統計学 I (H25 前期 水曜 3限 & 5限） Toshihide Kitakado's Website Lec6

統計学 I

北門 利英（海洋生物資源学科）

Lecture 6

2項分布 (復習)

Binomial distribution

2 ^{項分布とは}

2^項分布 定義

確率変数 _Y が試行数 _N , 試行の成功確率 _{p (0} ≦ _p ≦ ₁₎

をもつ2項分布に従うとは， _Y が確率関数

をもつことをいう．とくに，このことを

と略記する．

~ ( , )

Y Bin N p

( ) ^{N y} (1 ) ^{N y} ( 0,1, 2,..., )

P Y y p p y N

y

  −

=

= _{ } − =

 

2 ^{項分布の性質} (I)

0 1

1 1

1

1 0

1

[ ] (1 ) ! (1 )

!( )!

( 1)!

(1 )

( 1)!( )!

( 1)!

(1 )

!( 1 )!

( 1 )

N N

y N y y N y

y y

N

y N y

y N

z N z

z

N

N _N

E Y y p p y p p

y y N y

Np N p p

y N y

Np N p p

z N z

Np p p Np

− −

==

− −

=

− − −

=

−

=   _{ } − = −

  −

=− −

− −

=− −

− −

= + − =

∑ ∑

∑

∑

2^項分布

0

( )

N

N y N y

y

a b N a b

y

−

=

+ _{=  }  

∑  

2 項定理 より

0 0

( ) (1 ) 1

N N

y N y

y y

P Y y N p p

y

−

==

==   _{ } − =

∑ ∑  

2 ^{項分布の性質} (2)

0

2 2

2

2

2 2

0

2 2

2

[ ( 1)] ( 1) (1 )

( 2)!

( 1) (1 )

( 2)!( )!

( 2)!

( 1) (1 )

!( )!

( 1) ( 1 )

( 1)

N

y N y

y

N

y N y

y

N

z N z

z

N

E Y Y y y N p p

y

N N p N p p

y N y

N N p N p p

z N y

N N p p p

N N p

−

=

− −

=

− − −

=

−

− = −   _{ } −

  −

= − −

− −

= − − −

−

= − + −

= −

∑

∑

∑

2^項分布

2

2 2

[ ] [ ( 1)] [ ] [ ]

( 1) ( )

V Y E Y Y E Y E Y

N N p Np Np

= − + −

= − + −

= −

視聴率調査（ ₁ ）

関東地区日曜6時４0分の調査

但し，視聴率の推定値の標準

偏差を0.01以下にしたい

何世帯をサンプリングすれば

よいであろうか？

p ：サザエさんを見ている人の割合

1-p ：サザエを見ていない人の割合

見てない

NHK

NHK

NHK

BS

見てない

テレ朝

テレ朝

教育

サザエさん

サザエさん

サザエさん

サザエさん

サザエさん

サザエさん

~ ( , )

ˆ

Y Bin N p

p Y

= N

ハプロタイプカウントの確率分布

2^項分布

視聴率調査（ ₂ ）

[ ]

[ ]

2 2

ˆ

1 1

[ ] ˆ

1 1 (1 )

[ ] ˆ (1 )

p Y

N

E p E Y E Y Np p

N N N

Y p p

V p V V Y Np p

N N N N

=

=   _{ } = = =

  −

=   _{ } = = − =

 

ただし，調査前は _p は未知の値

(1 )

[ ] ˆ ^{p p} 0.01

SD p N

= − ≤

左辺は _p=0.5 の時に最大．従って， _p=0.5 を想定すれば

0.5(1 0.5)

[ ] ˆ 0.01 2500

SD p ₌ ⁻ _{≤ ⇔} N _≥

ハプロタイプカウントの確率分布

2^項分布

視聴率調査（ ₃ ）

しかし視聴率50％は「お化け番組」

もう少し現実な値を考え，高々p=0.2と想定すれば

0. (1 0.2)

[ ] ˆ 0.01 1600

SD p N

N

= ² − ≤ ⇔ ≥

高々p=0.1と想定すれば

0. (1 0.1)

[ ] ˆ 0.01 900

SD p N

N

= ¹ − ≤ ⇔ ≥

このように，必要とされる精度（分散）に応じてサンプル数

に関して決定を下すことができる．

（なお，ビデオリサーチでは関東で600世帯をサンプリング

している）

ハプロタイプカウントの確率分布

2^項分布

ポアソン分布

Poisson distribution

ポアソン分布とは

定義 ポアソン分布

確率変数 _Y が期待値 _{λ ( λ >0)} をもつポアソン分布に従

うとは， _Y が確率分布

をもつことをいう．とくに，このことを

と略記する．

~ ( )

Y Po _λ

( ) ( 0,1, 2,...)

!

e y

P Y y y

y

λ _λ

= = − =

ポアソン分布の性質

ポアソン分布

0 0 0

( ) 1

! !

y y

y y y

P Y y e e e e

y y

λ λ λ λ λ λ

∞ ∞ − ∞

− −

== =

^{= = = = =}

∑ ∑ ∑

0

[ ] ( )

y

E Y y P Y y

∞

= _∑

= =

0

[ ( 1)] ( 1) ( )

y

E Y Y y y P Y y

∞

− =

− =

=

∑

[ ] [ ( 1)] [ ] [ ] 2

V Y ₌ E Y Y _{− +} E Y ₋ E Y ₌

Maclaurin 展開（see 補足)

ポアソン分布の例

ポアソン分布

 あるアワビ漁場で区画サンプリングを行ったときの

個体数の確率分布

 刺網に到達する魚の単位時間あたりの数

 ミンククジラの5分間当たりの浮上回数

 ^．．．

2項分布とポアソンの違いは

2項分布 Y = 0, 1, 2, …, N 上限有

ポアソン分布 Y = 0, 1, 2, 3, ………… 上限無

2 項分布のポアソン分布近似

N → ∞, p → 0 (Np → _λ) ^の時 , Bin(N,p) ^は Po( _λ) ^に近づく

ポアソン分布

各自 _{N, p} などの値を

変えてみてグラフ書きに

トライしてみてください！

補足： _Taylor 展開

ポアソン分布

「農学・水産学系学生のための数理科学入門」

第 ₁ 章 数学 （北門著） より抜粋

補足： Maclaurin ^展開

ポアソン分布

補足： Maclaurin ^{展開による関数の近似}

ポアソン分布

4.

補足： Maclaurin ^{展開による関数の近似} (R ^コード )

ポアソン分布

curve(exp(x), xlim=c(-1,3), xlab=" ", ylab=" ", lwd=2, cex=1.5, ylim=c(0, exp(3)))

curve(1+x, lwd=2, cex=1.5, add=T, lty=2)

curve(1+x+x^2/2, lwd=2, cex=1.5, add=T, lty=3)

curve(1+x+x^2/2+x^3/6, lwd=2, cex=1.5, add=T, lty=4)

curve(1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24, lwd=2, cex=1.5, add=T, lty=5)

curve(1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+x^5/120, lwd=2, cex=1.5, add=T, lty=6)

legend(-0.8,20,lty=c(1,6,5,4,3,2),

legend=c("exp(x)", "n=5", "n=4", "n=3", "n=2","n=1"),

bty="n", cex=1

)

三角関数にも挑戦してみてください！

連続型分布の基礎

連続型の確率変数と確率分布

連続型確率変数：整数や自然数などの離散的な値をとる

連続型確率分布：離散型確率変数に対する確率分布

離散型分布の確率関数 連続型分布

( ) ^b ( )

P a _{< ≤ =} Y b _∫ a f y dy

標本空間 数直線のある区間

確率分布

標本空間の特定の

値に対して確率を

付与できない！

区間に対して確率

を定義する

確率密度関数

a b

連続型確率変数の期待値，分散，標準偏差

確率変数の特性値の定義確認 連続型分布

2 2

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] ( )

A A B B A A B B

A A B B A A B B A B

E Y Y E Y E Y

V Y Y V Y V Y Y Y

ω ω ω ω

ω ω ω ω

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⊥

分散(variance)

標準偏差(standard deviation) _{SD Y [ ] = V Y [ ]}

期待値(expectation) E Y [ ] _{= ∫} f y dy ( )

期待値と分散の性質 (離散型と同じ)

2 2

[ ] [( [ ]) ] ( [ ]) ( )

V Y _{= −} V Y E Y _{= − ∫} y E Y f y dy

正規分布

Normal distribution

大泉ステーションのニジマスの体長組成

正規分布

体長階級(cm) 階級値 (cm) 度数

9.0-10.0 9.5 1

10.0-11.0 10.5 1

11.0-12.0 11.5 10

12.0-13.0 12.5 20

13.0-14.0 13.5 69

14.0-15.0 14.5 172

15.0-16.0 15.5 284

16.0-17.0 16.5 410

17.0-18.0 17.5 431

18.0-19.0 18.5 356

19.0-20.0 19.5 307

20.0-21.0 20.5 203

21.0-22.0 21.5 99

22.0-23.0 22.5 45

23.0-24.0 23.5 32

24.0-25.0 24.5 17

25.0-26.0 25.5 4

26.0-27.0 26.5 1

合計 2451

体長組成を数学的に

表現できないか？

正規分布とは

定義 正規分布

2 2

( ) 1

[ ] ( )

[ ] ( ) ( )

f y dy

E Y yf y dy

V Y y f y dy

µ

µ σ

∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

=

==

= − =

∫

∫

∫

分散

期待値

正規分布の確率密度関数のグラフ

正規分布

正規分布の確率密度関数の性質

・偶関数で平均 _µ に関して対称

・平均 _µ に応じて関数はシフトする

・標準偏差 _σ が大きくなると横に広がる

大泉ステーションのニジマスの体長組成

正規分布

2

17.73

5.43

µ

σ

=

=

ところでパラメータは

どうやって求める？

次回から学ぶ「統計的推定」

という方法で！

正規分布に関する性質 ₍₁₎

性質 正規分布

2

2

~ ( , )

~ (0, )

~ (0,1)

Y N

Y N

Y N

µ σ

µ σ

σ µ

−

−

正規分布に関する性質 ₍₂₎

性質 正規分布

正規分布の混合

正規分布

問題

正規分布

10

次回 _(5/29) の予定

基本事項

 パラメータの推定とは？

 ^{推定の不偏性}

 ^{推定の誤差}

なお，その他の確率分布については，推定や検定の

ところで適宜触れます．別途配布した資料は毎回

持ってくること！

https://sites.google.com/site/toshihidekitakado/statistics1