JGS Chubu seminar 20081017

1

地盤工学会中部支部

地盤力学・ 工学講習会（ 理論編⑤）

地盤の動的挙動

地盤の動的挙動

−振動と 波動の基礎を理解する

−振動と 波動の基礎を理解する ― _―

１ ０ 月１ ７ 日（ 金）

名古屋工業大学 前田健一

（ http://www.cm.nitech.ac.jp/maeda-lab/）

講義内容

1. 1. ^{振動論 振動論 基礎 基礎 の復習 の復習 （ 固有周期， 減衰定数， 複素}

数も 怖く ない）

2. 2. ^{波動伝播 波動伝播 式を図で理解 式を図で理解 （ 意外と 分かり 易い差分}

法）

3. 3. 地盤材料の動的性質の整理 地盤材料の動的性質の整理 （ 材料による違

い）

4. 4. ^{地盤は 地盤は ゆれ方と ゆれ方と 被害 被害 の の 解釈 解釈 （ 事例と そのメ カ}

ニズム）

5. 5. ^{現地調査結果 現地調査結果 の考察 の考察 （ パラ メ ータ の設定， 地盤}

の動的特性計測結果の紹介）

3

推薦図書

‡ ^{「 地震と 建築」大崎順彦 岩波新書}

‡ ^{「 活断層」 松田時彦 岩波新書}

‡ ^{「 土質・} 基礎工学のための地震・ 耐震入門」地盤工学会

‡ ^{− 以下、 授業の各講義に対応し た推薦図書です}

‡ ^{「 新・ 地震動のスペク ト ル解析入門」 大崎順彦 , 鹿島出版会}

‡ ^{「 建築振動理論」 大崎順彦 , 彰国社}

‡ ^{「 新体系土木工学} 11構造物の耐震解析」土岐憲三, 技報堂

‡ ^「 土質動力学の基礎」石原研而 _{, 鹿島出版会}

‡ ^「 砂地盤の液状化」吉見吉昭 _{, 技報堂出版}

‡ ^{「 動的解析と 耐震設計} 動的解析の方法」土木学会 _{, 技報堂出版}

‡ ^{「 液状化はこ わく ない メ カ ニズムと 対策} Q&A」渡辺具能 山海堂

‡ ^{「 液状化対策の調査・ 設計から 施工まで」地盤工学会}

‡ 地盤工学会： 地盤の動的解析 −基礎理論から 応用まで− _{, 丸善}

‡ 地盤工学会： 入門シリ ーズ 地盤・ 耐震工学入門

１ ． 振動論 _振動論 基礎 _基礎 の復習 _の復習

（ 固有周期， 減衰定数，

複素数も 怖く ない）

5

波の成分： フ ーリ エ級数 _{/スペクトル}

( )

N

m

A N

N

B lm

N

A lm

A

x

N

l

l l

m

2

cos 2

2 2

2 sin

cos

2

1 2

1 0

π

π

π ₊

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ ₊

+

= _∑

=

いろんな周期の波を

抽出する

a

a

a

a

f

Hz

f

Hz

f

Hz

Frequency，（Hz）

f

Hz

AmplitudeSpectrum

スペク ト ルの例

0 2 4 6 8 10

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

1. 0*sin(T =5)+1. 0*sin(T =1)+1. 0*sin(T =0. 5)+1.0*sin(T =0.01) No Phase Difference

T ime, (sec.)

Fourier Transform

Fourier Transform

周波数（周期）領域 時間領域

Spectrum

0.01 0.1 1 10

0.01 0.1 1 10

Amplitude

Period, (sec. )

0.01 0.1 1 10

0.01 0.1 1 10

Amplitude

Period, (sec. )

0.01 0.1 1 10

0.01 0.1 1 10

Amplitude

Period, (sec. )

0 2 4 6 8 10

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

1.0*sin(T =1)+1.0*sin(T =0.5)+1. 0*sin(T =0.01) No Phase Difference

Time, (sec.)

0 2 4 6 8 10

- 1. 5 - 1. 0 - 0. 5 0. 0 0. 5 1. 0 1. 5

1.0*sin(Period, T =1), No Phase Difference

Time, (sec.)

パルス的波は？

0 0.5 1 1.5 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

time (s)

0 5 10 15 20

0 0.1 0.2 0.3

Frequency (Hz)

Fourier Amplitude

サイ ン波の重ね合わせ

7

地震動のスペク ト ル例

Fourier amplitude = T/2 × amplitude

[cm/s]=[s] _×[cm/s

]

0.1 1 10

1 10 100

Kushiroki Harukaoki PI-83NS

Fourier Amp, (cm/sec)

Period, (sec.)

分解能： _{f=1/(2 ∆ t)}

∆ t=0.01s → 分解できる波の

最高周波数 _50Hz

8

１ 質点モデル

x

y

c _k

m

m _x

y

k

c

spring-dashpot-mass system spring mass

dashpot

structure system

釣り 合い式：

( ) ( )

( ^{x t + y t} ) ( ) ( ) ^{+ c x t + kx t = 0}

m & & & & &

（ 慣性力： 絶対加速度） _+（ 減衰制振力： 相対速度） _+（ 復元力： 相対変位） ＝ ₀

Voigt model

9

= 0

+

+ ^{c x kx}

x

m ^{& & &}

よっ て以下の式が導ける

0

2 _{0 +}

² ₌

+ ^{h x x}

x ^& _ω ^& _ω

&

2

/ m _{= ω}

k c / m ₌ 2 h _ω

Ae

x ₌

h ^{： 減衰定数}

解を ^{と おく}

t t

Ae

x

Ae

x

λ λ

λ

λ

=

=

&

&

&

0

2 _{0 0} ²

2 _{+ ω λ + ω =}

λ ^h

代入する

mk

h c

= 2

自由振動

10

(

)

0 2

1

_{ω ω ω}

λ ^λ _⎭ ^{⎬ ⎫ = − h ± h −}

0

2

1 _ω

ω ± −

−

= ^{h h}

ゆえに一般解は

t

t

Be

Ae

y ₌ ^λ

₊ ^λ

^{と 表せる}

解の性質は _h の値によっ て異なる

過減衰振動

① _{h > 1}

の場合

② _{h = 1}

の場合

臨界減衰

③ _{0 < h < 1}

の場合

減衰自由振動

- 2.5 - 2 - 1.5 - 1 - 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 2 4 6 8 10

過減衰 減衰振動 臨界減衰

λ ^， λ ^は複素数

mk

h c

= 2

11

(

)

t

h

A e B e

e

x ₌

_′

_{+ ′}

0<h<1

振動する成分

振幅の減衰効果

h=0

i

h

h

₋ 1 ₌ 1 ₋

i

_{= −} 1

0 2

0 2

1

^, λ ω ¹ ω

λ = − ^h ± − ^{h i}

( ^{A e}

^{B e}

)

x ₌ 1 _′

_{+ ′}

12

)

1

sin

1

1

cos

(

0 2

0 0 0

1 0 2 0

1

1

0

_{h t}

h

x

h

t v

h

x

e

x

_ω

ω

ω ω

ω

₋

−

⋅

+ +

−

=

t

t ₌

)

1

sin

1

1

cos

(

0 2

0 0 0

2 0 2 0

2

2

0

_{h t}

h

x

h

t v

h

x

e

x

_ω

ω

ω ω

ω

₋

−

⋅

+ +

−

=

t

t ₌

=

1

'

2

^{t T}

t _{− =}

T

周期 _T

0 1 2 3 4 5

-2 -1 0 1 2

t(s)

x(t)

x

1

'

x

x

x

x

2

'

x ^x

^'

4

'

x

'

T

t

t

13 0

= 1

x v

₌ 5 _{ω =} 5

0 1 2 3 4 5

-2 -1 0 1 2

t(s)

x(t)

h=0 h=0.005 h=0.01 h=0.05 h=0.1

減衰振動周期

'

2

1

1

1

1

' 2

0 2

0 2

_ω

ω ^π ₋ ⁼ ₋ ⁼ π

= h

T

h

T

<< 1

h

0

0

^{2 /}

' _{≈ T = π ω}

T

建物の微振動による減衰定数 _h

鉄骨造： _0.5 ∼ ₃ ％程度

Ｒ Ｃ 造： ₂ ∼ ₇ ％程度

0 0

2

ω ^π

=

T

2

/ m _{= ω}

k

14 0

= 1

x v

₌ 5 _{ω =} 5 h ₌ 0 . 1

0 1 2 3 4 5

-2 -1 0 1 2

t(s)

x(t)

x

1

'

x

x

x

x

2

'

x ^x

^'

4

'

x

粘性振動

隣り 合う ₁ 周期ごと の振幅の比率

全て同じ になる

振幅比 _{d = = = ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅}

4 3 3

2 2

1

x

x

x

x

x

d x

⋅⋅

⋅⋅

+ ⋅⋅

= +

+ +

+ =

= +

'

'

'

'

'

'

1 1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

（ 片振幅）

（ 全振幅）

'

T

t

t

減衰： _hとd

15

全振幅の場合

) 2 / ' ( 2

) 2 / ' ( '

'

2 2

1 1

2 1 1

2 2

1 1

'

'

t T h t

h

t T h t

h t

h t

h

t h t

h

e

e

e

e

e

e

e

e

x

x

x

d x

+

−

−

−

−

−

−

+ +

+ =

= +

+ +

=

2

/

'

'

2

/

'

'

2 2

1 1

T

t

t

T

t

t

=

−

=

−

2 1

2 1

)

1

(

)

1

(

2 '

2 '

t h

t h T

h t

h

T h t

h

e

e

e

e

e

e

ω ω ω ω

ω ω

−

−

−

−

− −

− =

= − ^{片振幅も 同じ 結果！}

- 1 .5 - 1 - 0 .5 0 0 .5 1 1 .5

0 1 2 3 4 5 6

t( s )

y(t)

y 1

y 1 '

y 2

y 3

y 4 y 5

y 2 '

y 3 '

y 4

t '

1 ^t2

x

x₁

x₁

x_{2 x}

3

x_{2 x}

3

x₄

x₄ x₅ t₁

t₁’ t₂

t₂’

16

自由振動のまと め（ １ ）

mk

c

₌ 2

m

= k

2

ω

c

h ₌ c

減衰定数：

基本固有周期：

k

T _π m

ω ^{π 2}

2

0

0

_{= =}

( ) ( ) ( ) ^{t + c x t + x t k = 0}

x

m ^{& & &} _{( ) + ( ) +} x _{( )} t ₌ 0

m

t k

m x

t c

x ^{& &}

&

0

1

' 2

ω

π

h

T ⁼ − ^{h << 1 と すると}

' 2

ω ^π

=

≈ T

T

17

「土質・基礎工学のための地震・耐震入門」土質工学会

減衰なし

自由減衰 _(h<1)

過減衰（ _h>1）

臨界減衰（ _h=1）

2

2

1

1

1

2

2

h

T

h

T

O

₋

− =

=

= ω ^π ω ^π

自由振動のまと め（ _2）

( ) ^{( )}

1 2

/ 2 '

)} (

) {(

2

1 ^{h t h t T h T h h}

T t h

t h

e

e

e e

e

x

d x

−

= = =

=

=

1

/

2

ln d _{= π} h ₋ h

2

2

1 ln

2

ln ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

+ ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

π

π

d

h d

ω ^π

ω

π ²

1

' 2

2

^{≈ =}

= − ^T

h

T _{h << 1} ^{と すると}

対数減衰力

自由振動のまと め（ _3）

19

外力がある場合

k

c

m

( ) ^{t F pt}

f ₌ cos

( ) ⁰

)

(

)

(

)

( ₋ m ^& x ^& _{+ −} c x ^& _{+ −} kx ₊ f t ₌

慣性力 減衰力 復元力 外力

( ) ^t

f

kx

x

c

x

m ^{& &} _{+ & + =}

x の値

0

)

(

)

(

)

( ₋ m ^& x ^& _{+ −} c x ^& _{+ −} kx ₌ ^{の一般解と 特殊解を足し 合わせたも の}

p ^{： 外力の周波数}

( ^{F m} ) ^pt

x

x

h

x ^& ₊ 2 _ω

^& _{+ ω}

₌ / cos

&

( ^{− θ} )

= ^{A pt}

x cos

特殊解

θ

A ^{： 振幅}

： 位相のずれ

強制振動

20

( ^ω

^{− p}

) ^{A cos ( pt − θ ) − 2 h ω}

^{pA sin ( pt − θ )}

(

)

⁽

⁾

0

^{/ 2}

2

sin _{α =} h _ω p _{ω −} p ₊ h _ω p

(

) ( ^/

)

^{( 2}

⁾

cos _{α = ω −} p _{ω −} p ₊ h _ω p

(

)

0

1

2 /

tan h p ₋ p

=

ω ω

α

( ^{ω −} ) ^{+ ( ω ) ( − θ + α )}

=

^p

^{2 h}

^p

^{A cos pt}

( ^{F / m} ) ^{cos pt}

= ^{= 0}

( ^p ) ^{( h p ) m F}

A _⋅

+

= −

2 0

2 2 2

0

²

1

ω

ω

(

)

0

1

2 /

tan h p ₋ p

=

= α

ω ω

θ

21

when _x

_{= 1 v}

_{= 5 ω}

₌ 5 _{h = 0 . 1 F = 2 m = 0 . 5}

= p

ω

= 1

ω

p

： 共振

m

F

p

A ₌ h _⋅

2

1

ω ^{θ = π 2}

0 1 2 3 4 5

-2 -1 0 1 2

f(t)=0 p=3 p=5 p=10

t(s)

x(t)

)

1

sin

1

1

cos

(

0 2

0 0

0 0

2 0

0

_{h t}

h

x

h

t v

h

x

e

x

_ω

ω

ω ω

ω

₋

−

⋅

+ +

−

=

(

^{− p}

)

^{1 + ( 2 h}

^{p )}

^{⋅ m F ⋅ cos ( pt − tan}

^{2 h}

^{p / (}

^{− p}

^{) )}

+

ω ω

ω

ω

共振と 減衰

23

いろんな固有周期

9 ^{ぶら んこ}

9 ^{つり がね}

9 ^忍法

「 く ないの術」 （ 司馬遼太郎， 池波正太郎 _…）

9 ^{構造物の固有周期} T： 1/(10∼12) _×[ ^{建物の階数} ]

9 ^{お皿と コ ッ プの水はどっ ちがこ ぼれやすい？}

周期は容器の直径の平方根√ _Dに比例

→ スロッ シング

多質点系の振動

一次（基本） 二次 三次

２ 階建ては２ 個のモード 、 ３ 階建ては３ 個のモード ． ． ． ． ． 連続体では無限のモード ？

25

∫ ^{+ =} ∫

+

^{c y dt ky}

^{F pt y dt}

y

m

2 2

2

cos

2

1

2

1 & & &

const

L

D

E _{+ − =}

E:振動エネルギー

D： ^{減衰力のなす仕事}

L： ^{外力のなす仕事}

∫ ⁼ ∫

=

∆ ^D

^{c y &}

^dt

^{c y &}

^dt

1 ^{サイ ク} ル間に減衰力のなす仕事

ばね： ｋ

質量： ｍ

ダッ シュ ポッ ト ： ｃ

y

pt

F

t

f ( ) ₌ cos

:

p 外力の周波数 _p

T ₌ ^{2 π}

)

cos( _{− θ}

= ^{a pt}

y

定常振動の解

＜ ₁ サイ ク ル間に減衰力のなす仕事＞

)

sin( _{− θ}

−

= ^{ap pt}

y&

cpa

π

=

27

1 ^{サイ ク ル間に外力のなす仕事}

∫

=

∆ ^L

^{F cos pt y & dt}

D

cpa

∆

=

= π

１ サイ ク ル間に外力のなし た仕事＝減衰力によっ て消費さ れた仕事

= 0

∆

−

∆

+

∆ ^{E D L}

= 0

∆E

復元力

2

2

y

a

cp

ky

y

c

ky

Q _{= +} ^{& &} _{= ± −}

- 15 - 10 - 5 0 5 10 15

- 1.5 - 1 - 0.5 0 0.5 1 1.5

y

Q

Ｃ ＝ _0.4 ｋ ＝１ ０ ｐ ＝５ _a=1 と おいたと き

復元力が１ サイ ク ルになす仕事

29

復元力が１ サイ ク ルになす仕事

{ ^{f x f x} } ^dx

W

∫

⁻

=

∆

^{( )}

^{( )}

2 2

1

^{( x ) kx cp a x}

f _{= + −}

2 2

2

^{( x ) kx cp a x}

f _{= − −}

∫

∫

−

=

−

=

a a

a

dx

x

a

cp

dx

x

a

cp

0

2 2

2 2

4

2

t

a

x ₌ sin dx ₌ a cos tdt ^{と おく と}

楕円の面積

0 2

:

0

:

⇒ π

⇒

t

a

x

∫ ^{− ⋅}

=

∆ ^{W 4 cp}

^a

^a

^sin

^{t a cos tdt}

2 2

2 0

2 2

2

2

4 1

cos

4

cpa

cpa

tdt

cpa

π

π

π

=

⋅

⋅

=

= _∫

31

最大ポテンシャ ルエネルギー Ｗ

2

2

1 ka

2

2

1 ka

W ₌

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

=

∆ =

π ω

π ω

π

π _h ^p

k

hk p

k

cp

ka

cpa

W

W 4

2

1

2

2

1

2

1

2

c ^h _⋅⎟ k

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

ω

2

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛ ∆

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

⋅

= W

W

h ^ω p

π

4

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛ ∆

W

W

π

4

1

a

kx

F ₌

x

複素数 _i：（i ² _{=-1 ）}

虚数

実数

θ

θ

θ _{cos i sin}

e ⁱ _{= +}

θ

θ

cos

θ

sin

( ^{i h} )

G

G ^* ₌ 1 ₊ 2

複素剛性？

33

0 1 2 3 4 5 6 7

時間  ｔ

変位  ｘ

ω A ^v

δ ^x

0

tan

v

ω x

δ =

( )^{δ ω ωδ}

ω ^{t i t i}

i

Ae e

Ae

wt

B

i

wt

A

vdt

x _{= ∫ = ′} cos _{+ ′} sin ₌

₌

( )^δ

ω

=

=

= ^{i Ae}

dt

x dx

v &

( )^δ

ω

−

=

=

=

= ^Ae

dt

x

v d

x

a

2

&

&

&

複素数 iで表した振動の式 （i ² =-1 ）

虚数

実数

A

θ

θ

θ

_{cos i sin}

e

_{= +}

θ θ

cos

θ

sin

複素数 i をかけるということ

x

iy

o

A (x, iy)

B (ix, -y)

180° 90°

A → C：× (-1) 180° 進ませる

=

(A → B) 90° 位相を進ませる， and

(B → C) 90° 位相を進ませる

と いう こ と は，

-1=i× i

だから ，

× _{i という操作は}

位相を 90° 進ませること．

C (-x, -iy)

B=A× i

C=A× (-1)

35

複素数表示の意味

x

iy

o

d (x, iy)

v (ix, -y)

180° 90°

a (-x, -iy)

v=d× i

a=d× (-1)

t

Ae i

v ₌ ^{ω ⋅}

( ^{t i t} )

A cos _{ω +} sin _ω

=

t

Ae i

dt i

a ₌ dv _{= ω ⋅} ^{ω ⋅}

t

Ae i

vdt i

d _{= ∫ = ⋅} ^{ω ⋅}

ω

1

t

Ae i

v ₌ ^{ω ⋅}

微分

積分

微分するこ と は _{iを掛ける（} 位相を _{90deg.進める）}

こ と ， 積分するこ と は _{iで割る（ 90deg.遅らす）} こ と

複素数 _i：（i ² _{=-1 ）}

( ^{i h} )

G

G ^* ₌ 1 ₊ 2

複素剛性？

γ

γ

τ ^{= G + G &}

( ) ^γ

γ

γ

τ ^{= G = G * = G * 1 + i 2 h}

粘性力： 位相が進んでいる

i ^を掛ける

の両方

と _γ

γ ^&

γ だけ

37

振動方程式と 同じ 型はたく さ ん _...

( ) ( ) ( ) ^{t c x t kx t}

x

m _{+ +}

= ^{& & &}

0

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛ _{+ +}

= _∫ ^edt

e T

dt

T de

K

M

I

D

P

1

位相が進んでいる 位相が遅れている

位相が進んでいる

（ 予測し て対応）

位相が遅れている

（ 過去の経験）

current

et

e _{= σ} t ^arg _{− σ}

コンデンサー

抵抗

コイル

電圧 _{= + +}

2. ^{波動伝播式を図で理解 波動伝播式を図で理解}

（ 意外と 分かり やすい差分法）

39

予想さ れる地震動： 日本列島を伝播する！

40

１ 次元波動方程式

du

u ₊

dx

u

du

x

u

∂ ∂

γ =

x

dx

x

G u

G ^{= ∂} ∂

= γ

τ

( ^{τ + d τ} ) ^{⋅ 1}

⋅ 1

τ

u

( ) ^{1 1}

2

2

= + ⋅ − ⋅

∂ ∂

⋅ τ τ τ

ρ ^d

t

dx u

dx

dx

1

2 2 2 2

2 2

2

x

V u

x

u

G

t

u

∂ ∂

∂ =

= ∂

∂ ∂

ρ ρ

V ₌ G

41

波動方程式

2

2

2

2

2

x

V u

t

u

∂ ∂

∂ =

∂ _{( )}

t

x

u

u ₌ ,

( ) ( ) ( ) ( ) ^...

6

1

2

, 1

,

3 2

2

2

∆ +

∂ ∂

+

∂ ∆

+ ∂

∂ ∆

+ ∂

=

∆

+ ^x

x

x u

x

x u

x

t u

x

u

t

x

x

u

メ モ： _{Taylor展開：}

( ^{x − ∆ x , t} ) ( ) ^{= u x , t − ∂} _∂ ^u _x ^{∆ x + 1} ₂ ^∂ _{∂ x}

^u

( ) ^{∆ x}

^{− 1} ₆ ^∂ _{∂ x}

^u

( ) ^{∆ x}

^{+ ...}

u

加速度 こ こ の意味を考える

波動方程式を差分で書き下すと ． ． ．

( ) ( )

[ ^{u x x t u x x t} ]

x

x

u , ,

2

1 + ∆ − − ∆

≈ ∆

∂ ∂

( ) ( ) ( )

[ ]

( ) ^{∆ ⎢⎣ ⎡ ( + ∆ ) ( + − ∆ ) ( ) − ⎥⎦ ⎤}

=

−

∆

−

+

∆

∆ +

∂ ≈

∂

t

x

t u

x

x

u

t

x

x

u

x

t

x

u

t

x

x

u

t

x

x

x u

x

u

2 ,

,

,

2

,

2

,

1 ,

2 2 2

2

両 隣 の 点 の 値

の平均値

43

( ) ( ) ( )

[ ]

( ) ^{∆ ⎢⎣ ⎡ ( + ∆ ) ( + − ∆ ) ( ) − ⎥⎦ ⎤}

=

−

∆

−

+

∆

∆ +

∂ ≈

∂

t

x

t u

x

x

u

t

x

x

u

x

t

x

u

t

x

x

u

t

x

x

x u

x

u

2 ,

,

,

2

,

2

,

1 ,

2 2 2

2

両 隣 の 点 の 値

の平均値

2

0

2

>

∂ ∂

x

u

2

0

2

<

∂

∂

x

u

2

0

2

=

∂ ∂

x

u

両隣の点の値の平均値

2

0

2

>

∂ ∂

t

u

2

0

2

<

∂

∂

t

u

2

0

2

=

∂ ∂

t

u

( ) ^{∆ ⎢⎣ ⎡ ( + ∆ ) ( + − ∆ ) ( ) − ⎥⎦ ⎤}

∂ ≈

= ∂

∂ ∂ ^{u x x t u x x t} _{u x t}

x x

u

t

u ,

2

,

,

2

2 2

2 2 2

2

α

加速度

45

一次元弦の振動

加速度

速度 ^加速度 ₌₀

慣性

①

②

③ ④

⑤

⑥

加速度

速度 ₌₀

速度 ₌₀

46

計算例（ 動画）

変

位

∆ ^{t <} ∆ ^{x/ V}

• 進行波と後退波

• 初期値のなめらかさ

位置

CFL条件

時間と 空間の刻

みバラ ンス

47

不均質な改良地盤

SCP

側方土圧増加領域

X

Y

Z

40m

30m

40m

r

0.2m

セルのサイ ズ

V

ρ

V

^ρ

Matrix

Inclusion

差分法による三次元粘弾性波動場解析

49

振 源

実体波の計算

受振器

SCP

周辺地盤

振 源

表面波の計算

実体波と 表面波三次元波動場解析

（ 振源と 受信点）

50

影響範囲を SCP径の2倍にする場合

差分法による表面波伝播結果

約 倍速で再生 25

1

( )

V_S^M ₌100 V_S^I1 ₌300

_{( )}

%

= 20 aS

SCP

置換率が 20％で影響範囲が近接した

状態になり 、 より 不均質な状態になる

打撃点

51

地表面の波動 (at 221.9sec)

起振点

未改良

置換率

S ^{6 %}

置換率

S ^{78.5 %}

置換率

S

60 %

SCP

52

差分法による実体波伝播結果

約 倍速で再生 25

1

震 源

震 源

相互作用の考慮

なし

あり

相互作用の考慮

( )

V_S^M ₌100

( )

V_S^I1 ₌300

%

= 20 aS

SCP

53

SCP ^と 周辺地盤に伝わる位相速度の

比較

100 200 300

100 200 300

Matrix phase Velocity, (m/s)

Inclusion phase velocity, (m/s)

周辺地盤の位相速度

S C P の位相速度

a_s40 %

a_s78.5% a_s60 % a_s50 % a_s25 % a_s12.5 %

a_s6 % a_s0 %

V_s^M: 100m/sec V_s^I: 300m/sec V_s^M: 100m/sec

V_s^I: 250m/sec V_s^M: 100m/sec

V_s^I: 220m/sec

a_s40 %

a_s78.5% a_s60 % a_s50 % a_s25 % a_s12.5 %

a_s6 % a_s0 %

V_s^M: 100m/sec V_s^I: 300m/sec V_s^M: 100m/sec

V_s^I: 250m/sec V_s^M: 100m/sec

V_s^I: 220m/sec

置 換 率 高 低

剛性比

小 大

解析条件

54

表面波（ _Rayleigh 波）による計算結果

と 実体波による計算結果の比較

a_s40 %

a_s78.5% a_s60 % a_s50 % a_s25 % a_s12.5 %

a_s6 % a_s0 %

V_s^M: 100m/sec V_s^I: 300m/sec V_s^M: 100m/sec

V_s^I: 250m/sec V_s^M: 100m/sec

V_s^I: 220m/sec

a_s40 %

a_s78.5% a_s60 % a_s50 % a_s25 % a_s12.5 %

a_s6 % a_s0 %

V_s^M: 100m/sec V_s^I: 300m/sec V_s^M: 100m/sec

V_s^I: 250m/sec V_s^M: 100m/sec

V_s^I: 220m/sec

置 換 率 高 低

小 大

実体波の伝わる速度

表面波の伝わる 速度

100 200 300

100 200 300

Phase velocity of Body wave, (m/sec)

Phase velocity of Rayleigh wave, (m/sec)

解析条件