宿題 ゲーム理論 2011 HW3ans

ゲーム理論 2011

宿題 ³ の解答

平成 23 年 8月 25 日

問題 1 ₍長期的関係による協力_). テレビ業界は新規参入が難しく_Aと_Bとの長期的な関係が続くと考 えられるため、これは繰り返しゲーム的状況と見ることができます。そこで、たとえば両企業が

• 均衡上では相手の不祥事を報道しない

• 相手がもし自分の不祥事を報道すれば、翌日自分は相手の不祥事を報道する

というトリガー戦略をとれば、両者は協力関係を維持できる可能性があります（もちろん、ほかのトリ ガー戦略でも協力が維持できるかもしれません）。ただし、どちらか一方または両方が将来を重視しない 場合（つまり割引率が非常に低い場合）、協力を維持できず、不祥事が明るみに出てしまうことも考えら れます。

問題 2 ₍無限繰り返しゲーム_). 各企業_iのつける価格を_piとします。

(a) ステージゲームのナッシュ均衡は_{(p1, p2) = (0, 0)}および_{(1, 1)}の₂つです。ただし、両社にとっ て価格₀は価格₁および₂に弱支配されていることに注意してください。

(b) ^{相手が価格}2を選ぶとき、自分は価格₁を選ぶともっとも利得が大きく、そのときの増分は_{3−2 = 1} となります。

(c) ^{相手が価格}2を選んでいるとき、自分が価格₂から逸脱してしまうと、来期以降ずっと_{(p1, p2) =}

(1, 1)をプレイすることになり、そのときの各期の利得は

3

2^{となります。よって}

∞

∑

t=1

δ^t (

2 −³ 2

)

= ^δ

2(1 − δ)

だけ損をこうむることになります。

(d) ^均衡価格2から逸脱することによって得られる利益がこうむる損失以下であるとき、このトリガー 戦略の組はサブゲーム完全均衡となることができます。よって

1 ≤ ^δ

2(1 − δ) ^{⇐⇒ δ ≥} 2 3 がその条件となります。

∗https://sites.google.com/site/gametheory2011mats/

†

梶 哲也（赤門総合研究棟₄₂₀室_/メール：[email protected]^）

‡

質問やコメント等あればメールをくださるか、直接来訪してください。

1

(e) 各ステージゲームにおいてプレイされる（すべてのプレーヤーの）行動の組をα(0), α(1), . . . ^と し、プレーヤー_iの期待利得関数を_giとします。このとき無限繰り返しゲームにおける「平均利 得」は

(1 − δ)

∞

∑

t=0

δ^tgi(α(t))

で計算されます。これは、利得の現在価値

∑∞ t=0^δ

tgi(α(t))が与えられたときに、それをあたかも 毎期毎期同じ利得_cを得ているとみなしたときの現在価値

c

1−δ と等しくなるように選んだ_cのこ とです。繰り返しゲームから得られる利得をステージゲームにおける利得と同じ土俵で議論する ための概念といえます。

(f) ステージゲームにおけるミニマックス値は₀（＝相手が価格₀を選んだときの最大利得）となり ます。

(g) 平均利得の実現可能領域は図₁の灰色の領域で、境界も含む閉じた領域となります。一方、トリ ガー戦略によって（_δが₁に近ければ）達成可能な領域は、先ほどの実現可能領域のうち両者の利 得が厳密に₀より大きい部分（つまり_π1軸、_π2軸上の点を除いた領域）となります。

π1

π2

(0, 0)^• _{(3, 0)}^•

•^{(2, 2)} (0, 3) •

(³₂,³₂)

◦

図₁ 実現可能・達成可能な平均利得

問題 3 ₍有限繰り返しゲーム_).

(a) バックワード・インダクションを用いて考えます。価格の組_{(1, 1)}はステージゲームにおけるナッ シュ均衡になっているので、_T期（最後の期）には_{(1, 1)}をプレイすることはお互いに最適反応と なっています。次に_{T − 1}期には、

• 今期自分がどんな行動をとっても次の期に実現する結果は変わらない

• ^{均衡上では相手は価格}2^{をつけてくる}

ということから、価格₁に逸脱する動機があることになります。よって₁つ目のトリガー戦略は T ≥ 2のときサブゲーム完全均衡とはなりえません。

(b) ここでも同様にバックワード・インダクションを用いて考えます。今まで均衡上を進んできた場 合、_T期に相手は価格₁をつけることがわかっているので、それに対する最適反応は₁となりま す。もしどちらかが均衡から外れていた場合、_T期にもう一方は価格₀をつけることがわかってい るので、自分もそれに対する最適反応のひとつである₀をとれば、_T 期から始まるサブゲームの ナッシュ均衡となります。次に_{T − 1}期には、

• 今まで均衡上を進んできた場合、今期価格₂から逸脱すれば最大で_{3 − 2 = 1}の利得を得ら れるが、_δ(

3

2 ^{− 0) =} 3

2^{δの利得を失う}

2

• もしどちらかが均衡から外れていた場合、上に述べた理由で_T 期に_{(0, 0)}をプレイすること になるので、_{T − 1}期にも価格₀から逸脱する動機はない

ということから_{1 ≤}

3

2^{δ⇔ δ ≥} 2

3であればこの戦略はこのサブゲームのナッシュ均衡として成り立 つことがわかります。同じことを続けていくと、_{T− 2}期には

1 ≤ 2δ + ³ 2^δ

2

(

= ³ 2^δ+

( 1 2^δ+

3 2^δ

2

))

であればいいことになりますが、これは_{δ ≥}

2

3 であれば自動的に満たされることになります。同 様に_{δ ≥}

2

3 であればそれ以前のすべてのサブゲームでこの戦略はナッシュ均衡となることが確認 できます。以上より_{δ ≥}

2

3^{であれば2}つ目のトリガー戦略の組はサブゲーム完全均衡となります。 (c) ^詳しくはBenoit and Krishna (1985)^{を参照してください。}

問題 4 ₍情報不完備ゲーム_). この問題で仮定される戦略_{bi = βvi}は価値_viに対して強く単調となるの で、引き分けとなる確率は₀です（_{β = 0}の場合は若干プラスの_βに逸脱する動機があるので考えませ ん）。したがって以下の計算では引き分けのケースは無視することとします。

(a) vi ∈ [0, 1]^{の確率密度関数は}f(v) = 2vで与えられるので、分布関数は_{F(v) = v}

2

となります。よっ て企業₂が戦略_b2 _{= βv}2を取ってくるとき、企業₁が_b1をビッドして勝てる確率は

Pr{b2< b1} = Pr {

v2 < ^b1 β

}

=^{( b1} β

)²

となります。ここで企業₁は_{b1 > β}をビッドする動機はないので、その場合は考慮しなくてよい ことに注意してください。よって企業₁の期待利得は

g1(b1, b2) =^{( b1} β

)²

(v1− b1)

となります。

(b) (a)^{で求めた期待利得を}b1について微分すると、一階条件より

2 β

( b1

β )

(v¹− b¹) −^{( b1} β

)²

= 0 ⇐⇒ b1 ₌

2 3^v1 と解けます。

(c) (b)^よりβ = ²₃ のとき互いに最適反応となります。よってベイジアン・ナッシュ均衡は

(b^∗1(v1), b^∗2(v2)) =^{( 2} 3^v1,

2 3^v2

)

と導かれます。

2

3 ^<1なので、各企業は自分の価値よりも低めに入札する動機があることがわかり ます。一般にsecond-price sealed-bid auctionであれば正直にビッドする戦略が支配的になること が知られています。上と同様にして、企業が支払う価格が 自分のビッドではなく 相手のビッドで あるとき、均衡戦略が_{bi = vi}となることを確かめてみてください。

参考文献

Benoit, J.-P. and V. Krishna (1985): “Finitely Repeated Games,” Econometrica, 53, 4, 905–922.

3