資料置場 コマの物理から素粒子のスピン

まずは数学の復習から

ベクトル

ベクトルの内積・外積

三角関数と極座標

関数の微分

関数の積分

二つの「量」

スカラー量

大きさのみを問題にする量 質量・温度

ベクトル量

大きさと方向を問題にする量 位置、速度

ベクトル

始点

終点

ベ^ク トル

の^長 さ^＝

大^き さ

「方向」と「大きさ」の性質をもつ

ベクトルと座標

x

y

O



OA _{=a , b}

A _{a , b}



OA _{= } ^a _

ベクトルOA

始点をO（原点）、終点をAにもつベクトル



OA

書き方

または

原点Oを省略する場合もあります

ベクトルの大きさ

A= _ ^a

b _

x

y

O

A _{a , b}

∣ ^A ∣ ⁼ _ ^a

^b

ベクトル

の大きさ

三角関数・角度



a

b

c = _ a ² b ² _{sin =} ^b

c

cos = ^a

tan = ^b

a ⁼

sin 

cos 

三角関数と座標：　極座標

x

y

O

A _{a , b}



∣A∣

b =∣A∣sin 

a =∣A∣cos  _{A= } ^a

b _ ⁼ _

∣A∣cos 

∣A∣sin  _

ベクトルの演算：和・差

JR山形駅から小白川キャンパスへの行き方

JR山形駅

山形南高

小白川キャンパス

A ^ B = C ^

C 

A ^{ B}

ベクトルの差

A ^ B = C ^

C 

A ^{ B}

 B = C ^ − A

 B = C ^  _ − ^ A _

C 

− ^ A ^{ B}

− ^ A

A

スカラー量とベクトル量のかけ算

x

y

O

a , b

A= _ ^a

b _

A' =k A=k _ ^a

b _ ⁼ _

k a

k b _

− A= _ ^−a _

−a ,−b

ka , kb

ベクトルの分解

x

y

O

A _{a , b}



a i

b j

ベクトルは基本ベクトル

i = _ ¹

0 _ ^{j =} _

0

1 _

をつかって分解できる。

A= _ ^a

b _

A= _ ^a

0 _ ^ _

0

b _

A=a i b j

A=a _ ¹

0 _ ^b _

0

1 _

ベクトルの内積

ベクトルのかけ算：　内積



a = _ ^a

a

_

 b = _ ^b

b

_



∣ a ∣ ^{cos }

∣ ^b ∣

内積 _{a⋅b= ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos }

ベクトルの内積はスカラー量

角度が90度(π/2)以上の場合は負 直交する２ベクトルの内積は0

a⋅a= _∣ a _∣∣ a _∣ ^{cos 0}



a _⋅a = _{∣ } a _∣ ²

基本ベクトル同士の内積

i⋅i=1

i⋅j=j⋅i =0

j⋅j=1

i⋅j= _{ ^{1  i = j }

0 _ i ≠ j _{ }}

i⋅j=

この様にかく事もあります

y

O _i

j x

a⋅b= _∣ a _∣ ∣ ^b ∣ ^{cos }

ベクトルのかけ算：　内積をベクトルの成分で書き下すと



a ⋅b= _ a ₁ ia ₂ j _ ⋅ _ b ₁ ib ₂ j _



a ⋅b =a

b

i⋅ia

b

i⋅ja

b

j⋅ia

b

j⋅j



a ⋅b =a

b

a

b

 ^{a a}

 ^⋅  ^{b b}

 ^=a

^b

^a

^b

i⋅i=1

i⋅j=j⋅i =0

j⋅j=1

物理とベクトルの内積

x

F 



物体を外力 F で x の距離移動させた。 移動方向と力の間の角度が θ

外力による仕事は

W =x F cos 

W _=x⋅

F



N 

_{N =W cos }

n

面に垂直で大きさが１のベクトル

N  = _{ n} ⋅ W _{ n}

ベクトルの外積

ベクトルのかけ算：　外積

A× ^ B = C ^

A

 B

C 

∣ C∣=∣A∣∣B∣sin 



ベクトル A、B と共に垂直で、 大きさが _{AB sin θ} のベクトル

ベクトル A 、ベクトル B で作られる菱形に垂直で、 その大きさが菱形の面積 AB sin θ に等しいベクトル

A ∥ ^ B  C ^ =0

ベクトル A 、ベクトル B が平行（反平行）な場合、外積は0 ベクトルの外積はベクトル量

ベクトルの外積を成分で表すと

A× ^ B = C ^

A

 B

C 

∣ C ∣=∣A∣∣B∣sin 

A= _ ^a _a



2

a

_

 B = _

b

b

b

_

C  = _

a ₂ b ₃ −a ₃ b ₂

a ₃ b ₁ −a ₁ b ₃

a ₁ b ₂ −a ₂ b _{1 }

a ₁ a ₂ a ₃ a ₁ a ₂ a ₃

b ₁ b ₂ b ₃ b ₁ b ₂ b ₃

覚え方は

C=

_∣

i j k

a a a

_∣

３行３列の行列の行列式

∣ ^{a a}

^{a a}

∣ ^{= a}

^a

^{− a}

^a

∣ ^{a a a}

^{a a a}

^{a a a}

∣ ⁼

a

_∣

a

a

a

a

a

a

a

a

a

_∣

−a

_∣

a

a

a

a

a

a

a

a

a

_∣

a

_∣

a

a

a

a

a

a

a

a

a

_∣

∣ ^{a a a}

^{a a a}

^{a a a}

∣ ^=a

^{∣ a a}

^{a a}

^{∣ −a}

^{∣ a a}

^{負号に注意 a a}

^{∣ a}

^{(-1) ∣ a a}

^{for a a a}

^∣

３次元の基本ベクトルの外積

A

 B

C 

∣ C ∣=∣A∣∣B∣sin 



i

j

 k

 k = i ×j

i =j × ^ k

j =k ×i

 k = _∣

i j k

1 0 0

0 1 0 _∣

= _ ⁰ ₀

1 _

j= _∣ ^{i j k} _{0 0 1}

1 0 0 _∣

= _ ⁰ ₁

0 _

i = _∣

i j k

0 1 0

0 0 1 _∣

= _ ¹ ₀

0 _

外積に関する公式

A× B =− B× A

入れ替え

A ⋅ _ ^ B × C ^ _ = ^ B ⋅ _ C ^ × A _ = C ^ ⋅ _ ^ A× ^ B _

ベクトルの３重積（あとから再考）

A× _ ^ B× C ^ _  ^ B × _ C ^ × ^ A _  C ^ × _ ^ A × ^ B _ =0

その他

 ^{ A ×  B}  ^⋅  ^{C  × D }  ⁼  ^{ A ⋅ C }  ^{ B ⋅ D }  ⁻  ^{A  ⋅ D }  ^{ B ⋅ C } 

A× _ ^ B× C ^ _ = _ ^ A ⋅ C ^ _ ^ B− _ A ⋅ ^ B _ C ^

問１　３つのベクトルで構成される立体（平行六面体）の体積

A

 B

C 



二つのベクトルAとBで作られる平行四辺形の面積 S



ベクトルA、Bで作られる面を底面とした時の 立体の高さ h

ベクトルABの間の角度を θ

平面ABの法線ベクトルとベクトルCの間の角度 ϕ

平行六面体の体積 V

S = _∣ A _{∣ ∣} ^ B _∣ sin 

h = _∣ C ^ _∣ cos 

V =S h

V = _∣ A _{∣ ∣} ^ B _∣ sin  _∣ C ^ _∣ cos 

ベクトルの内積、外積で表現すると

V = _ ^ A×  B _ ⋅ C

③

④

⑤

⑥

ベクトルの外積と物理

フレミング左手の法則

ローレンツ力

F  =I × ^ B

一様な磁束密度 B 中を、

磁束に対して角度 θ の傾きで張られた 電線に電流 I が流れるとき、

電線の単位長さあたりにかかる力 F

I =q _v

 B

F 

∣ F ∣=∣I∣∣ B ∣sin 



F =I B sin 

F =q v B sin 

 _{=q  ×} 

⑦

関数の微分・積分

関数

y = f  x

y = f  x , y ,... ^y = f r 

y= f r 

v t ₁ t ₂ = ^{x t 2 −x t 1 }

t ₂ −t ₁

 t=t ₂ −t ₁ ≪1

v t= lim

t 0

x t t− x t 

 t

v t = lim ^{ x}

 t ⁼

dx

dt

関数の微分：　質点の速度

物体が時刻 t₁ から t₂ ^{の間に移動した。} 物体の位置は x(t) で与えられる。

移動時の平均速度は

時間差 Δt が十分短い時を考える

位置の時間微分と速度

x

t t  t t

x

x  x

^lim

x

 t t =

dt

 t x t 

微分(導関数)の表記方法

˙x  t= ^{dx t}

dt

¨x  t= ^d

2 x t

dt ²

時間の１階微分

時間の２階微分

y ' = ^dy

dx ^{y ' ' =}

d

y

dx

⁼

d

dx

^y

y

= ^d

n

dx

^y

力学では

微分の例：

x

 t=t

x t t −x t =t t ²−t²=t²2 t  t   t ²−t²=t²2t  t −t²=2 t  t

「微小量の2乗は無視できる」

  t² 0

x

 t=t

x

 t=t

x

 t=t

x

 t=t

 t=a f t 

少し複雑な例

x

 t t =

dt

 t x t 

dx

dt ^{= lim}

x t t −x t

 t

x

 t= f t g t

=

_

dt  t f t 

_

dt ^{ tg t}

_

=

_

dg

dt ^{ t}

2^df

dt ^gt  t f t ^dg

dt  t f t  g t 

_

=

_

dt ^gt  f t^dg dt

_

x

 t= f  g t

= f  g t ^dg

dt ^{ t}− f  g t 

= f  g  g− f  g 

= ^df

dg ^{ g} f  g − f  g  df dg

f(t), g(t)の微分（導関数）は既知のものとする

微分の応用

x

 t= ¹

t 

x

t =

^{t }

t

x

 t= g t 

_{˙x t =} ^dx

dg

dg

dt ^=−g

−2

dg

dt ⁼⁻

1

g t

^{˙g t }

x t = f t⋅ ¹

g t  ˙x t = ˙f t⋅ ¹

g t  ^{ f t } _ ⁻

1

g t

^{˙g t } _

˙x t = ˙f t  g t− f t  ˙gt 

g t 

三角関数の微分

x

y

 x , y=cos  ,sin 



0 1

1

 

 



2 ^−

 x =  ⋅cos  ^

2 ^−

=−  sin 

 x

 y =   ⋅sin ^

2 ^−

=  cos 

 y=sin0 ~ 

(x = 0 近傍では y = sinx ~ x)

 ^{d d dx dy   =cos '  =sin '  = =}

^{lim lim  x  y     = −sin  = cos } 

 

対数の微分

 ^log

^x  ^{' = lim}

 x 0

log

 x x−log

x

 x

= lim

 x  0

1

 x ^log

x  x

x

= lim

 x  0

1

x

x

 x ^log

_ ^1

 x

x _

= ¹

x ^lim

log

1k 

1 k k=^{ x}

x

e ≡lim

k 0

1k 

1 k

= ¹

x ^log

^e

= ¹

x log a

指数関数の微分

y =a

log

y =x

両辺を微分して

¹

y log a ^{⋅y ' =1}

log

x '= ¹

x log a

y '

y ^{=log a}

y ' = y log a=a

log a

y =e

y ' =e

log e=e

= y

特別な場合 両辺の対数をとる

y =e

y ' =a e

積分

∫

^dy _dx ^{ x  dx = [ y  x  ]}

= y b− y  a

定積分

不定積分

_∫ ^{dy  x}

dx ^{dx = y  xC}

積分の意味

∫ _t

1

t

x t  dt

x

t ₁ t ₂ t

... ...

x t 

dt

微小面積 x(t)dt を t₁ から t₂ まで足したもの。

速度の場合

∫ _t

1

t

v  t dt

(確かに v-t 図での面積に対応するが）

dx =v t dt

微小時間 dt での移動量 v(t)dt を t₁～t₂^{の間で積算する}

t t

dx =v t dt

m = m/s × s

積分の考え方

S = _∫

t₁ t₂

x t dt  S = _∫ dS

・　微小量 dS の積み重ね

・　S と dS=x(t)dt は同じ単位をもつ

dx

dt ^{= lim}

 x

 t ^{= lim}

x t t−x t

 t

x

t t

x ^{ x}  t

t ₁ t ₂

積分と円・球

*** 周長 = (微小角に対する微小変位)を足しあげたもの

*** 面積 = （周長 × 微小の厚み）を足しあげたもの

*** 表面積 = (周長 × 微小変位）を足しあげたもの

*** 体積 = （表面積 × 微小の厚み）を足しあげたもの _{V r =}

_∫

0 r

S ' r '  dr ' S r =

_∫

0 r

Lr '  dr ' Lr =

_∫

0 2

r d

r

r d 

d 

S ' r =

_∫

0 r

L ' d 

r

r d 

d 

球の体積：　二つの考え方

r

S = y ² =r ² − x ² 

∫

^{S  x dx =} ∫

^r

^−x

^dx

厚さ dx 半径 y の円盤の微小体積 πy²dx の積算

r

dr '

厚さ dr の表面積 4πr² の微小体積の積算

r '

この様に考える事もできる。。。。

球の体積

r

dr '

厚さ dr の表面積 4πr² の微小体積の積算

S =4  r ' ²

r '

半径 r' の球の表面積

球が厚さ dr' の殻状の物体の体積 dV は

dV =4 r ' ² dr '

半径が r になるまで、内側から殻を積み上げていくと 物体全体の体積は

V = _∫

r ' =0

r ' =r

dV

V = _∫

0

r 4  r ' ² dr ' = ⁴

3 ^r

3

⑨

⑩

⑪ ⑫