2015.4.14.
宿題 2
注意事項：
• 提出レポートはA4 用紙の片面のみを使用すること．手書きでもタイプでもどちらでもよ い．また，表紙はあってもなくてもよいが，レポートの一枚目に必ず所属・学年・学籍番号・ 氏名を書くこと．
• 提出期限：4/21の講義開始時．期限に遅れて提出することは認められない．
問題
1. (X, A)を可測空間とする．可測関数f, g : X → Rと集合A ∈ Aに対して，h : X → Rを
h(x) =
f (x), x ∈ A, g(x), x ∈ Ac と定義すると，hは可測であることを示せ．
2. (X, A, µ)を測度空間とし，f : X → Rを(可測かどうかわからない)任意の関数，g : X → R を可測関数とする．いま，N ∈ A, µ(N ) = 0なるN が存在して，f (x) = g(x), ∀x ∈ X \ N が成り立っているとする．(i) (X, A, µ)が完備なとき，fが可測なことを示せ．(ii) (X, A, µ) が完備でないときは，f はA/B可測とは限らない．そのような例を一つ与えよ．
3. 次の命題を示せ．(X, A)を可測空間，f, g : X → Rを可測関数とする．このとき，(i) f g は可測．(ii) f, gが同時に，f (x) = +∞, g(x) = −∞,またはf (x) = −∞, g(x) = +∞と ならなければ，f + gも可測．
4. RnのBorel σ-field Bnは，すべての連続関数f : Rn→ Rが可測になる最小のσ-fieldであ ることを示せ．
5. Durrett 1.3.5. 6. Durrett 1.3.6.
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