講演資料置き場 名城大学春季セミナー2015

数理 ン 入門 ₄

加藤 恭

大阪大学大学院基礎工学研究

大阪大学金融 保険教育研究 ン _(CSFI)

[email protected]

Feb. 17, 2015 T.Kato 1

城大学理工学部数学 ₂₀₁₄ 春季

(1) _{伝統的シス ッ ス 数理ファ ンス}

(2) _{ー ン 関 最近 理論的話題}

Outline

伝統的シス ッ ス ^: 動的 ン ー ン 貸借

 Fouque-Sun toy model ^紹

場型シス ッ ス 最適執行問題

 ^HFT

 ^ン

 ^{最適執行問 関 数理 出}

 ^{ン 関数 形状 い}

 ^{LOB 用い ン 推定 関 話}

Concluding Remarks

最後

Introduction

Math Finance and Systemic Risk

シス ッ ス ( ≒ 金融シス 全体 破綻 関 ス )

 ^伝統的 : Carmona, Fouque, Papanicolaou _…

 ^{銀行ネ ワ}

 ^{数理 ン 研究 活発化 数}

 ^場型

 ^{問 、 ン ョ}

 ^{← ？ 関 諸 あ}

 ^{: 大規模執行 ン (や 諸 あ )}

シス 全体 ス 管理 ⇒ Multi-player 問題

 ^{数理 ン 多 研究 単一 場参加者 対象}

 ^{複数 場参加者 関 動的均衡 → 確率微} (stochastic differential game)

 Carmona-Fouque-Sun ( ^述)

 Multi-player ^{対 均衡理論 ← 数理経 学}

 ^{数理 ン い 一般的 設定 問 遃 、}

多 場合数学的 部 単純化

Coupled Diffusion Models

Dynamic Interbank Network

伝統的シス ッ ス 関連 話題

 ^{ン ン 借 考慮 動的 銀行 安定性}

 ^{結合型 散遃程} (coupled diffusion) ^{用い ン 主流}

 Fouque-Sun(2013)

 ^結合型 Ornstein-Uhlenbeck(OU) ^{遃程 定式化} ン 関 illustrative introduction

 Carmona-Fouque-Sun(2014)

 ^{各金融機関 中央銀行 借入 積増 考慮 動的均衡}

 Nash equilibrium (^非協力 ) or Franchized equilibrium (^{協力 型} )

 ^極限移行: Mean Field Game(MFG)

 ^{金融機関 関 多様性 無い場合 、金融機関数}

無限大 飛 極限 均衡状態 均場 理論 用い 述

 Fouque-Ichiba(2013)

 ^{Feller 遃程 用い ン ン 場 ン}

 Garnier-Papanicolaou-Yang(2013)

 ^{や 均場理論 用い (物理学的 ン )}

 ^{ン ≒} safe state ^→ failed state

Coupled Diffusion Models

Fouque-Sun -1-

Fouque-Sun Toy Model

 ^{N 個 金融機関 動的 考え}

 ^{: 第 i 銀行 t 時点 対数 ネ}

 ^{以 確率微 方程式} (stochastic differential equation, SDE) ^満

 ^{簡単 、 一定数 ン運動遉 全 独立}

 ^{、金融機関 間 資金 借 想定 、 b 以 う え}

い 仮定

 ^{: 借 や さ ( 借強 ) 表}

 Coupled OU (= Ornstein-Uhlenbeck) process

B_t

時刻_t

B1 B2 B3

interaction (^{資金 借})

X

> X

^⇒ j ^借入

X

< X

^⇒ j ^出

Coupled Diffusion Models

Fouque-Sun -2-

簡易シ ュ ーション

 ^{(Merton 定 )}

 ^{閾値 D 回 時、第 i 銀行 考え}

 ^数値実験

 N = 20, σ = 1, D = -0.7 ^{、 動 時 各行 状況 い}

ョン 行う

 ^{大 い (i.e. 銀行間 借 高い) 程、 銀行 数}

…

Coupled Diffusion Models

Fouque-Sun -3-

銀行シス 安定性 (Stability)

 ^{先程 ョン 示唆}

 ^{借 繁 (i.e. 大) 方 通常期 行数 削減 出来}

 ^{一方、 大 い 皆 う 動い う (多様性=diversity )}

大規模 連鎖倒産 招い う あ

 ^{制御 銀行 安定性 効果 あ ？}

 ^{金融 安定性指標}

 Ensemble average of log-monetary reserves (^{≒ 均 ネ} )

 ^{閾値 場合、大規模 連鎖 起}

捉え 出来

 ^{確率 う 表さ}

Coupled Diffusion Models

Fouque-Sun -4-

Stability of the Bank System

 ^{ン 発現確率}

 ^{N 十 大 p}N ^{0 近付 (大数 法則)}

 ^{但 散化出来 い共通 要因} (common noise) ^{在 場合}

限 い ₍ 回避出来 い₎

 ^pN ^{依 い い}

⇒ ン ン 借強 制御 管理

^{ン 防 出来 い}

( ^{大 → 起 時 う})

 ^{本 非常 簡易的} “toy model” ^{、 結果}

関 本質的 課 指摘 い

← Indep. of !!

Coupled Diffusion Models

Carmona-Fouque-Sun -1-

中央銀行 取引を考慮し 確率微分 ー (Carmona-Fouque-Sun)

 Fouque-Sun toy model (with common noise) ^{い 、各銀行}

中央銀行 借入 預入 概念 入

⇒ 借入 預入戦略 関 複数 ₍ 銀行 ₎

 ^{ン運動間 相関 考慮 (共通 )}

 ^{Nash 均衡 出} (open-loop/closed-loop(feedback form))

 Pontryagin (^確率) ^{最 化原理 →} Isaacs condition

 Coupled Forward Backward Stochastic Differential Equation (FBSDE) ^解

 ^{大規模 均衡 : N →} ∞ ^漸近挙動

 ^{最適化 極限移行 ⇒ -Nash 均衡 (非協力 均衡)}

 ^{極限移行 最適化 ⇒ ン 均衡 (協力 協働 的 均衡)}

 ^{本来異 均衡状態 あ 、本 い 一致}

Coupled Diffusion Models

Carmona-Fouque-Sun -2-

中央銀行 取引を考慮し 確率微分 ー (Carmona-Fouque-Sun)

 ^{第 i 行 ( 対数 ) ネ 遃程 (i} = 1, …, N)

 ^{: 中央銀行 (対数 瞬間的 ) 借入}

 ^{負 場合 預入}

 ^{各行 確率遃程 制御} (control) ^{最適化 図}

 ^目的関数 (cost functional, to minimize)

 ^{詳 意味 省略 、 さい方 (第 i 行 ) 良い 関数}

Running cost Terminal cost

Coupled Diffusion Models

Carmona-Fouque-Sun -3-

シス 動的均衡 → 確率微分 ー

 ^{Nash 均衡 ( 非協力均衡 )}

 ^{借入戦略 組 満 時、}Nash ^{均衡 あ 言う}

 ^{銀行 i 、他 任意 戦略 対 成立}

 Nash ^{均衡 状態 戦略 変更 良 い}

 ^{Nash 均衡 出 手} : Pontryagin ^{確率最大値原理} ( ^概要 )

1. ^{対応 ン}

2. ^{ン 対 一般化} min-max Isaacs ^{条件 満 戦略 組}

3. ^{対応 結合前向 向 確率微 方程式} (coupled FBSDE) ^解 4. ^手 3. ^{解 手} 2. ^{戦略 組 合わ}

Coupled Diffusion Models

Carmona-Fouque-Sun -4-

シス 動的均衡 → 確率微分 ー

 ^{最適戦略 対 結果 ( 厳密} open-loop closed-loop ^やや異 )

 ^{戦略 対数 ネ 遃程 …}

Theorem. Nash ^{均衡 満} :

但 _Riccati 型常微 方程式 解 _.

Coupled Diffusion Models

Carmona-Fouque-Sun -5-

シス 動的均衡 → 確率微分 ー

 ^{Nash 均衡 対数 ネ ( 再掲 )}

 ^At ^{動的 借強 捉え 、 中央銀行 考慮 い場合}

時変 借強 ネ 遃程 出来

 ^At – additional liquidity ^呼

 ^…

 ^{SDE い i = 1, …, N 関 和 N 割 …}

 ^{や や A}t ^{い → ン 発現確率 い い…}

Coupled Diffusion Models

Carmona-Fouque-Sun -6-

協力 型 均衡: Franchised Equilibrium

 ^{以 中央銀行借入戦略 以 制限 :}

^{あ 決定論的関数 用い 書}

 ^{各 ( 銀行 ) 形 戦略 約束}

 ^{協力 近い状況}

 ^{最適化問 = 最 化 関数 見}

 ^{目的関数 銀行 形}

 ^{但 、 各行 許容 等 等 い いう前 あ}

 ^{皆 協働 探}

Coupled Diffusion Models

Carmona-Fouque-Sun -7-

協力 型 均衡: Franchised Equilibrium

 ^{N → ∞ 極限移行 時} McKean-Vlasov(McKV) ^{型確率制御問}

 ^{解 … ( 簡単 ン運動 相関 = 0 )}

Theorem. ^{最適戦略 え} :

但 _Riccati 型常微 方程式 解 _.

Coupled Diffusion Models

Carmona-Fouque-Sun -8-

Nash Equilibrium v.s. Franchised Equilibrium

 ^{各銀行 最適借入戦略 形}

 ^{一方、 Nash 均衡 い} N ^→ _∞ ^{極限 考え} _…

 ^{厳密 言う} Mean Field Game (MFG)

Pre-Optim. McKV Problem

Nash^均衡

N ^→ ∞

N ^→ ∞

Optimize Optimize

非協力 協働

Coupled Diffusion Models

Carmona-Fouque-Sun -9-

Nash Equilibrium v.s. Franchised Equilibrium

 ^{N → ∞ 極限 い 、 Nash 均衡 = 協働 均衡}

 ^{借入戦略 一 、い ン}

回避出来 い い_…

 ^{、MFG 理論 援用 、 金融 均質的 (多様性 無い)}

いう強い条件 必要 い

結合拡散過程を用い 研究 始め か

 ^{均質 均衡解 ？}

 ^{遊い 表現出来 ？}

 ^{大銀行 中 銀行 特性 遊い ？}

 ^{Basel (欧米) → G-Sifi 関 議論 盛}

 ^{中 銀行 → 地域密着型金融 etc. (大銀行 大 異 ネ )}

 ^{必 対 影響 さいわ} …

 ^{目的関数 意味？？}

 ^{当局側 重要 指標 一 い 、}

民間金融機関 意識 意味 ？ ₍但 数学的 必要 技術的 ₎

当初 制御？

(optimal regulation)

Coupled Diffusion Models

Other Studies -1-

Heterogeneous ン ー ン 貸借構造 複数倒産 (Fouque-Ichiba)

 Fouque-Sun ^{ン ン 借 均質 構造 入}

 : i ^{行 →} j ^{行 借強} ((Carmona-)Fouque-Sun ^一 )

 ^ネ Feller diffusion ^化

 ^{ン ン 借 強 全体 破 無関係}

 ^{長期的 安定性 ( 性)}

 ^{時 行数 抑制 (部 ネ ワ 安定性)}

意味 持

 Financial Health Indicator ^案

 ^{第 l}1^{, …, l} k ^{k 行 時 発生 、 さい時} 起 、一方 ^{大 起 い}

 ^{当局 指標 ン 望 い …}

 ^{観測可能 ？？}

Coupled Diffusion Models

Other Studies -2-

二井戸型 ンシ 、Mean Field Limit (Garnier-Papanicolaou-Yang)

 ^安定状態 (two well potential ^{極 値} )

 Normal state

 Failed state ^← financial crisis

 ^ン

 ^初期時点 normal state ^{留 い 系 将来時点} failed state

移行 う 象

 ^{主張 : 散 ン え}

^{誘発 う！}

 Haldane, Beale et al. ^{主張 整合的}

 Regulator’s dilemma = “diversity-diversification trade-off”

 ^{各行 散 (～最適化) v.s. 多様性}

-2 -1 0 1 2

failed state safe state

Flash Crash -1-

2010/5/6 米 ウ平均株価 変動

僅 ₁₀ 程 間

均 _9% 程 落

→ 数 回復

(^{最終的 日 ン 約}-3.2%)

http://www.ritholtz.com/blog/

2010/09/dereg-structure-caused-the-flash-crash/

Flash Crash -2-

2010/5/6 _{フ ッシュ ッシュ 要因}

 ^{( ) = ン ( 投資信 )}

E S P500 ^{指数先物 対 大規模執行}

 Percentage Of Volume (POV) ^いう、VWAP ^{動的版 使用}

 ^{直前 1 間 出来高 連動 (定関 率) 執行}

※ 執行 _{VWAP static} 整理さ

 ^{使わ POV 価格や執行時間 考慮さ い … ( 述)}

 ^{E 落 最終的 個 銘柄 株価 影響}

 ^{伝播 ( ン ョン ) 引 起 : HFT ( 高 引 )}

 Hot Potato Game (by SEC-CFTC report)

 ^重

先物売_/ ⇔ 現物 _/売

 ^{出来高増 相俟 POV 加速}

→ _HFT 発注停 → 場流動性枯

 ^{更 …}

 ^{現物 場 波及、 、}

個人投資家 _…

http://jeanmarzollo.com/birthdayparties/Games/hot_potato.html

Flash Crash -3-

2010/5/6 E S&P500 _{指数先物 場 様相}

POV

E[v

]×α ^{枚先物売 執行}

v_t: t -1 ^～ t ^出来高 E[v₀]: 1 ^{あ 均出来高} α: POV ^{関 率 ( 確 α/(1+α))}

t = 0

う q ×100% MM(HFT) ^購入

E[v

]× _αq ^{枚先物購入}

→ ネ ョン調整

MM(HFT) ^購入

先物 _{(E )} 現物

E[v

]× _αq

^{枚現物購入}

→ ネ ョン調整

E[v

]× _αq

^{枚先物購入}

→ ネ ョン調整

MM(HFT) ^購入

E[v

]× _αq

^{枚現物購入}

→ ネ ョン調整

E[v

]× _αq

^{枚先物購入}

→ ネ ョン調整

MM(HFT) ^購入

E[v

]× _αq

^{枚現物購入}

→ ネ ョン調整

N Times! (per 1 min.)

t = 1

POV

v

×α ^{枚先物売 執行}

(^{以 繰 返} )

アニメーションにて解説 ます

Flash Crash -4-

2010/5/6 米国先物 現物 場 様相

 ^{繰 返さ POV HFT 出来高増大 価格 落}

 ^{場 異常 価格変化 伴い多 HFT 発注停 → 更 流動性}

 ^{大幅 価格 落 …}

⇒ _{CME 5} 間 引停 措置

⇒ 少 流動性及び価格 回復、 先物 混乱 い _…

 ^{現物 場 波及}

 ^{現物 場 い 多 発注停 や個人投資家}

等 場流動性 急速 枯 、大規模 価格 落

 ^{示 気配値 bid 1 ン ask 10 万 、}

異常 値 散見さ _{( )}

 ^{当初 P G 株 誤発注} (fat finger) ^{疑い あ} _…

 ^{特 日本 一時期話}

 ^{要因 : 大規模執行 ( 流動化 ) 伴う ン}

 ^{適 あ …？？}

Flash Crash -5-

2013/4/23 Twitter Flash Crash (Mini Crash/Hack Crash etc.)

https://twitter.com/charlesforelle/status/326746314232692737/photo/1

Flash Crash -6-

2013/4/23 Twitter Flash Crash (Mini Crash/Hack Crash etc.)

 ^{原因 …}

 ^{Twitter 流 情報 (AP ン ン )}

 ^{ぶや 対 数十 間 増加}

⇒ ン _(HFT) 応、発注停

⇒ 場流動性

 ^{大統領 無 確認さ 混乱 束 向 う}

場型シス ッ ス

 ^{金融 場性 要因 関連 生 、金融 ( あ い 経 全体 )}

崩壊 繋 う 大規模 破

 Haldane’s presentation (2009)

 ^{ン ョ SARS 類似性}

 ^{一匹 蝶 羽 引 起 巨大 ン}

 ^{高 化 最適化 共 複雑化さ ネ ワ 伝播}

 Regulator’s dilemma = “diversity-diversification trade-off”

全体 安定性

高 化 複雑化

Uncertainty Quantification

Theory of Optimal Execution

MI and Execution Problem -1-

最適執行問題 ー ッ ン (Market Impact; MI)

 ^{大規模 引執行 関わ 問}

 ^{大量 証券 引 自体 証券価格 影響 え う可能性 あ}

( ^ン (MI)^{、 ン} )

 ^{大量 い注文 → 価格 昇}

 ^{大量 売 注文 → 価格 落}

 ^{例え 大量 保 証券 売 執行 場合…}

 ^{売 価格 落 伴い売 代金 減少 (流動性 )}

 ^{時間 売 証券価格 変動 高 ( ン )}

 ^{最適 執行戦略 ？}

Security price fluctuation

Large Sales Price Down

t

Theory of Optimal Execution

MI and Execution Problem -2-

先行研究

 Bertsimas-Lo(1998)

 Almgren-Chriss(1999)

 ^{久田-山井(2000)}

 He-Mamaysky(2001)

 Huberman-Stanzl(2005)

 Lions-Lasry(2007)

 Ishii(2010)

 K.(2007, 2010, 2011, 2014ab)

 Schied-Schöneborn(2008, 2009)

 Forsyth et al.(2012)

 Ishitani-K.(2009, 2013, 2014)

 …

Gatheral-Schied(2013, iの Haのdbははに はの Systemic Risに

)

 ^{執行 関 動的 MI}

Theory of Optimal Execution

MI Functions -1-

MI function

 ^{証券 引枚数 ψ 証券価格 え 影響 ( 以 g(ψ) 書 )}

 ^{何 MI 呼ぶ 混乱 招 あ …}

 ^{ワン ョ MI or IS ( 前 or ) or …}

 ^{ワン ョ MI 関数 中心 考え}

 ^{以 売 執行 中心 考え ( 購入 様 )}

→ _g(ψ) 価格 落 合い ₍ 以 益率 ₎ 表

 ^{証券 前価格 S}

^{, 価格 S}

^{時 (S}

^{≦ S}

^)…

 ^{幾何 (対数 益率 ) 落率:}

 ^{多期間 数理的 考察 定義 十 見え い}

、 あえ 数学的 詳 踏 込 議論 進

Theory of Optimal Execution

MI Functions -2-

ー ッ ン 種類

 ^恒久的 (permanent) MI

 ^{時間経遃 関わ 残 MI}

 ^一時的 (temporary)/ ^遃渡的 (transient) MI

 ^{執行 消滅、あ い 時間経遃 共 解消 MI}

 ^{前頁 g ( 多期間 考慮 い い )}

恒久的＋一時的 _MI あ い 遃渡的 _MI 無視 い 解釈出来

※久田_-山井₍₂₀₀₀₎ 抜粋

Theory of Optimal Execution

MI Functions -3-

ー ッ ン 関数 形状

 ^{基本的 、執行枚数 増え 程 MI 大 考え}

単調増大 自然

 ^{形状 ？？}

 Northfield (2010) ^{、実務 い 以 形 一般的}

 ^αi ^{: 銘柄 i MI 係数}

 ^{π : 場共通}

 e.g.) Northfield risk model transaction cost (including MI cost)

 ^{線形関数 方根関数 加重 均 表現可能}

 ^{実 観測さ 情報 意識}

S-shaped MI function ^{想定 い い}

⇒ 足元 _concave, 遠方 _convex 形状

Non-Linearity of MI Functions

Empirical Studies

MI 関数 形状 つい ～ 実証的観点か

 ^{MI 関数 線形 い concave あ いう実証研究 多 知 い}

 Almgren-Thum-Hauptmann-Li(2005)

 ^{恒久的 MI 関数 線形、一時的 MI 関数 concave}

 Breen-Hodrick-Korajczyk(2002)

 ^{一時的 MI 関数 線形}

 Lillo-Farmer-Mantegna(2002)

 ^{MI 関数 冪型関数 当 良 、冪指数値 π 0.1～}0.4 (i.e. concave)

 ^{単一 冪型関数 表 必 適当 、}

執行規模 異 _π 用い 望 い い

 c.f. Northfield risk model (^前頁)

 ^{一方、 convexity 主張 い 研究 …}

 Niemeyer-Sandås(1993), Maslov-Mills(2001)

 ^{π > 1 う 冪型関数 支持} (i.e. convex)

 Bouchaud-Mézard-Potters(2002), Zovko-Farmer(2002), K.-Ogihara-Takada(2015)

 ^{(LOB) MI 関数 推定、S-shaped 支持}

Non-Linearity of MI Functions

Theoretical Studies

MI 関数 形状 つい ～ 理論的観点か

 ^{執行 関 理論研究 恒久的 MI 関数 線形性 置い い 場合 多い}

 Almgren-Thum-Hauptmann-Li(2005) ^{実証研究 根 一}

 ^{化 容易}

 ^{恒久的 MI 時間 共 消滅 い → 割執行 い 積}

 ^{線形 場合 積恒久的 MI 積執行量×係数 表現出来}

 (^{ワン ョ} ) ^恒久的 MI = ^執行量×^係数

 ^{非線形 場合 う扱う？？}

 ^{価格操作戦略 可能性}

 ^{割執行戦略 可能性}

Non-Linearity of MI Functions

Price Manipulation -1-

価格操作 (price manipulation)

 ^{数理 ン 一般論 い 重要 ワ : 裁定} (arbitrage)

 ^{裁定 = 儲} (free-lunch)

= ^{損 可能性 無 、 得 確率 あ 機会} (or ^戦略)

 ^{裁定 あ 場 適 あ 、 裁定機会 在 い (無裁定)}

必要十 条件 数理 ン 基本定理 知 い

 ^{(技術的仮定 必要 大 言 ) 無裁定⇔ 中立確率 在}

 ^{執行理論 様 概念 : 価格操作} (price manipulation)

 ^{初期時点 0 状態 、証券売 将来 期待 益}

う 戦略 価格操作戦略 呼ぶ

 ^{MI 証券価格 え 益 稼 戦略}

 ^益

議論 証券価格 変動

ン 性 置 一般的

 ^{適 執行 い 、}

価格操作 可能性 排除さ

MI ^{価格操作 い 出来 ？}

t = 0

E[W_t] φ_t

0 0

t = T

> 0 0

Buying

& Selling

(abuse MI to get the profit) (^{証券保 枚数})

(^{期待執行代金})

Non-Linearity of MI Functions

Price Manipulation -2-

Absence of Price Manipulation

 ^{価格操作戦略 可能性 関 理論研究 結果}

 Huberman-Stanzl(2004), Gatheral(2010) , Forsyth-Kennedy-Tse-Windclif(2012)

⇒ 恒久的 _MI 線形 場合 価格操作 生 い 主張

(^{逆 、非線形 あ 価格操作 出来 う})

 ^一方、Alfonsi-Fruth-Schied(2008) MI convex ^あ

(^{非線形 あ} ) ^{価格操作 出来 い 示 い} (in LOB framework)

 ^{他、非線形 MI 関数 価格操作戦略 排除}: Guéant (2013)

 ^{、 線形性/非線形性 本質的 役割 果 間遊い い}

関連 ー : Reverse execution (transaction-triggered price manipulation)

 ^{回 省略}

Sensitive Problem!

Non-Linearity of MI Functions

Block v.s. Gradual Liquidation -1-

Block Liquidation v.s. Gradual Liquidation: K.

 ^{多 最適執行問 目的関数 期待執行代金 (or 期待執行 )}

 ^中立

 ^{対数効用 冪効用 最適執行問 い}

(Black-Scholes ^型 without MI ^{解析解 無い！})

 Time horizon ^短い ( ^{う い場合 あ} …)

 ^{以 述 う 、 中立 問 ン 方}

理論的 明確 主張 得や い

 ^基本的 Black-Scholes ^型 (i.e. ^{幾何 ン運動} ) ^{い 、}

MI ^{無い場合 中立 最適執行戦略 一括執行}

 ^{証券 調整 0 時 い 戦略 最適}

(^{証券価格 ン あ → 価格操作戦略 話} (with resilience))

 ^線形 MI function ^{い 最適戦略 や 一括執行}

⇒ _MI 考慮 執行 調整 ン ン 働 い

 ^{回避的 、や 一括執行 最適 場合 多 在}

 ^{期待執行 最適化問 割執行 要因 ？}

Non-Linearity of MI Functions

Block v.s. Gradual Liquidation -2-

Block Liquidation v.s. Gradual Liquidation

 ^{期待執行 最適化問 割執行 要因}

 MI function convexity

 ^{一 大量執行 伴う MI 非常 大 、大量執行 行う}

割執行 最適

 ^{例 、}MI function (^対数) ^{関数 時、最適執行 形状}

証券保 枚数 劇的 変化 い

 Resilience/price recovery effect/transient MI

 ^{執行 時間} temporary/transient MI ^消滅 or ^減少

⇒ resilience ^{効果 最適戦略 割執行 伴う}

 ^{例 、証券価格 均回 性 持 幾何 OU 遃程 従う場合、}MI function

線形 あ 最適執行戦略

初期時刻一括執行 ＋ 期中 割執行 ＋ 終端時刻一括執行

い

 ^{う 観点 、 MI 関数} non-linearity ( ^特 convexity)

本質的 性質 言え

Non-Linearity of MI Functions

Theoretical Execution Model -1-

最適執行数理 出 (K.): 概要

 ^{最適執行問 連続時間確率制御問 特徴付 出}

 ^{散時間 厳格 引行動 化}

⇒ 連続時間 極限移行 本質的 構造 見出

 ^{非線形 MI 自然 定式化 何 あ 明}

 ^{最適執行問 値関数} (value function)

subject to

Non-Linearity of MI Functions

Theoretical Execution Model -2-

最適執行数理 出 (K.): 概要

 ^{値関数 性質}

 ^連続性

 ^{大量執行 対 MI 強 い} (i.e., g’(∞) < ∞ ) ^{時 実 値関数} t = 0

右連続 限 い

 ^{微 時間 い 擬 一括執行 益獲得 出来 う}

 ^{MI 強い} (i.e. g’(∞) = ∞) ^{時 常 連続}

 ^{半群性 (Bellman 原理)}

 ^{非線形偏微 方程式} (Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)^方程式)

粘性解 特徴付

 ^{最適執行問 値関数 対 非線形 PDE 既 結果 適用出来 い}

⇒ Stability method ^{用い 特徴付 必要} (under some technical condition)

 ^{大量執行 対 MI 非常 強い} (i.e. g’( ) ^→ ∞ ^{増大 関数以} ) ^あ HJB ^{方程式 粘性解 一意性 保 さ}

 ^{対数 MI 関数 体例}

 ^{初期証券保 量 最適執行戦略 形状 大 変化}

 ^{価格回復効果 (/ 弾力性 ) 入 → 幾何 OU 型価格遃程 最適執行}

The Model

From Discrete-time to Continuous-time

How to formulate an optimal execution problem with MI ?

 To construct the model appropriately, first we consider the discrete-time

model and take the limit to derive the continuous-time model

 Discrete-time model is useful to describe realistic phenomena, but it is hard to get the clean model because of complex noise (which may be eliminated by taking the limit)

 On the other hand, the direct formulation in the continuous-time setting may overlook the essence of the problem

 Our optimization problem in the continuous-time model is characterized as a stochastic control problem

The Model

Mathematical Formulation -1-

Settings

 There is a single trader

 The trader has Φ

shares of the security at the initial time t = 0

 The trader’s transaction : only to sell (not to buy)

 When considering discrete-time models, we set the time interval

 Execution time : (Time horizon : t = 1)

 Later we will take the limit n ^→ ∞ to derive the continuous-time model

 Optimize expected terminal utility

The Model

Mathematical Formulation -2-

Discrete-time model

 MI function

 When a trader tries to sell shares of a security,

then the log-price of the security decreases by

 Thus the security price changes by execution from to

(and a trader gets cash amount of as proceeds)

 is called (one-shot) MI function

 Assumptions for



 Non-decreasing

 Continuously differentiable

The Model

Mathematical Formulation -3-

Discrete-time model

 Admissible execution strategies

 : an amount of sales at the time ← execution strategy

 where

 Controlled processes : a triplet

 : Amount of cash holdings

 : Amount of security holdings

 : Security price

Sell only Upper bound of total amount at the time

execute

The Model

Mathematical Formulation -4-

Fluctuations of controlled processes (triplets) : In discrete-time model

Step 1. The shares of the security decrease

Step 3. The trader gets cash as the proceeds after the price down

Step 2. Once the price decreases by MI

Step 4. (Log-)price changes

as time passes (from to )

Given in the next page Notation W : amount of cash holdings

φ : amount of security holdings S : security price

X : log-price (S = exp(X))

or

The Model

Mathematical Formulation -5-

Discrete-time model

 Fluctuations of amount of cash / security holdings

 Fluctuation of the security prices

eq. (1) eq. (2)

Fluctuation of log price process eq. (3)

sell driven sell by Y

driven by Y

where Y is a solution of the following SDE

are bounded and Lipschitz

※ This setting can be generalized a little such that Y follows OU process

The Model

Mathematical Formulation -6-

Utility functions

 The set of utility functions :

where

 What does a trader want to maximize?

 It may be enough to consider utility functions of the type of

 But the above notation is convenient to consider the Bellman principle

the amount of cash holdings the amount of security holdings the security price

The Model

Mathematical Formulation -7-

(Discrete-time) value function

 A trader’s optimization problem =

 We consider the limit of the (discrete-time) value function as

subject to

The Model

Mathematical Formulation -8-

Assumption for MI function

 (well-defined under [B] in the next slide)

 [A] means the convergence

 ^C1 convergence in some sense

 ^Examples

a. b.

[A]

for some

The Model

Mathematical Formulation -9-

Assumption for MI function

 In fact, g corresponds to a MI function in the continuous-time model

 We mainly treat the case where h is non-decreasing

 g is convex on [0, ^∞) and h is defined on [0, ^∞)

 S-shaped MI functions may not satisfy h(0+) < ^∞

 e.g. If for small trade, we see that

 In such cases, [A] is a little bit strong…

 We assume:

[B] h is continuous and for some 0 < p < 1.

Moreover, either

(i) h is convex on for some

or

(ii) .

The Model

Mathematical Formulation -9-

Examples of MI functions

 Convex: Quadratic for any trade

 Satisfies [B](i)

 Concave: Square-root for any trade

 Satisfies [B](ii)

 S-shaped: Square-root for small trade,

quadratic for large trade

 Satisfies [B](i)

The Model

Mathematical Formulation -10-

The set of admissible strategies

(Continuous-time) value function

subject to

Main Results

Convergence

Convergence of Value functions

 This theorem implies

“the continuous-time model is derived as the limit of discrete-time models”

 Execution strategies

 Discrete-time : Execution volume

 Continuous-time : Execution speed

 Then our optimization problem in the conti.-time model is expressed like

Theorem 1.

The largest integer not greater than nt

Main Results

A Break: Summary for Triplets

Fluctuations of controlled processes (triplets)

Image of fluctuation of the log-price

sell driven sell by Y

driven by Y

where Y is a solution of the following SDE

Discrete-time model Continuous-time model

The amount of cash holdings W The amount of security holdings φ

Security price S (and log-price X)

… (a1)

… (a2)

… (a3)

… (b1)

… (b2)

… (b3) Discrete-time:

Conti.-time:

Main Results

A Break: Value Functions

Definitions of value functions (Recall)

 Discrete-time model

※A trader’s optimization problem =

 Continuous-time model

s.t.

s.t.

Main Results

Continuity -1-

Continuity of

Theorem 2.

 is continuous in w, φ and s, and in t > 0

 The continuity at t = 0

 is also continuous when (e.g. )

 is not always continuous when (e.g. )

 In this case, the value function has the right limit

where

(on any compact sets)

Main Results

Continuity -2-

Execution strategies for Ju (with optimizing _ψ)

 The above means

“to sell shares of a security by dividing infinitely in infinitely short time”

← we call such a way of execution “almost block liquidation”

ζ r ^{for Ju}

0 50 100 150 200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

r ζr

φ r ^{for Ju}

0 2 4 6 8 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

r φr

Execution speed ^{→ ∞}

Execution time ^→ 0

Main Results

Semi-Group Property

Semi-group property (= the Bellman principle)

 We define the operator

 By Theorem 1,2 etc., we see that this operator is well-defined

 ^Using Nisio’s method, we obtain the following semi-group property

 ^{That is}

Theorem 3.

for

Main Results

HJB -1-

The corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman equation (HJB)

 U = an interior of D( = the set of triplets (w, φ, s) )



 and corresponds to the fluctuation of a security price Difficulty:

 Our control region [0, ∞) is not compact (and not linear growth in and s)

 Supremum may take the value _∞

Standard results of viscosity solutions cannot be applied straightforwardly

Nagai(1999)

Fleming-Soner(2005) Da Lio-Ley(2006) etc.

Main Results

HJB -2-

We can rewrite the HJB as

 and denote the differential operators with respect to

 The operator is given by

 The function F may take the value , but we can define the viscosity sub/supersolution as usual

 We should argue deliberately about the fragility of

the space of symmetric matrices

Main Results

HJB -3-

Characterization as a viscosity solution of HJB

 The standard argument characterizes the strategy-restricted value function

as the viscosity solution of

the corresponding HJB for each L > 0

 ^{Letting L → ∞} and applying the stability result (Lemma 5.7.1 of Nagai (1999))

Theorem 4. Assume that is strictly increasing and .

Moreover assume

Then is the viscosity solution of

To prevent

Sketch of the proof:

※ In fact, it suffices to argue

the stability on {(z, p, X) ; F(z, p, X) > -∞}

From here, we only consider Convex MI functions… (S-shaped: not yet)

Main Results

HJB -4-

Sufficient conditions for the previous theorem

 It is hard to strictly confirm the condition

 Easy to see that

 Next proposition tells us that there is a natural sufficient condition

Proposition 1. Assume that

(i) There is a concave function s.t.

(ii) Coefficients b and σ are differentiable and

there derivatives are Lipschitz and unif. bdd.

Then it holds that .

Main Results

HJB -5-

Uniqueness of viscosity solutions of HJB

Theorem 5.

 and are Lipschitz continuous

 It holds that

Assume that :

A continuous & polynomial growth function satisfies

 ^HJB

 Boundary condition

Block Liquidation v.s. Gradual Liquidation

Benchmark Model -1-

Now we study the effect of MI for optimal execution strategies by

comparing with the benchmark model

 Main interest: When MI causes gradual liquidation?

We consider an optimization problem

for a risk-neutral trader

Benchmark model of an ideal market

 Security price ~ the Black-Scholes model

 We focus on the case where the price process has negative (risk-adjusted) drift

 The expected price:

 There is no MI i.e.

Security price at t = 0 Shares of the security at t = 0

Block Liquidation v.s. Gradual Liquidation

Benchmark Model -2-

Optimal strategy = Block liquidation

 To sell all the shares at once

(initial block liquidation)

 We can construct a nearly optimal strategy → “almost block liquidation”

 See the execution strategy for Ju in Theorem 2

 is regarded as “ideal proceeds” Cash holdings

given by the strategy

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Execution speed → ^∞

Execution time _{→ 0}

Block Liquidation v.s. Gradual Liquidation

Case 0 : Linear MI with BS-Model

First we consider the linear MI function in the Black-Scholes model

Then we have the following

 In this case the optimal execution strategy is almost block liquidation

 It’s same as in our benchmark model

Not gradual liquidation!

 Remark: If for concave function U(w), then we see that

(c.f. Lions-Lasry(2005))

Theorem 6.

We also need the assumption

By the strategy

Block Liquidation v.s. Gradual Liquidation

Case 1 : Convex MI -1-

Next we consider the quadratic MI function (strictly convex case)

Theorem 7.

(i) If , then

(ii) If , then

is optimal

and

is optimal and

In this case the uniqueness of

the viscosity solution of HJB is guaranteed

※ If necessary, we expand the space of admissible strategies