解答例＋引用題 文系数学 過去問

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１ 解答解説のページへ

枚からなるカードの組がある。この組のそれぞれのカードには から までの

数がひとつ書かれており各数についてそれぞれ枚ずつある。この組から枚のカ

ードを同時に引く。

枚のカードの数が同じになる確率を求めよ。

枚のカードの数の差が以上となる確率を求めよ。

2004 千葉大学（文系）前期日程 問題

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２ 解答解説のページへ 辺の長さがの正三角形$%&がある。辺%&の中点0を中心とする半径Uの円 が辺$%および辺$&と共有点をもつとき $% との共有点のうち頂点$ に近い方の 点を'とし$&との共有点のうち頂点$に近い方の点を(とする。

$'の長さがであるときUの値を求めよ。

$'の長さを[とおくとき_{Uを[の式で表せ。}

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３ 解答解説のページへ 次関数I[および 次関数J[を I[ [ J[ D[ E[Fとし

[

\ I と\ J[のグラフが点

_{で共通の接線をもつとする。このとき以}

下の問いに答えよ。

EFをDを用いて表せ。

2004 千葉大学（文系）前期日程 問題

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４ 解答解説のページへ

[\] 空間内に点$ と点% がある。点 & が \ 軸上を動くとき 三角形$%&の面積の最小値を求めよ。

‹電送数学舎 2004

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１ 問題のページへ

枚のカードから枚を選ぶ& u通りの場合が同様に確からしい。

枚のカードの数が同じになる場合はその数の選び方が 通りでそれぞれの

数に対してカードの選び方が& 通りずつある。

よってこの確率は_uu である。

枚のカードの数の差が 以上となる場合はその数の組の選び方が

の 通りありそれぞれの組に対して

カードの選び方が&u& 通りずつある。

よってこの確率はu_u である。

枚のカードの数を組み合わせその和を計算

してまとめると右表のようになる。

まず選んだ 枚のカードの数が同じとき

よりその確率はそれぞれ_{u u} となり

このときの数の和の期待値は

u _{u u}u

また選んだ 枚のカードの数が異なるとき

そのカードの選び方は&u& 通りずつであるのでその確率はそれぞれ

u u となる。このときの数の和の期待値は

u u u u u u _{u u}u

以上より枚のカードの数の和の期待値は _uu_uu である。

［解 説］

の期待値は表の数値をみるとその対称性から明らかに であると判断できま

す。

2004 千葉大学（文系）前期日程 解答解説

‹電送数学舎 2004

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２ 問題のページへ

%' $%$' から△%0'に余弦定理を適用し

_{˜ ˜ q}

U

よって U

$' [のときと同様にして

q ˜ FRV _{[ [} U _{[ [}

‘%'0 ‘'$0‘'0$ qTとなり△%0'に正弦定理を適用すると

VLQ

VLQU q _qT

VLQ VLQ VLQ T

T ˜ _q

q

q ˜

U

ここで FRVT よりVLQT

VLQT

FRVT

FRVT

すると

VLQ FRV FRV VLQ

VLQ qT q T q T より

˜ U

［解 説］

では の結論を利用せずに独立した設問として考えました。なお問題文中

の「頂点$に近い方の点」という表現を円と辺$% $&との共有点の個数がそれぞ

れ個ずつであると読み込めばその場合のUの範囲は

＜U≦ となり が解な

しとなってしまいます。

$

% 0 &

' (

‹電送数学舎 2004

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３ 問題のページへ _{I[ [よりIc[ [となり}

c

I である。

また _J[ D[ E[F_{より Jc[ D[Eとなる。} 条件より J かつJc となるので

_{D EF}

E

D

よってE D F D

K[ I[J[とおくとより K [ [ D[

_{[ [ D}

c [

K の解は [ Dとなり

K _K

また K D K Dから ≦[≦ におけるK[の最小値を

Pとおくと

L D＜

右表よりP K

LL ≦D＜

LLL D＞D＜のとき

右表よりP K

LLLL D≦D≧のとき 右表よりP K D

LLL ≦D＜

_D

K とKの大小関係

を調べるために差をとり

D K D K

G

すると _{GD D D Dとなり}

c D D D

G DD

[ … …

[

Kc _{− ＋}

[

K

[ … D … …

[

Kc ＋ − ＋

[

K

[ … … D …

[

Kc _{＋ − ＋}

[

2004 千葉大学（文系）前期日程 解答解説

‹電送数学舎 2004

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このとき ≦D＜において GcD＞より GD≧G ＞ よって K

LY D≧

D D K

K ＞ より

D K

P

L∼LYより D＜のときP D≧のときP Dである。

［解 説］

とにかく朴訥に場合分けをしそれぞれの場合についてK[の増減を調べました。

難問ではないもののかなりの時間を要します。

[ … …

[

Kc _{＋ −}

[

‹電送数学舎 2004

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４ 問題のページへ 点& W とし△$%&の面積を6とする。

$% $& W より

$% $& _{W WW}

$&

$%˜ W W

すると _{$% $& $% $&}

_˜

6

_{W W W}

_WW

W

よってW のとき6は最小値

をとる。

［解 説］

三角形の面積公式への代入練習とも思える問題で前問の 割程度の時間で結論