証券アナリストのためのファイナンス理論入門証明編

(1)

証 _証証券 _券 _券ナ _ナ _ナス _ス _スの _の _のた _た _ため _め _めの _の _のフ _フ _フイ _イ _イナ _ナ _ナン _ン _ンス _ス _ス理 _理 _理論 _論 _論入 _入 _入門 _門 _門

証明証明編編

2015 1

佐郎

1. 完全正相関と完全不相関の場合の相関係数の値の確認 ... 1

2. 相関係数 ±1 の範囲内る点の確認 ... 1

3. 標本平均の期待値母集団の期待値一致する点の証明 ... 2

4. 標本分散の期待値母集団分散一致する点の証明 ... 2

5. 数式る投資機会集合の形状の確認 ... 3

6. 平均分散プロチの目的関数期待効用最大化の近似る点の確認 ... 9

［補足］イ展開 ... 11

7. （APM の関係式の証明 ... 13

8. マケッモのβの計算式の確認 ... 17

(2)

1

1. 完全正相関と完全不相関の場合の相関係数の値の確認

bX

a

Y _ _

^いう関係 ^相関係数 ^定義式 ^代入

 

     

 

   

 

     

 

 

   ^ ^ ^ ^ 

 

     

 

 

   ^ ^{ } ^ 

 

 

 

   ^ ^{ } ^ 

 

 

 

  ^ ^ ^ ^ ^{ } ^{ } ^ ^ ^ ^ ¹

1

2 2 2 2

2 2 2

2

2 2



 

 

 

 ^

 







 



 















 



 



X

E

X

E

X

E

X

E

b

X

E

X

E

X

E

X

E

b

X

E

X

E

b

X

E

X

E

X

E

X

bE

X

bE

bX

E

X

E

X

E

X

bE

bX

X

E

X

E

bX

a

E

bX

a

E

X

E

X

E

bX

a

E

bX

a

X

E

X

E

Y

Var

X

Var

Y

E

Y

X

E

X

E

Y X

XY XY

 ^ 



2. ^相関係数 ^± 1 ^の範囲内 ^{る点の確認}

数式展開確認面倒統計学入門₍基礎統計学₎ 東京大学教養学部統計学教室 ₁₉₉₁ 簡単確認方法説明あ同書

当箇参照い展開次う

X Y ^いう2 ^確率変数 ^次式

tX _ Y

^表現さ ^確率変数 ^分散 ^考え分散 _Var

_

_tX __Y

_

__Var

_{ }

_X _t _₂_Cov

_

_X_,_Y

_

_t__Var

_{ }

_Y

2 ₂

乗期待値以値 _t ₂次関数い

式式 ₀以必要あ _.

 

 ² ^Cov ^X ^, ^Y 

²

^ ⁴ ^Var     ^X ^Var ^Y ^ ⁰

式両辺

_Var _{   } _X _Var _Y

割左辺残 ₄ 右辺移整理相関係数 ₂乗 ₁以言い換え相関係数 ₁ ₁

範囲確認

(3)

2

3. ^{標本平均の期待値} ^{母集団の期待値} ^{一致する点の証明}

前的標本均次式う前的無作標本次式表さう₁ 確率変数以 Σ記号使い足算式省略い

思さい

 ^ ^ ^ ^ ^  ^ _



n ⁿ_i

^X

i

X n

X

n X

X ¹

₁ ₂

¹

₁

標本均期待値式表さ確率変数期待値以通

   

     



   



 





 

     





 





 

     











 

 

 











n n

n

X

E

X

E

X

n E

X

n E

n X

E

X

E

n

Y E X E Y X E

n

n n

i ⁱ

1

2 1

2 1 1



 



 





 



 



4. ^{不偏標本分散の期待値} ^{母集団分散} ^{一致する点の証明}

標本分散前姿次通確率変数_X

_X

₂次式表さう₁ 確率変数い

 

²

1 2

1 1 _



^

 

ⁿ_i

^X

i

^X

S n

計算過程前的 ₁ ₁ 標本分散



2 ^あ ^方 ^前的

標本均分散 _/_n



2 ^あ ^利用 ^標本 ^均

^X

^標本 ^共

通 ₁ 値標本分散計算 ∑ 添え字変わ変化

Σ 計算い

_X

定数 ∑ 計算規則適用

_X

確率変数あいい Σ 計算定数扱い

面期待値記号外出微妙いういう

分いいい今後学習進際意外大差生

(4)

3

     

   

 

       

 

  











 



 





 



   

 

 

  _

 

 

  _

 

n

i ⁱ ⁱ

n

i ⁱ

n

i ⁱ

n

i ⁱ

X

n E

X

n E

X

n E

X

n X

E

S

E

1

2 2 1

2

2 1

2

1 2

1

1 



^ ^ ^ ^ ^ ^

 



引い足い

 

  ^ ^ ^ ^

 

 

     

 

  ^ ^

 

^ ^ ^ ^ ^









  

 







 

















  

 















 



 













  

 



 



n i X

n n X n X

n

i ⁱ

n n

i

n

i ⁱ

n

i ⁱ

X n E

X X

n E

X X

X n E

X X

n E X

n E

n i n

i i

1

2 1

2 2

2 2 1

1

2

1 1

2

1 1 1

2 1

1 1

1 2 1 1

1

1 1



 ^^













外出

 

   ^ ^   ^ ^ 

 

   ^ ^ 

 

 

 

² ²

2 2

/ 2 2

2 2

1 1

2 1 2

1 2

1

1 1 1 1

1

1 1 1

1

1 2 1

1 1 1 1

2

2 2

2



 















 



 

 _

 



 



 





 





 













      

 



n n n n

n n

X E n n

n n

X E n n

X E X

E X

n E

n









 



 





 



 





















標本均分散

整理

個

無作標本分散

5. ^数式る投資機会集合の形状の確認

 1

 

2 ^資産 ^作 ^フ ^将来 ^タ ^ン ^期待値

_

^分散

_

² ^書

空売い仮定う_.

(5)

4

 

    

² ²

1 2

2

₂ ₁ ₁ ₁

1

B B

A RB

RA A

P

B A

P

R R

R

R R

R

w







^ ^ ^















相関係数 ₁

_ _

B A B

A B

A^R ^R ^R ^R ^R

R B A

^R

R

Cov _, _ _ _ _ _ ₁ _ _ _

フタン分散次うう ₂乗形

  ^ ^  ^ ^ 

 



²



²

2 2 2

1

1 1

2

2 2 2

B A

B B

A A

P

R R

b a b ab a

R R

R

w w





























 



 



形

分散方根あ標準偏差

_{ }

B A

P ^R ^R

R

^w  ^w 

   ¹ 

^念

式右辺ッコ中項プ値標準偏差プ

投資比率 ₀ ₁ 間

₁ _ _w

プ方根ッコ内式

符号気必要あ

_w

い解次通

 

B A

B P

B B

A P

R R

w



 ^





 







う得

_w

期待タン式代入整理

         







定数変数

定数

B A

B A A B P B A

B A

B B A

A P A B A

B P

B B A

B P A

B A

B P P

R R

R R R R R R R

R R

R R R

R R R R R

R R

R R R

R R

R R R









 





 



 



 



 



 



 



 



 



 

 



 

 





 

 

 

1

2 ^資産 ^タ ^ン ^期待値 ^標準偏差 ^い ^定数 ^後

式

RP

 ^以外 ^値 ^定数 ^方 ^フ ^タ ^ン ^標

準偏差

RP

 ² ^資産 ^投資比率 ^変化 ^応 ^色々 ^値 ^変数

期待タン

RP

 ^変数^RP ^次式 ^表さ ^関係 ^い ^言い

(6)

5 換え投資機会集直線

 1

 

 

A B B

A B

A^R ^R ^R ^R ^R

R

   

  1  

^あ ^注意 ^さい

     

  ^ ^  ^ ^ 

 

B A

P

B A

B B

A A

B B

A A

P

R R

R

R R

R

w



































1

2

1

2

2 2

2 2 2

2 2

フタン分散 ₂乗形いタン標準偏

差

_w

₁次式相関係数 ₁ 引算入い

分散計算ッコ内結果場起場

含標準偏差式絶対値記号｜｜使書いあッコ内 _

_

₁_

_

_

_

_

_

_ _₀

B B

A B

A ^R ^R ^R ^R

R ^w ^w

w_ _ _ _ _

範囲

1)

_ _{ } ₁ _ _ ₀

B

A ^R

R

^w

w _ _ _ _

B A

B ^R ^R

w _ _

R

_/ _ _ _

^範囲 ^資産 A ^投資比率 ^高

い場次通

 

B A

B P

B A

P

R R

R

w



 ^





 



 ¹

w

^期待 ^タ ^ン ^式 ^代入 ^次 ^う ^半直線 ^式 ^得

 

B A

A B B A P B A

B A

B B A

A P A

B A

B P

B B A

B P A

B A

B P B A

P

R R

R R R R R R R

R R

R R R

R R

R R R

R R

R R R R

R

^w ^w







 





 



 



 



 



 





 



 



 



 

 



 

 





 

 

 







1

フ期待タン

RP

 ^タ ^ン ^標準偏差^RP ^次関数

い

RP

 ^係数 ^資産^A ^期待 ^タ ^ン ^資産 ^B ^低い

(7)

6

場いい

2)

_ _{ } ₁ _ _ ₀

B

A ^R

R

^w

w _ _ _ _

B A

B ^R ^R

w _ _

R

_/ _ _ _

^範囲 ^資産 A ^投資比率 ^低

い場標準偏差絶対値記号中値標準偏差

式前前同う変形

 

   

B A

B P

B B

A B

A P

R R

w



 ^ ^





 









 1

w

^期待 ^タ ^ン ^式 ^代入 ^前 ^同 ^う ^半直線

式得

 

B A

A B B A P B A

A B

B B A

A P A B A

B P

B B A

B P A

B A

B P B

A P

R R

R R R R R R R

R R

R R R

R R R R R

R R

R R R

R R

R R R

R

R ^w ^w







 





 



 



 



 



 





 



 



 









 









 



 







1 1

A

B ^R

R



 

^場 ^い



^RP ^係数 ^プ ^値

1 1 _ _

 

^RA^RB

 

   

² ²

2 2

2

₂ ₁ ₁

1

B B

A A

P

B A

P

R R

R

R R

R

w























資産_A _B タン期待値分散標準偏差タン相関係数定数

変数

_w

フタン期待値資産 _A 投

資比率

_w

₁次関数分散

_w

₂次関数分散表わ

_w

₂次関数方完成う方完成 ₂次関数 ₂乗形作出操作

(8)

7

   



² ²



² ² ² ² ²

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2

2

1

2

1

2

B

RB RA RB

B B A A

B A B B

B A A

B B

A B B

B A A

B B

A A

B B

A A

P

R R

R R R

R R R R

R R R

R R

R R R

R R

R

w

 



 ^ ^







 









 











 













































 



 

 



 



 



算

同分母分子掛

出

 

2

2 2 2

2 2 2 2

2

2 ] [

2 2

2

2 2 2

2

B

B B A A

B A B

B B A A

B A B

B B A A

B A B

B B A A

R

R R R R

R R R

R R R R

R R R

R R R R

w



 ^ ^



 ^ ^



 ^ ^







 









 







 

 





 

 





 

 





 



  _ ^ _ 











 



 





 



 



同足引

乗形

内

次項含

 

   

2 2

2 2 2 4

2 2 2

2 2

2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 2

2

B B A A

B

B B A A

B A B A B B

B B A A

B A B B

B A A

B B

B A A

B A B B

B A A

B B A A

B A B

B B A A

R R R R

R

R R R R

R R R R R R

R R R R

R R R

R R

R R R

R R R R

R R R

R R R R

R R R

R R R R

w



 ^ ^ ^



 ^ ^ ^



 ^ ^



 



 ^ ^



 



 ^ ^









 







 

 



 

 







 







 

 

 

 







 



 

 

 

 







 











²



² ²

₂

² ² ²²

₂

²

^{ }

²²

B B A A

B A B A

B B A A

B A B B

B A A

R R R R

R R

R

^w



 



  

 

 



 











 







方期待タン式次う変形投資比率

_w

フ期待タン

RP



¹^次式 ^表

(9)

8

  _ _

B A

B P

B B

A B A

P

R R

R R R

R

w





 











 ¹

方完成後分散式代入整理今度変数

フタン期待値

RP



^分散



R²P ^他 ^定数 ^あ

注意

  ^{ }

     ^ ^

 

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2 2 2

2 2

2

2 2

2 2 2 2

2 2

2

2 2 1

2 2 2

B B A A

B A B A

B B A A

B A B B A B

P B A B B A A

B B A A

B A B A

B B A A

B A B

B A

B P B B A A

B B A A

B A B A

B B A A

B A B B

B A A

P

R R R R

R R R R R R

R R R R R R R

R R R R

R R R

R R

R R R R R R

R R R R

R R R

R

^w





 

 





 



 







 



 





 



 





 









 











 

 



 

 







 



 









 

 





 









 







 

    

 

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2

2

2 1 2

2

B B A A

B A B A

B B A A

B A B B A B

B A A

B P B A

B B A A

R R R R

R R R R R R

R R R

R R R R



 ^ ^ ^



 ^ ^ ^ ^ ^



 









 



 





 



 



 

 









 

 







  ^ ^ ^ ^

 

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2

2

2 2 1

B B A A

B A B A

B B A A

B A A B B A B A P B A B B A A

R R R R

R R R R R R R R R R R R R R R



 ^ ^ ^ ^



 



 







 



 





 



 



 













 

 





や終わ見や計算結果う

証券アナリストのためのファイナンス理論入門証明編

証 証 証 券 券 券 ナ ナ ナ ス ス ス の の の た た た め め め の の の フ フ フ イ イ イ ナ ナ ナ ン ン ン ス ス ス 理 理 理 論 論 論 入 入 入 門 門 門

証明 証 明編 編

1. 完全正相関と完全不相関の場合の相関係数の値の確認

bX

a

Y  

 

     

 

   

 

     

 

 

 

       

 

     

 

 

 

       

 

 

 

 

 

       

 

 

 

 

 

              1

1



 

 

 

 

 









 







 















 



 



X

E

X

E

X

E

X

E

b

b

X

E

X

E

X

E

X

E

証 _証証券 _券 _券ナ _ナ _ナス _ス _スの _の _のた _た _ため _め _めの _の _のフ _フ _フイ _イ _イナ _ナ _ナン _ン _ンス _ス _ス理 _理 _理論 _論 _論入 _入 _入門 _門 _門

証明証明編編

Y _ _

   ^ ^ ^ ^ 

   ^ ^{ } ^ 

   ^ ^{ } ^ 

  ^ ^ ^ ^ ^{ } ^{ } ^ ^ ^ ^ ¹

 ^

 ^ 

2. ^相関係数 ^± 1 ^の範囲内 ^{る点の確認}

tX _ Y

_

_

_{ }