 投資戦略} = risk-free portfolio (^終端時刻 = 0)

金利 deterministic ^{場合、 全資産} full investment ^最

 ^{但 金利 random あ 場合}

全資産 full investment risk free ^{限 い}

2 ^{ン 理}

全資産投資 _& 接 結合

表現出来 限 い

T. Kato

The Markowitz World -6-

多期間 均 散理論: ン 纏わ 最近 話

 ^{場流動性 問}



^{引 考慮} : Dai-Xu-Zhou (2010)

 Davis-Norman ( ^{引 考慮} Merton problem) ^{均 散版}



^{予算制約 / 空売 制約 入} : Li-Zhou-Lim(2002), Bieleckik et al.(2005), Jin-

Zhou(2005)

 ^{ン 入 ← 多期間 話}



Zhang-Li(2012), Yu

 ^{確実性 伴う 場退出時刻 τ} (random time) ^考慮

外性的要因 考慮 場合 _(i.e. τ -stopping time ^無い場合)^、

場退出 確実性 ₍ ン ₎ 完全 回避 一般 出来 、

効率的 ン 必 直線 い

( ^{え金利 数 あ 、 全資産} full investment ^確実性

伴う₎

、金利 ₀ あ 場合 ン 金 ン

risk-free portfolio

Pension Fund Management

金運用 全体像

T. Kato

政策 ッ ッ

策

資産₁ 資産_N

個 別 銘 柄

個 別 銘 柄

個 別 銘 柄

個 別 銘 柄

ッ ン

ン 引執行

運用方針 検討

多期間最適化

( ^{場流動性等 考慮})

最適化

(TE ^{最 化}/cash management) 売買執行

( ^ン / ^ン )

… ^…

株、外株、 債、外債 _etc.

Merton Problem and Market Liquidity -1-

多期間 最適化

 ^{金等 長期資産運用 政策 ッ ッ}



^金融資産

 ^{全資産 ( ッ )、株式、債券、 …}



^{各々 金融資産 う 割合 投資 ？}

 ^{政策 ッ ッ = (中長期 ) 資産配 計画}

⇒ 多期間 管理 重要 課

 ^{多期間 管理 的理論} : Merton(1969, 1971)



^{多期間 最適化問 期待効用最適化問 ( 動的確率制御問 )}

式化

 ^{確率制御理論 動的計画原理 応用 ⇒ 目的関数 (値関数) あ 非線形偏微}

方程式 (Hamilton-Jacobi-Bellman equation; HJB) (^弱) ^{解 特徴付}



^{危険資産 所謂} Black-Scholes ^{型 従い、 投資家 効用関数}

対数効用や冪効用 あ 場合 体的 最適戦略 出 出来

 ^{一般 効用関数 対 、所謂 ン}

explicit (c.f. Karatzas-Shreve(1998) )

Merton Problem and Market Liquidity -2-

Merton problem

 ^{以 簡単 、 間金融資産}



^{全資産 ( ッ )}



^{危険資産 ( 証券 )}

^仮

 Merton problem ^式化 ( ^{対数効用 場合} )

T. Kato

最適戦略 (証券へ 投資比率): ^{(Merton 比率: 一定比率)}

Merton Problem and Market Liquidity -3-

場流動性 問

 ^{引 最適投資問}



Merton problem ^{解 投資比率 一 保 いう戦略 あ 、}

引 考慮 場合、投資比率 厳密 一 保 う 戦略

遃大 う 最適 言え い

 ^{連続時間 一瞬 破産}

 ^{ッ ン}



^{大量 証券 引 自体 証券価格 影響 え い、}

結果 後 最適 い い



^{引量 少 い ( 流動性 い ) 資産 売買執行 関わ 流動性 管理 :}

後述 _(MI 執行理論 ₎

 ^{流動性資産}



^{引量 い銘柄 引相手 見 売買 成立 機会 少}

自 引 行う 出来 い



^Poisson : Matsumoto(2004, 2006, 2009)

Merton Problem and Market Liquidity -4-

引 最適投資問 (Singular Control)

 ^{比例 長期期待 益率最適化問} : Taksar-Klass-Assaf(1986)

 ^比例 無限期間最適投資消費問 : Davis-Norman(1990), Shreve-

Soner(1994)

T. Kato

Bunkruptcy time ( ^∞)

Merton Problem and Market Liquidity -5-

取引 最適投資問

 ^{最適戦略 、言葉 言う 以 う}



^{あ 数} a, b > 0 ^{存在 、以 う 戦略 最適}

 ^Xt ^{t 時 危険資産保有 (P}t^{) 平 全資産保有 (D}t⁾

引 無い Merton problem ^い

 ^{時 う 購入}

 ^{時 何 い}

 ^{時 う 売却}

Merton Problem and Market Liquidity -6-

取引 最適投資問

 ^最適戦略 : ^推移



^X

^{[a, b] 出 う 購入 売却 調整}

 ^適当 a = 3.5, b = 4.5 ^{、実 他}

T. Kato

3 3.5 4 4.5 5

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 time

Merton optimal

4.5 ^{押 戻 う 売却}

3.5 ^{押 戻 う 購入}

引 無い時

最適投資比率

No Transaction region (NT)

Merton Problem and Market Liquidity -7-

取引 最適投資問

 ^{最適戦略 : P}

^{, D}

^変動



^{次元 (P}

^{, D}

^{) 以 領域 う 購入 売却}

0 10 20 30 40

0 2 4 6 8

P

出 い う

売却

出 い う

購入

No Transaction region (NT)

Merton Problem and Market Liquidity -8-

取引 最適投資問

 ^{引 固 考慮 場合、売買 行う機会 更 減少}



^{NT 出 、更 側 押 込 う 売買}



^{最適化問 式化} : Impulse control



c.f. Morton-Pliska(1995), Buckley-Korn(1998), Liu(2004) etc.

 ^{引 考慮} Merton problem ^{張問 解 、 金運用}

ン ン ッ _(CM) 戦略 理論的根 一助 い



^{CM 戦略 : 投資比率 あ 閾値 超え ン 戦略}

ッ ン 考慮 最適投資問

 Vath-Mnif-Pham(2007)



^{固 引 、価格 ン 考慮 最適投資問}



^{期待効用最大化問} impulse control problem ^式化

T. Kato

Pension Fund Management

金運用 全体像

政策 ッ ッ

策

資産₁ 資産_N

個 別 銘 柄

個 別 銘 柄

個 別 銘 柄

個 別 銘 柄

ッ ン

ン 引執行

運用方針 検討

多期間最適化

( ^{場流動性等 考慮})

最適化

(TE ^{最 化}/cash management) 売買執行

( ^ン / ^ン )

… ^…

Index Investment -1-

Capital Asset Pricing Model (CAPM; Sharpe(1964), Lintner(1965) etc.)

 ^場 (market portfolio)



^{CAPM 理論 、い 非常 強い仮 以 主張 :}

 ^{Markowitz 理論 、全 場参加者 場 存在 全 資産}

対 同一 (tangent portfolio) ^選択

 ^{占 各 資産 割合 時価 え}

 ^{、あ ゆ 資産 、投資 時価加重}

い ₍ 場 _{) (} 全資産 投資 い場合₎ 最適 あ

 ^{場参加者 、各自 回避度 応 場 全資産 組 合}

わ 決 _→ 資本 場線 (capital market line; CML)

 ^{場 代替}



^{各金融 場 い 、 場 代替 言え ン ッ 存在}

 e.g. TOPIX = ^{東証 時価加重}



^{CAPM 従え 、 全資産 場 散投資 効率的 投資}

方法 あ 、 場 ン ッ 従う う 資産運用 行う 、 言え

 ^{但 、例え TOPIX 東証 場 い 株式 対象 ン ッ}

 ^{全世界 あ ゆ 資産 対 場 存在 い}

 ^{CAPM 仮 強 現実的 い 言え …}

T. Kato

Index Investment -2-

ン ッ 運用 ( ッ 運用) ッキン

 ^{効率的 戦略 = 全資産 投資 場 ン ッ 投資 ( 複 )}

= ^{全資産 投資} + ^{ン ッ 運用}



^{ン ッ 購入 可能 あ 、 場 存在 資産遉}

使 ン 出来 再現 必要 あ ⇒ ッ 運用

 ^{う 見 場合、 資産運用 ン ッ}

乖 ₍ ッ ン _{; TE)} 捉え 出来



^{ン ッ 運用 関 他 実務的背 : 期待 ン 推計 一般 い}



^{更 、 場 本当 効率的 ？ いう疑問 、情報 優 性 利用 更}

第 i 資産 時価

Index Investment -3-

ン ッ 運用 ( ッ 運用) ッキン

 ^{前頁 最適化問 解 …}



^{勿論、 最適 あ} TE = 0

 ^{実 う 戦略 選ぶ 出来 い}



^{実 売買 引}



^{引出来 最 単 問 : 例え 多 国 株式 最 単元 1,000 株}



^{大量 売買 需給 歪 生 資産価格 影響 え ( ッ ン ;}

MI)

 ^{実 運用 い 他様々 実務的制約条件 加味 必要 あ}



^{う 変形 、 Markowitz 同様 次計画問 式化可能}



^{、大規模 最適化問 い 散共 散行列等 全}

推計 困 _(→ 次頁 ₎

T. Kato

Index Investment -4-

御参考: タ

 ^{各 資産 益率 共通要因} (common factor)

個別要因 (idiosyncratic factor) ^解



^{理論的背 : 裁 価格理論} (APT; Ross(1976))



^{、 散共 散 推計 現実的 可能}



^{各銘柄 、 特性 説明 析 や い}

 ^{株式 場 例}



CAPM: 1-factor model ^解釈出来

 ^{= 場 ン ッ ン ( 場 )}



Fama-French(1993) 3-factor model

 ^{= + +}

Index Investment -5-

運用手法 高度化、 ン ッ 精緻化

 ^{ッ ン}



Buckley-Korn(1997), Baccarin(2002)

 ^{ン 考慮、 ン ン}



Leland-Rubinstein(1976), Black-Jones(1987), Sekine(2012)

 ^{考慮、 最適化}



Lobo(2000), Costa-Paiva(2002)

 ^{ン ッ 再考 : 良い ン ッ ？}



: Cover(1991)



^確率 : Fernholz(2002)



^ン : Platen(2006)



^{最 散} : Haugen-Baker(1991)

 ^{他、様々 活発 議論 い}

T. Kato

Pension Fund Management

金運用 全体像

政策 ッ ッ

策

資産₁ 資産_N

個 別 銘 柄

個 別 銘 柄

個 別 銘 柄

個 別 銘 柄

ッ ン

ン 引執行

運用方針 検討

多期間最適化

( ^{場流動性等 考慮})

最適化

(TE ^{最 化}/cash management) 売買執行

( ^ン / ^ン )

… ^…

Execution Problem with MI -1-

最適執行問

 ^{大規模 引執行 関わ 問}



^{大量 証券 引 自体 証券価格 影響 え う可能性 あ}

( ^{ッ ン} (MI) ^{、 ン} )

 ^{大量 買い注文 → 価格 昇}

 ^{大量 売 注文 → 価格 落}



^{例え 大量 保有証券 売却執行 場合 …}

 ^{売却 価格 落 伴い売却代金 減少 (流動性 )}

 ^{時間 売却 証券価格 変動 高 ( ン )}



^{最適 執行戦略 ？}

T. Kato

Security price fluctuation

Block Selling Price Down

t

Execution Problem with MI -2-

ッ ン 種類

 ^恒久的 (permanent) MI



^{時間経遃 関わ 残 MI}

 ^一時的 (temporary/transient) MI



^{執行後 消滅、あ い 時間経遃 共 解消 MI}

Execution Problem with MI -3-

最適執行問 関 数理

 Berstimas-Lo(1998)



^{MI 考慮 最適執行問 関 最 的 ( 散時間 )}



^{証券価格 変動 線形 ( 算術 ン ) 、線形 恒久的 MI}

期待執行代金最適化 行う

 Almgren-Chriss(1999)



^{実務的 用い 多い基本 ( 主 散時間 )}



Berstimas-Lo(1998) ^、一時的 MI ^{考慮 期待執行代金及び}

執行代金 _{(Var VaR)} 最適化 行う

 ^{一時的固 MI} = (bid ask spread)/2 (half spread)

 ^{確率変数 正規性 根 VaR 期待値 散 近似的 え い}

 Huberman-Stanzl(2005)



Almgren-Chriss(1999) ^{同様 均 散最 化} ( ^散時間 )



^{証券価格 時間変動 均回帰性 持 一時的 MI 表現}

 ^{久 - 山井 (2000)}



^{執行戦略自体 速執行 仮 、執行 行う時間 制御変数}

最適化問 考察 ₍ 散時間 _/ 連続時間 ₎

T. Kato

Execution Problem with MI -4-

最適執行問 関 数理

 He-Mamaysky(2001)



^{証券価格 変動} Black-Scholes (i.e. ^{幾何 ン運動} ) ^{表 、}

対数線形恒久的 _MI 終端時刻売却代金 冪効用最大化問 考察

( ^連続時間 )

 ^{購入 考え い執行問 (流動化問 ) 対 、 え MI 考慮}

冪効用 対 _Merton 型問 最適戦略 明示的 得 出来 い

(^{本論文 数値的 求 い} )

 Forsyth et al.(2012)



He-Mamaysky(2001) ^{同様 設 い 執行問 多期間 均 散問}

式化、効率的 ン い 考察 ₍ 連続時間 ₎

 Lions-Lasry(2007)



^{線形 MI 及び対数線形 MI 仮 、 回避的 執行代金}

期待効用最適化問 考察 ₍ 連続時間 ₎



^{証券価格 持 い場合、保有証券 最適流動化戦略 初期時}

擬一 執行

Execution Problem with MI -5-

最適執行問 関 数理

 Schied-Schöneborn(2008, 2009)



^{証券価格変動や MI 関数 設} Almgren-Chriss(1999) ^踏襲

( ^{算術 ン運動} + ^線形 MI ) ^{、指数効用関数} (CARA ^型 ) ^持

最適執行戦略 出 、 回避度 執行戦略 関係性 い

考察 ₍ 連続時間 ₎

 Ishii(2010)



Large trader small agents ^{多期間 場 数理経済的}

動的均衡 ₍ 散時間 ₎

 Large trader: ^中立

 Small agents: CARA ^{型効用関数 持} (^仮 representative agent ^{一人 集約})

 K.(2007, 2010abce, 2011, 2012c, 2014ab)



^{非線形 MI 関数 適 最適執行数理 出}

 Ishitani-K. (2009, 2010ab, 2013)



^{MI 確実性} (uncertainty) ^入

最適執行、 ッ ン 関 次 講義 詳 く扱う

 ^{最近 金融 場 巻 話 : HFT ( 高 度 引 ), LOB ( 板、複数気配 )…}

T. Kato

Risk Quantification & Risk Measures

再掲: 尺度 (Risk Measure)

 ^{将来 確実 損失} deterministic ^{量 落 込 関数}



Future random losses (t = T) Present deterministic values (t = 0)

 ^{数学的 …}

 ^{尺度 、確率変数遉 空間 義 実数値関数}

 ^{尺度 例}

 ^{期待損失 (EL) (L)= E[L]}

 ^標準偏差 (L) = Var(L)^1/2 ← ^{資産運用等 い 標準的}

 Value at Risk (VaR) (L) = VaR (L) ← ^{ン ン 管理 い 標準的}

 Conditional VaR (CVaR) (L) = CVaR (L)

 ^etc.

確率変数 空間: 必要 応 ^{Lp, L∞}, Orlicz spc. _{等 え}

( _{同時 懐疑的…)}

Value at Risk

定義: 確率変数 X 対 信頼水準 ^VaR



= 0.99, 0.999 etc.

 F(x) = P(X x) ^{逆関数 持 場合 単純 書}

T. Kato

“Suitable” Risk Measures

適 尺度 ？

 ^{VaR 使いや や}

実務 い 幅広 用い い



^{期待損失や標準偏差 遊い、損失 捕捉 い}



^{関数 形状 得 容易 計算可能}



^{値 解釈 や い ( や い )}

 ^{一方、近 VaR 対 様々 問 議論 い}



^{本当 正 捉え い ？}



^{劣加法性 ( 後述 ) 成 立 、 散効果 扱い い}

 ^{良い 尺度 求 性質 ？}

Properties of Risk Measures

尺度 性質 (公理)

 (L

^{本質的 有界 確率変数全体 空間} )

 ^{代表的 性質 ( (0) 常 仮 )}



^{(iii) ( 劣加法性 ) 散効果 表}

 ^{複数 投資 統合的 量 削減}



^Convex positive homo. sub-additive



^{ン : VaR coherent い！ ( 劣加法性 成 立 い )}

 ^例: K.(2008) ^参照

 ^{漸近的劣加法性 成 立 あ (後述)}

T. Kato

Coherent Risk Measures

ン 尺度 表現定理

 ^{理 、 coherent 尺度 あ 意味}

( ^{確率測度 幅 持} ) ^{期待損失 捉え 出来}



^{更 尺度} law invariant (i.e. )

時 強い表現 理 知 い (Kusuoka(2007) ^参照 )

 ^{ン 尺度 代表例 : CVaR ( 条件付 VaR, 期待 )}

Theorem.

Under some mathematical assumptions (the Fatou property etc.), a coherent monetary risk measure is represented as

for some .

Sub-additivity

尺度 劣加法性

 ^{尺度 性質 ( 再掲 )}

 ^{(ii) 、 a 大 い場合 現実的 い い}



^{(ii) 無い場合、 尺度 coherent い}

 Convex monetary risk measure ^{対 表現 理}

 See Frittelli-Gianin(2005), Jouini, Schachermayer-Touzi(2006), Kusuoka(2007) etc.

 ^{関連 話} Föllmer-Schied(2011) ^{詳 い}

T. Kato

Dynamic Risk Measures -1-

多期間 尺度

 ^{え 、将来 あ 一時} (risk horizon) ^{評価 現時} (t=0)

行う一期間 尺度

 Risk horizon ^{期中 評価 ⇒ 多期間 尺度}



 ^{多期間 尺度 求 性質 ( 公理 ) 例}



^{動的計画原理} (DPP, Bellman ^原理 ):



^{時間的整合性} (time consistency):

 ^{尺度 求 他 性質}



Sensitivity (Relevance):



Prudence:



^…

結局 、 尺度 使え 良い ？？

Dynamic Risk Measures -2-

Entropic risk measure

 ^{挙 性質} convexity, law invariance, time consistency ^満

動的 尺度 、実 entropic risk measure ^{呼 基本的 多期}

間 尺度 限



Kupper-Schachermayer(2009), Delbaen-Peng-Gianin(2010)

 ^{更 、} coherent, law invariant, time consistent ^{動的 尺度}

(worst case risk measure) ^い _…



Delbaen (2006)

 ^{自然 要請 条件 全 満 動的 尺度 自明}

無 う

T. Kato

Extension of Risk Measures

適 尺度 ワ 構築 対 理論的取組

 ^{尺度 義域 大 (} Filipović-Svindland(2012), Owari(2012))



^{有界確率変数 空間 L}

^{等、 い確率変数 空間 構築 一期間 尺}

度 、 ”Lebesgue property” ^や “Fatou property” ^{保 一般}

(unbounded risk ^対 ) ^{一意 張}

 ^{尺度 一般論 展開 い L∞ 便利 空間 、実 損失 有界} (i.e. compact support) ^い

 Lebesgue/Fatou property: ^{本質的 条件}

 ^{多期間 尺度 対 圏論的解釈、 化 大} (Adachi(2012))



^{DPP 結合法則 捉え、圏論 ワ 理論 再構築}



^{適 公理群 選ぶ 理論的規範 提示、 選択 公理群 従う}

尺度 構築

 ^化 (sheafification) ^{、 え 尺度 素}

数学的 尺度 昇華

Which Risk Measure Should We Use?

尺度 求 性質 (公理群) …

 ^{( 議論 ) あ ゆ 性質 満 ( ) 無い}

 ^{更 実務的 、理論的妥当性 や 結果 値}

解釈 や 重要



^{VaR 最大 長所 一 解釈 や 言え}

( ^{○ 一度程度起 得 水準 損失} etc.)

 ^{他、可積 性 仮 必要無い 長所 一}

(^{多 代表的} coherent risk measure L^{1 仮 必要 い、} heavy-tailed ^{損失 対応出来 い})

 ^{信 水準 超え 損失 情報 込 い い等 問 あ …}

 ^{適性、 合わ いう い}



^{適当 ( 実務的 要請 含 ) 構築 計量指標}

数学的 適 尺度 再 義 理論 研究 近 い

T. Kato

Regulatory Capital Requirements -1-

Basel Committee on Banking Supervision and Basel II (2, 2.5, 3)

 ^{1970 代以降 相次 国 的 銀行破綻 鑑 、国 的 統一}

金融機関 危機管理 危機予防 行う 発足

 ^{自己資本比率 用い 金融機関 健全性 測 ⇒ Basel 合意}



^{Capital ( 自己資本 ) = い いう時 蓄え あ}

 ^{通株、 部留保 (、優先株) 等}

 ^{Basel III い 要請水準 昇や精緻化、新 枠組 適用 段階的 い}



^{大 言 、} Risk assets = VaR

( ^{将来 金融} )

 ^基本的 場

信用 _{第 1 柱}

Basel II _{簡略化さ 表現:} Basel III _{い 限 い}

Regulatory Capital Requirements -2-

Basel II _{関 理論的話}

 ^{第 1 柱 : 自己資本比率規制 精緻化}



(Basel 1.5) ^{場 部 手法} _← ^場 VaR ^計測手法



^{信用 : 基礎的 / 先進的 部格付手法} (FIRB/AIRB) PD LGD ^推計手法

 ^{Basel II 提供 信用 VaR 式 所 、 信 部管理}

信用 部 所有 い 金融機関 多い

IRB VaR ^{計算式 理論的根} : ^極限損失 (Vasicek(1991,2002),Gordy(2003))

← ^{所謂 1 Merton 対 条件付確率 大数 法則}

^適用 (Basel II ^{式 更 調整}

^{加味 い} )

資産 複雑 式 用い い

(e.g. ^{証券化商品指 関数} (supervisory formula), Gordy-Jones(2002))

部 多 用



^{( ) 計量化}

 ^{先進的計測手法 (AMA) 用行 VaR 計量 部}

構築 検証 必要₍後述₎



^{Basel II い え 理論的課 他 多数あ 、必要最 限 要請}

あ 第 ₁ 柱 関 数々 精緻化 高度化 象徴的

T. Kato

Regulatory Capital Requirements -3-

Basel III _{関 理論的話}

 ^{金融機関 健全性担保 、多 変更や新 枠組 入}

い



^{(2012/5 ～ ) 場 : CVaR( 条件付 VaR = 期待 ; ES) 用}



^{子 ( 自己資本 ) 増加 質 純化}



^{流動性 、 ン CVA}

 ^{ッ 関 近 様々 理論的研究 進 い}



^{、資本保全 ッ ン 資本 ッ}



^…

以 、Basel 規制 第 1 柱 対象 い 3

中心 、いく 理論的話 見 いく

Market Risk -1-

場 計量 関 話

 ^{場 関 損失 的 正規性 仮 い}



^{正規 最 基本的 確率 一 あ 楕 呼}

属



^{VaR 劣加法性 満 い 、実 楕 対 劣加法性 保 、}

更 _VaR 損失 均 標準偏差 用い 表 出来

知 い (Embrechts-McNeil-Straumann(1999, 2002))



^{近 、正規 表現出来 い fat-tail 性 実 場 損}

失 対 観測 う い

 ^{正規 用 一 理論的根 : 中心極限 理 (CLT) ← 確率論 的大 理}

T. Kato

Market Risk -2-

場 計量 関 話

 ^{正規近似 変更}



^{期間 [0, T] 対 観測時 列 、各時}

損失 確率変数 ₍ 益率層 _(-1)) 置

 ^{簡単 期待値 0 置}



^{ン T 損失 :}



^{簡単 同}



^{あ 程度強い ン 条件 満 (i.e. 程 fat-tail )}

系列相関 弱い _(i.e. あ 程度強い _mixing 条件 満 ₎ 、 _CLT

^{正規 束}

 ^{VaR 標準偏差 使 計測可能}

 ^{更 系列相関 無い} (i.e. i.i.d.) ^{場合 所謂} t ^{倍法 正当化}

大雑把 言

 ^fat-tail

Market Risk -3-

場 計量 関 話

 ^{畳 込 (i.e. 確率変数 和 ) 関 研究}



^{大偏差型評価} : Cramér(1939), Linnik(1961), S.Nagaev(1965)



^{Fat-tail 確率変数 和 対 CLT 型評価}

 ^{i.i.d. r.v.’s 弱 束 極限 (Lévy)}



^極値理論 (EVT), subexponential ^性

 Heyde(1967), A.Nagaev(1969ab),Cline-Hsing(1991) etc.

 ^{EVT 管理 応用} Embrechts-Klüppelberg-Mikosch(2003), McNeil-Frey- Embrechts(2005) ^{詳 い}



^{CLT 型 EVT 型 複合評価} : A.Nagaev(1969ab), S.Nagaev(1979), Fushiya-

Kusuoka(2010), Nakahara(2010, 2011)

 ^{Fat-tail 対 、 ン近辺 CLT 型評価 、 付近 EVT 型評価}

有効 う 近似 え

T. Kato

Credit Risk -1-

信用 計量/管理 関 話

 ^{信 損失 対 Merton}



^{業種間相関等 考慮 経済資本推計 良 用い}



¹ Gaussian copula ^{多次元化 言え}

L : ^損失 L_i : ^債務者 i ^損失

a_i :

p_i : ^率

LGD_i: loss given default

ik ^{: 相関}

X_k : ^共通 (r.v.)

i ^{: 個別 (r.v.)}

Credit Risk -2-

信用 計量/管理 関 話

 ^{量計算 関 課}



^{量 ( 例え VaR) 計算 所謂 ン ン (MC)}

用い 基本的



^{、大規模 損失 対 十 精度}

ン計算 多大 計算時間 要



^{、 全体 量 対 債務者}

寄 度 (risk contribution; RC) MC ^{計算 困}



^{量及び RC 計算 解析的近似手法 数々提案}

い

T. Kato

Credit Risk -3-

信用 計量/管理 関 話

 ^信用 VaR( CVaR) ^{解析的計測手法}



^{確率論的 理論的 近似 用い 手法}

 ^極限損失 : Vasicek(1991, 2002) _← ^{散化 い 前提}

 ^調整: Gordy(2003), Martin-Wilde(2002)

1 ^{あ 高速 計算可能}

適用 課 残

( 1 ^近似: Pykthin(2004))



^{鞍 近似}

 Fourier/Laplace ^{変換 損失 複素積 形 え、鞍 法 積}

近似 え

 ^{無条件鞍 法}: Martin-Thompson-Browne(2001)

ン 含 損失 対 鞍 近似 適用

 ^{条件付鞍 法}: Muromachi(2004), ^菊池(2007)

Credit Risk -4-

信用 計量/管理 関 話

 ^信用 VaR( CVaR) ^{解析的計測手法}



^{近似 用い い直接的計算手法 (VaR RC)}

 ^{確率論等 近似 用い い 、数値計算 起因 以外 誤差 生 い}

 ^{各債務者 相関 持 共通 一 いう仮 置}

共通 業種 あ 場合、各債務者 他業種 影響

い 意味

 Takano-Hashiba(2008)

Laplace ^{変換、連 数展開等 用い 直接的計測手法}

 Ishitani(2014)

Masdemont-Gracia(2011) ^{多次元 張}

(Wavelet ^変換 )

関数 連続性 仮 必要 い 、歪 信

(^{少数大 先 い 場合等}) ^{精度悪化 少 い}

T. Kato

Credit Risk -5-

信用 計量/管理 関 そ 他 話

 ^{Basel 規制資本算出 課}



^{AIRB 適用 PD, LGD 自行 推計 必要}

 ^{PD, LGD 推計方法: -永見(2008) 等}



Basel II(III) ^{い 金融 時 信用力悪化 踏 え、}

時 _{PD, LGD} 推計 課 い

 ^伝播



^{あ 債務者 他者 可能性 引 う あ}



Schönbucher-Schubert(2001): ^{強度変動 動学} ( ^{誘 型} )

 ^信集中



Basel II(III) ^{信用 量算出公式} ( ^{調整 入 い} )

信 散 前提 、 信集中 い 捉え い い

 ^{Basel 規制 い 、集中 第 2 柱 範疇 い}



^{- (2008):}

Credit Risk -6-

信用 計量/管理 関 そ 他 話

 ^{ン 、 CVA}



^{例え 金融機関 契約 行う 、 引相手あ い 自行自身}

発生 可能性 ₍ ン ₎ 考慮 必要 言

え

 ^{CDS 等 購入 信用 移転 考え 、CDS 契約先} い



^{ン 考慮 前 考慮 後 価格 差}

CVA (Credit Valuation Adjustment) ^呼ぶ



^{最近非常 活発 研究 進 、数多 論文 存在}

 ^桜井(2011) : CVA ^{計測 管理手法 関}

 Fujii-Takahashi(2011): ^{実務的 設} (^非対称/ ^{完全担保契約}) CVA

式化 計算手法

一般的 実務的 設 _CVA あ 前向 後 向 確率微 方程式

(FBSDE) ^{解 特徴付} (^{直接的 計算 困 あ 、近似的 計算}

手法 関 提案 い ₎

T. Kato

Operational Risk -1-

計量/管理 関 話

 ^？



^{Basel II 金融庁告示 義}



^{体的 …}

Operational risk is defined as the risk of loss resulting from

inadequate or failed internal processes,

people and systems or from external events.

This definition includes legal risk,

but excludes strategic and reputational risk.

、銀行 業務 遃程、役職員

活動若 適 あ 又 外生的

象 損失 発生 う 危険 いう

Operational Risk -2-

計量/管理 関 話

 ^{損失 特色}



^{度 高 損失 可能性}

 ^{一般 、極 強い fat-tail 性 確認 傾向 あ}

 ^{、滅多 起 い超巨 損失 象}

大規模 誤発注、大地震、 _etc…



^{化 困}

 ^{信用 場合、非常 大雑把 言え 、1 件あ 損失 確率変数}

Bernoulli ^{書 、 場合損失 特 い}



^{推 困}

 ^{務 等 損失 象 比較的多い 、 記 う 度 損失 滅多}

起 無い 、遃去 蓄積 十 い

信用 い 大規模 象 観測出来 い 、

損失 象 発生 度や損失 推 以 困 あ

 ^{以 背 、 計量化 非常 い}

認識 い

T. Kato

Operational Risk -3-

計量/管理 関 話

 ^{規制 計量手法}



^{Basel II 及び金融庁告示 、以 3 通 計量手法 中 、各行}

各々 特性 考慮 適当 選択 要求 い

1.

金融機関全体 遃去 ₃ 間 粗利益 均値

( ^{但 粗利 負 除} ) ^{掛 目} 0.15

量

2.

但 、 ン ₍業務 容₎ 異 掛 目 用い

粗利益 負 場合 扱い方等 い _BIA 若 相遊 あ

3.

金融機関 各自 部 構築 検証 、

用い 量 _(VaR) 推計 手法

Easy

Difficult

Operational Risk -4-

計量

 ^{損失 手法} (Loss Distribution Approach; LDA)



^{AMA ン い}



^{量 =}



^{度 及び規模 損失 実 や}

等 使 推 一般的

 ^{度 : ン 、負 等 良 用い}

 ^{規模 : ッ 性 考慮 適 使用 必要 あ}

正規 う 標準的 適当

良 使わ _: 対数正規 _(LND)、一般化 _(GPD)、

^{ン ッ ッ}

T. Kato

損失 損失規模 損失 度

MC Method for Operational Risk -1-

(OpVaR) _{計測手法:}

ン ュ ョン (MC) 一般的

1. ^{度 従う疑似乱数} N ^生成

2. ^{規模 従う} N ^個 i.i.d. ^疑似乱数 L

_{, …, L}

^生成

3. ^{損失 乱数 計算} L = L

_{+ … + L}

4. ^手 1.- 3. m ^{回繰 返 ⇒} m ^{個 損失 確率変数}

(i.i.d. ^疑似乱数 ) ^生成

5. ^手 4. ^{生成 乱数遉 大 番 並び替え} :

6. ^序統計量 99.9%VaR ^{推 値 得}