資料置き場 hustat2017 20171201hand

統計学 第九回：正規母集団の標本理論

高木 真吾

URL:

http://sites.google.com/site/hustat2017/

質問等は担当者（

までご連絡ください

December 1, 2017

本日の演習問題 . . . 2

確率分布に関する前提知識 ₃ 必要な確率分布 . . . 4

カイ二乗，ｔ，Ｆ分布 . . . 5

正規分布との関係：ここは重要 . . . 6

正規母集団における標本理論 ₇ 母集団分布が正規分布 . . . 8

標本平均の標本分布 . . . 9

標本平均に関する問題１ . . . 10

標本平均に関する問題２ . . . 11

標本分散の標本分布 . . . 12

標本分散に関する問題 . . . 13

標本平均・標本分散に関して. . . 14

母集団分散を_S²で置き換えた時の問題. . . 15

正規分布とｔ分布の乖離 . . . 16

本日の課題問題 . . . 17

本日の演習問題

■ ^{母集団平均が}µ 分（母集団分散・標準偏差については未知）の正規分布であったとするならば、「調査に よる平均視聴時間」と「母集団における平均視聴時間」が 標本標準偏差の１倍以上も乖離 してしまうと いう結果が出る確率が_0.05以下で収まる^aのは，何人について調査を実施する場合か？₍自由度_{n − 1 のｔ} 分布に従う確率変数T について，Pr[|T | > 1 ·^√n] < 0.05 なる n を求める)

■ ^{標本標準偏差の0.5}倍以上も乖離 してしまうという結果が出る確率が0.05以下となるのは，何人について 調査を実施する場合か？(自由度n − 1 のｔ分布に従う確率変数 T について，Pr[|T | > 0.5 ·^√n] < 0.05 な る_{n を求める：答え}18)

■ 上の結果は母集団分散が既知と考えた場合に比べてどの程度異なっているか？

a

調査結果が，ここで想定している調査誤差の許容範囲（標本標準偏差の１倍）を超えてしまう確率が５％以内である と述べている

統計学 第９回_{– 2 / 17}

確率分布に関する前提知識 _{3 / 17}

必要な確率分布

■ ^自由度k(パラメータ_k)のカイ二乗（_χ²）分布に従う確率変数の密度関数 f (y; k) = ¹

2 · Γ(k/2) (_y

2 )k/2−1

exp^{₋^y 2

}, k > 0, y > 0.

■ ^自由度m(^{パラメータ}m)^のｔ分布

f (t; m) = _√ ¹

m · B(m/2, 1/2) (

1 + ^t

2

m

)^−(m+1)/2

, m > 0, −∞ < t < ∞.

■ ^自由度(n, m)(^{パラメータ}(n, m))のＦ分布に従う確率変数の密度関数_: f (x; n, m) = ^n/m

B(n/2, m/2) (_n

m^x

)n/2−1( 1 + ⁿ

m^x

)−(n+m)/2

, n, m > 0, x > 0.

統計学 第９回_{– 4 / 17}

カイ二乗，ｔ，Ｆ分布

0 5 10 15 20

0.00.10.20.30.40.5

カイ二乗分布に従う確率変数の密度関数

x

cbind(y1, y2, y3)

df₌2 df₌5 df₌10

-4 -2 0 2 4

0.00.10.20.30.4

t分布に従う確率変数の密度関数

x

cbind(y1, y2, y4)

df₌2 df₌5 N₍0_, 1₎

0 1 2 3 4 5 6

0.00.20.40.60.81.0

F分布に従う確率変数の密度関数

x

cbind(y1, y2, y3)

df1₌2 , df2₌5 df1₌10 , df2₌20 df1₌20 , df2₌2

正規分布との関係：ここは重要

■ 標準正規分布に従う確率変数X：X ∼ N(0, 1)

■ ^{カイ二乗（}χ^2）分布

□ Y = X^{2とおくと，}Y は自由度１のカイ二乗（χ^{2）分布に従う}

□ 独立な標準正規分布に従う確率変数_X1, . . . , Xn^を用いて

Y =

n

∑

i=1

X_i²

としたとき，Y は自由度 n の χ^{2分布に従う}

■ ^{ｔ分布：特に重要}

□ X:^{標準正規分布／}W:^自由度m の χ^2分布

□ X と W が互いに独立であるとき，自由度 m のｔ分布に従う． X

√W/m ^{∼ t(m)}

□ ^自由度m が大きいとき，標準正規分布に近づく．

■ ^Ｆ分布

□ V:^自由度n の χ^2分布／W:^自由度m の χ^2分布

□ V と W が互いに独立であるとき，自由度 (n, m) のＦ分布に従う． V /n

W/m ^{∼ F (n, m)}

□ ^自由度が(1, m) のＦ分布に従う確率変数の平方根は，自由度 m のｔ分布に従うということもその構成 方法から明らか．

統計学 第９回_{– 6 / 17}

正規母集団における標本理論 _{7 / 17}

母集団分布が正規分布

■ ^{母集団分布：正規分布}

□ 母集団における興味ある対象の分布状態があたかも正規分布のように分布しているという意味

■ ^{母数：母集団平均}µ ／ 母集団分散 σ²

■ ^大きさn の標本：{X1, X2, . . . , Xn}．ただし Xi∼ N(µ, σ²) i = 1, 2, . . . , n

■ ^{標本平均： ¯}X = n^−1∑n_i=1Xi

■ ^{標本分散：}S²_{= (n − 1)}^−1∑n_i=1(Xi− ¯^X)2

統計学 第９回_{– 8 / 17}

標本平均の標本分布

■ ^{標本平均の分布： ¯}X = n^−1∑n_i=1Xi

X ∼ N( µ, σ¯ ^{2/n ) (1)}

■ ここから（標準化によって） X − µ¯

√σ²/n ^{∼ N(0, 1) (2)}

統計学 第９回_{– 9 / 17}

標本平均に関する問題１

■ 天秤による計測：観測には多少の誤差が出る＝誤差を確率変数のように考える

□ ^{観測誤差は平均}0 ｇ，分散 0.1（標準偏差^√0.1 ｇ）の正規分布

■ 10回の計測を行って，その平均によって「重さ」を確定する．

■ ^{このとき，}「重さ」の取りうる値はどのような分布になるか（標本平均の分布）？また，真の重さが_{100 ｇ} でとき，_{| ¯}X − 100| > 0.3 となる確率は？

■ ^{計測量に関する大きさ10の標本：}{X1, X2, . . . , X10}

■ ^{誤差を確率変数}Ui^{と表記するとき，}Ui ∼ N(0, 0.1)

■ ^{計測量の取りうる値を}Xi^とすると

Xi= 100 + Ui, i = 1.2. . . . , 10

なので_Xiの従う分布は，       

■ ^{このとき（1）式より，標本平均}X の従う分布は^¯

■ ^{標準化を行うと（}0.1/10 = 0.01,^√0.01 = 0.1 に注意する）

Z ≡

X −    ¯      

=        ∼    

■ ^{求めるべき条件式}| ¯X − 100| > 0.3 を Z を含む様に変形する．

■ 標準正規分布の数表をもちいて，

– 10 / 17

標本平均に関する問題２

■ 天秤による計測：観測誤差は平均0 ｇ，分散 0.1 ｇ（標準偏差^√0.1 ｇ）の正規分布

■ X の誤差が 0.1 ｇ以下となる確率が 90 ％以上となるようにしたい^¯

■ 何回くらい計測すればよいか？

■ ^{計測量に関する大きさ}n の標本：{X1, X2, . . . , Xn}

■ ^{このとき（2）式を参照して，} Z ≡ ^{X − 100¯}

√0.1/n ⁼

√10n · ( ¯X − 100) ∼ N(0, 1)

■ ^問題はPr[| ¯X − 100| < 0.1] ≥ 0.90 となるような n を求めること

■ 標準正規分布の数表より Pr[|Z| < 1.65] = 0.90

なので臨界点を_1.65よりも大きくすると題意を満たす．つまり

つまり     以上に設定すればよい．

統計学 第９回_{– 11 / 17}

標本分散の標本分布

■ ^{標本分散：}S²_{= (n − 1)}^−1∑n_i=1(Xi_{− ¯}X)²

■ ^{標本分散は自由度}n − 1 のカイ二乗（χ^{2）分布に従う} (n − 1) ·^S

2

σ^{2 ∼ χ}

2_{(n − 1) (3)}

■ ^自由度がn ではなく，n − 1 であることに注意．

■ ^{証明はスライド参照．}

統計学 第９回_{– 12 / 17}

標本分散に関する問題

■ 母集団分布は正規分布／母集団平均4，母集団分散 15．

■ ^大きさ10 の標本：{X1, X2, . . . , Xn}（Xi∼ N(4, 15)）

■ ^{標本分散について}S²> a となる確率が 0.05 となるような a はいくつか？

■ ^（3）式より，以下の関係が成り立つ (n − 1) ·^S

2

σ^{2 = 9 ·} S²

15 ^∼

■ ^また

■ カイ二乗分布表の自由度９の欄の５％点をみるとPr[V > 16.9190] = 0.05 なのでなので臨界点を16.9190 とすると題意を満たす．つまり

統計学 第９回_{– 13 / 17}

標本平均・標本分散に関して

X − µ¯

√S²/n ^{∼ t(n − 1)}

■ ^（2^）式はµ にも σ^{2にも依存．}

□ µ についてだけ調べたいときには σ^{2が厄介．}

□ ^何とかσ²に依存しないようにできないか（_S²で置換）？

□ X と S^{¯ 2は独立になるa}ことを利用すると次の結果が成立する．

■ ^前提１：( ¯_{X − µ)/}√σ²/n：標準正規分布

■ ^前提２：(n − 1)S^{2/σ2：自由度}n − 1 の χ^2分布

■ ^{したがって}

T = ^{( ¯X − µ)/√σ}

2_/n

√{(n − 1)S²/σ²_{}/(n − 1)} ⁼ X − µ¯

√S²/n ^{∼ t(n − 1) (4)}

■ ^{あたかも（2）式の}σ^2をS²で置き換えただけのように見える

a

証明はここでは行わないが，以下のような手順で証明可能．

■ ( ¯X− µ)^{と，任意の}i^についてXi_{− ¯}X^{が独立になる}

■ 一般に独立な確率変数同士において，それぞれの確率変数の関数同士も独立になる

∑

母集団分散を S

で置き換えた時の問題

■ 母集団分布：正規分布／母集団平均_{4，母集団分散 σ}²

■ ^大きさ15 の標本：{X^{1, X2}, . . . , X15_}

■ 標本平均と標本分散を用いて，_{( ¯X − 3)/}

√S²> a となる確率が 0.01 となる a はいくらか？

■ ^{問題から大きさ}15 の標本：{X1, X2, . . . , X15} において，Xi∼ N(3, σ²⁾

■ このとき標本平均と標本分散から（₄）式を用いると X =¯ ¹

15

15

∑

i=1

Xi∼         , S^{2= 1} 15 − 1

15

∑

i=1

(Xi− ¯^X)2, T ≡ ^{X − 3¯}

√S²/15 ∼          

■ ところで問題の条件を，ｔ分布に従う確率変数を含むように変形すると X − 3¯

√S² > a ⇔        

つまり Pr

[ _¯ X − 3

√S^{2 > a} ]

= Pr

[ _{X − 3}¯

√S²/15 ^{> a}

√15 ]

= 0.01

となるのは自由度₁₄のｔ分布表から_a

√15 =     を満たす a を求めればよい（≈ 0.713）．

統計学 第９回_{– 15 / 17}

正規分布とｔ分布の乖離

■ ｎ回の計測で得られるであろう結果が_{{X1, X2}, . . . , Xn}

■ ⁶回の計測で標本平均と母集団平均の乖離が，標本標準偏差の_1.0倍 となる確率はいくらか

■ ⁶回の計測で標本平均と母集団平均の乖離が，母集団標準偏差の_1.0倍 となる確率はいくらか（母集団分 散は既知で，_σ²とする）

前提：

T ≡ ^{X − µ¯}

√S²/n ∼ t(n − 1), Z ≡ ^{X − µ¯}

√σ²/n ^{∼ N(0, 1)} それぞれの場合の確率を求める．

Pr[| ¯X − µ| ≥^{√S2] = Pr} [

≥       ]

= Pr [       ]

n = 6 なのでｔ分布表の自由度５の欄から^√6 ≈ 2.45 となる確率は５％∼１０％の間． Pr[| ¯X − µ| ≥^{√σ2] = Pr}

[

                ^≥

            ]

= Pr [       ]

n = 6（^√6 ≈ 2.45）のとき正規分布表から求める確率は約 0.014 （= 0.007 × 2）．

統計学 第９回_{– 16 / 17}

本日の課題問題

1. ^{母集団平均が}µ 分（母集団分散・標準偏差については未知であり σ²と表記しておく）の正規分布であっ たと仮定するならば、「調査による平均視聴時間」と「母集団における平均視聴時間」が

標本標準偏差の１倍以上も乖離 してしまうという結果が出る確率が_0.05以下で収まるのは，何人につい て調査を実施する場合か？(自由度n − 1 のｔ分布に従う確率変数 T (n − 1) について，

Pr[|T (n − 1)| ≥ 1 ·^√n] ≤ 0.05 なる n を求める⁾

■ ^大きさがn の（無作為に選ばれた）標本を，n 個の独立で同一の分布に従う確率変数であらわす． X1, X2, . . . , Xn

このとき，各確率変数が従う確率分布は，問題の仮定より，_Xi∼         （i = 1, 2, . . . , n）^.

■ ^{母集団平均は} であり，調査の結果得られるであろう標本平均_{X は，上記の標本}¯ {X1, X2, . . . , Xn} を用いて，

X =¯    

と書くことができる．この標本平均は，標本を構成する確率変数の関数であることから，これ自身も また確率変数であり，その確率分布は，平均 E_{[ ¯X] =      ,}分散 V_{[ ¯}X] =       の

       分布に従う．また標本分散，標本標準偏差は以下のように表記される S²= ¹

n − 1

n

∑

i=1

(Xi_{− ¯}X)², S =^√S²

この標本分散（標本標準偏差）を用いて T = ^{X − µ¯}

√S²/n ⁼

√n( ¯_{X − µ)}

S ∼ T (n − 1)

つまり，確率変数T は，自由度 n − 1 のｔ分布に従う ことが示されている．

■ ^問題は，| ¯X − µ| ≥ 1 · S となる事象の確率について問うているので Pr_{[| ¯}X − µ| ≥ 1 · S^{] = Pr[ |}

√n( ¯_{X − µ)|}

S ^≥ ]

という関係を利用する．問題の要請は，上記確率が0.05以下になるような_{n を求めている}

■ ^例えば，n が4（自由度がn − 1 = 3）のとき，上記の関係は Pr[|T (3)| ≥^√4] = Pr[|T (3)| ≥ 2] である が，t分布表からPr[|T (3)| ≥ a] = 0.05 となる点は a = 3.1824 なので Pr[|T (3)| ≥ 2] > 0.05 となる．

■ ^同様にn = 5, 6, . . . と考えていくと，初めて Pr[T (n − 1) ≥^√n] ≤ 0.05 を満たす n は       で ある．

2. 上の結果は母集団分散が既知と考えた場合に比べてどの程度異なっているか？

■ ^{母集団分散}σ²が既知の時，母集団における標準偏差はσ であるので，計測結果が母集団平均に対して 1 × σ 以上の乖離する確率を５％以下で押さえるには以下の関係を満たす n を求めることである

Pr_{[| ¯}X − µ| ≥ σ] ≤ 0.05 ⇔ Pr

[| ¯X − µ|

√σ²/n ^≥

√n ]

≤ 0.05