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統計学 I および演習 第 6 回 確率 補助資料
菅原慎矢
May, 2016
13枚のトランプが配られたとき、ダイヤが 7 枚含まれる確率は? 根源事象の総数: 52 枚から 13 枚引く組み合わせ: 52C13
条件を満たす事象の数: 「13 枚のダイヤのカードから 7 枚を引く組み合わ せの数」 ×「ダイヤでない 39 枚のカードから 6 枚を引く組み合わせの数」
=13C7×39C6
求める確率: これらの比
S. Sugawara Statistics 6th Lecture 2 / 7
例題 5.1(1)
壺に 4 個の青玉, 2 個の赤玉が入っているとする
6個の玉を順番に取り出して並べる際に、赤玉が並ぶ確率は? 根源事象の総数: 6個の玉を並べる順列: 6P6= 6!
条件を満たす事象の数: 5 × 2 × 4!
6個の玉が並んでいるとき赤玉が並ぶ場所: 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6 の 5 つ そえぞれの場所で、赤玉 1 が先,2 が後にくるものと、赤玉 2 が先, 1 が後にくるも のの 2 通り
赤玉が並んだ後の 4 カ所に青玉が並ぶ順列の数は4P4= 4!
求める確率: これらの比
めよ 考え方 (1)
P (A) = 1/4
P (B): 「13枚のハートから2枚引く組み合わせ」/「52枚のカードから2枚 引く組み合わせ」=13C2/52C2= 1/17
二枚ともハートなら、1枚目はハートでないと行けない。よってA ∩ B = B 条件付き確率の定義より
P (B|A) = P (A ∩ B)
P (A) = P (B)/P (A) = 4/17 (1) 考え方 (2)
制約された標本空間で考えると、1枚目がハートなので、2枚目を引くとき51 枚のカードしかなく、そこから12枚しかないハートを引く確率なので、 12/51 = 4/17
S. Sugawara Statistics 6th Lecture 4 / 7
例 5.3
赤青二つのゆがみのないサイコロを投げるとき, 赤のサイコロが偶数になる 事象を A, 青のサイコロが 2 以下になる事象を B とする
サイコロにゆがみがないため、これらの事象は独立である P (A) = 1/2, P (B) = 1/3, P (A ∩ B) = 6/36 = 1/6 = P (A)P (B) P (A|B) = 6/12 = 1/2 = P (A), P (B|A) = 6/18 = 1/3 = P (B)
赤 / 青 1 2 3 4 5 6
1 B B
2 AB AB A A A A
3 B B
4 AB AB A A A A
5 B B
6 AB AB A A A A
USBメモリーに、外見の全く同じ偽物がある 純正品 A, 偽物 Acの市場シェアは 95:5
つまりP (A) = 0.95, P (Ac) = 0.05 不良品であるという事象を B とすると、
P (B|A) = 0.01 (純正品が不良品である確率は1%) P (B|Ac) = 0.5 (偽物が不良品である確率は50%)
警察がある家を捜索し、多くの USB メモリーを確保した。これらはすべて 純正品か、すべて偽物かのどちらかである。しかし、外見からでは区別がつ かない
ここで確保したうちの 1 つを取り出しテストしたところ、不良品であった。 では、これらがすべて偽物である確率はいくらか
S. Sugawara Statistics 6th Lecture 6 / 7
例題 5.5, 回答
求めるもの: P (Ac|B) (テストした一つが偽物だったという情報を得たとき に、すべてが偽物であるという事後確率)
ベイズの公式より、P (Ac|B) = P (Ac∩ B)/P (B). ここで
P (Ac∩ B) = P (B|Ac)P (Ac) = 0.5 ∗ 0.05 = 0.025 (2) P (A ∩ B) = P (B|A)P (A) = 0.01 ∗ 0.95 = 0.0095 (3) P (B) = P (Ac∩ B) + P (A ∩ B) = 0.025 + 0.0095 = 0.0345 (4) よって P (Ac|B) = 0.025/0.0345 = 0.725
事前確率はテストを行う前の段階で、これらがすべて純正品である確率であ り、これは市場シェアである P (Ac) = 0.05。つまり、このテストから得ら れる情報によって、偽物であるという事後確率は大幅に上昇する