E in Me03 ans 最近の更新履歴 物理学ノート E in Me03 ans

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(1)

14 2 速度と加速度

2.4

速度の合成

R

O

O'

x

y

O'

θ

P

r

'

B

A

t

•bŒã

t

=0

C

D

図4

問題11. 半径Rの車輪が等速vで滑らずに転がっている。車輪上の

一点の座標と速度,加速度を求める。車輪の中心O′が原点Oを通り

過ぎた時刻を0とする。また角速度ωをω :=

v

R と定義する

*4

。以下 (♦,♢)でベクトルのx, y成分を表す。

11-1. Oから見たO′の位置をr0で表す。時刻tでのr0の座標を

求めよ。

【解答】O′ のx座標は車輪が進んだ距離OA=vtに等しい。y座

標は車輪の半径Rに等しい。よって

r0= (vt, R). (2.66)

11-2.時刻0で地面に接していた車輪上の点が時刻tで点Pに来た。図のθをωを使って表せ。

【解答】車輪は滑らないので円弧APとOAとは長さが等しい。AP =Rθより

Rθ=vt, ∴ θ=vt

R =ωt. (2.67)

11-3.Oから見た点Pの位置ベクトルrを求めよ。

【解答】O′を原点と考えると,r′の大きさはR,偏角は 3

2π−θなので

r′=R

(

cos(3

2π−θ),sin( 3 2π−θ)

)

=R(−sinθ,−cosθ) =R(−sinωt,−cosω). (2.68)

11-4.原点Oから見た点Pの座標rを求めよ。

【解答】r=r0+r′と書ける。(2.66)と(2.68),およびv=Rωより

r=r0+r′= (Rωt, R) +R(−sinωt, −cosωt) =R(ωt−sinωt,1−cosωt) (2.69)

である*5。t= 0でr= (0,0) =0となり,点Pはきちんと原点にある。またnを整数としてθ=ωt= 2nπ

のとき,点Pは地面に接する。その時のP の座標は

R(2nπ,0) =n(2πR,0). (2.70)

つまりnは車輪の回転数に対応する。

11-5.原点Oから見た点Pの速度v= ˙rを求めよ。

【解答】速度の定義と(2.69)より

v= ˙r= d

dt(r0+r

) = ˙r

0+ ˙r′

=R(ω−ωcosωt, ωsinωt) =Rω(1−cosωt,sinωt). (2.71)

*4

角速度については,単振動の節で詳しく議論する。 *5

(2)

2.5 外積を用いる計算例 15

特にP が地面に接するのはωt= 2nπの時で,その瞬間の速度vAは

vA=Rω(1−cos 2nπ,sin 2nπ) = (0,0) =0. (2.72)

地 面 に 接 す る 瞬 間 ,P は 静 止 し て い る 。こ れ は 車 輪 が 滑 ら な い こ と を 意 味 す る 。車 輪 の 平 行 移 動 の 速

度r˙0 = (v,0) と 回 転 運 動 に よ る 速 度 r˙A′ = (−v,0) の 合 成 で あ る 。一 方P が 車 輪 の 頂 上B に あ る 時 ,

ωt= (2n+ 1)πより,その瞬間の速度vBは

vB =Rω(1−cos(2n+ 1)π,sin(2n+ 1)π) =Rω(2,0) = (2v,0). (2.73)

これも平行移動の速度(v,0)と回転運動の速度(v,0)の合成である。同様に図4の点C,点Dでの速度は

vC = (v, v), vD= (v,−v). (2.74)

それぞれ右斜め上および右斜め下を向いている。

11-6.原点Oから見た点Pの加速度aを求めよ。

【解答】加速度の定義と(2.69)より

a= ¨r=Rω2(sinωt, cosωt) =−ω2r′. (2.75)

常に車輪の中心O′向きに加速度が生じている*6。

2.5

外積を用いる計算例

r

r

+

v

t

v

+

a

t

v

a

t

v

r

v

t

O

O

t

•bŒã

Žž

t

θ

図5

問題12. 右図は平面上のある1点の回りを運動している物体のある瞬間

の位置ベクトルrと速度v,加速度aを図示したものである。以下,加速

度aと位置ベクトルrとが常に平行な場合を考える。

12-1.時刻tでrとvで作られる三角形(灰色の領域)の面積を面積速

度という。面積速度が 1

2|r×v|と与えられることを示せ

*7

【解答】外積の定義より

1

2|r×v|= 1

2rvsinθ. (2.76)

ここでr:=|r|, v:=|v|である。これは図の灰色の三角形の大きさに他な

らない。つまり 1

2|r×v|は面積速度の大きさに等しい。

12-2.面積速度が一定であることを面積速度の時間微分より示せ。

【解答】S(t) := 1

2(r×v)とする。

˙

S= 1

2( ˙r×v+r×v˙) = 1

2(v×v+r×a) = 1

2r×a= 0. (2.77)

ここで加速度と位置ベクトルが平行であることa∥rを用いた。時間による導関数が0なのでSは時刻に依

らず一定である。またこの条件には時刻tが陽に入っていないので,任意の時刻に対して成立する。

*6O

と共に動く座標系では中心力であることを意味する。回転運動のところで詳しく考察する。 *7

(3)

16 2 速度と加速度

12-3.時刻t+ ∆tでの面積速度を計算し,それが時刻tでの面積速度と一致することを示せ。ただし(∆t)

2

のオーダーは無視してよい。

【解答】∆t秒後,位置はr(t+ ∆t) =r+ ˙r∆t+. . .,速度はv(t+ ∆t) =v+ ˙v∆t+. . . となる。よって

S(t+ ∆t) = 1

2[r(t+ ∆t)×v(t+ ∆t)]≃ 1 2

[

(r+ ˙r∆t)×(v+ ˙v∆t) +O((∆t)2)]

≃ 1

2

[

(r+v∆t)×(v+a∆t) +O((∆t)2)]

≃1

2

[

(r×v) + (v×v+r×a)∆t+O((∆t)2)]

=S(t) +O((∆t)2). (2.78)

従ってO(∆t)までの計算でS(t)は一定である。最後の変形で前問と同様にa∥rを用いた。ここではrとv

を別途テイラー展開して外積をとったが,Sを直接テイラー展開しても同じである。もちろんより高次の項ま

で計算してもSが変化することはない。つまりO((∆t)

2

)以上の項は全て0になる。例えばO((∆t)

2

)の項は

(∆t)2

2! S¨= (∆t)2

2!

d2

dt2(r×v) =

(∆t)2

2!

d

dt(v×v+r×a) = 0. (2.79)

最後の変形では,v×v+r×aが恒等的に0であることを用いた。一般にn次の項も

(∆t)n n!

dn

S

dtn =

(∆t)n n!

dn

dtn(r×v) =

(∆t)n n!

dn1

dtn1(v×v+r×a) = 0. (2.80)

2.6

余弦定理を用いる計算例

α

u

v

z

y

x

O

A

B

図6

問題13. 港から見て角αをなす二直線に沿って船Aが定速度uで港に近づき,舟

Bが定速度vで港から遠ざかっている場合を考える。港の位置を原点Oとし,港か

ら船A,船Bまでの距離をそれぞれx, yとする。

13-1.船Aと船Bとの距離zをx, y, αを使って書け。

【解答】余弦定理より

z2=x2+y2−2xycosα. (2.81)

図よりz=x−yなのでz

2

= (x−y)2としても同じ。

13-2.2つの船同士の距離zが最小のとき,港から2つの船までの距離の比が

x:y= (v+ucosα) : (u+vcosα) (2.82)

となることを示せ。ここで,u:=|u|, v:=|v|である。

【解答】zが最小になる瞬間,その時間微分は0でなくてはならない。そこで(2.81)の両辺をtで微分し,

˙

x=−u,y˙ =vとすると

2zz˙ = 2xx˙+ 2yy˙−2 ˙xycosα−2xy˙cosα= 0

−xu+yv+uycosα−xvcosα= 0

−x(u+vcosα) +y(v+ucosα) = 0

∴ y

x=

u+vcosα

v+ucosα. (2.83)

これは(2.82)に等しい。ここでx˙ =−uと負号を付けた理由は,船Aは港に近づくためx˙ が負であること

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参照

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