講義ノート(法政2017年度) 福川賢治のホームページ

2017/1/11 入門物理学 B

入門物理学 B

第 14 回 (1/11) 光と粒子の二重性・電子軌道

7. 光の粒子性 (前回の続き)

8. ボーアの原子模型

9. 電子の波動性

10. 電子軌道

11. 放射線 (時間が余れば)

第 15 回 (1/18) 学期末試験

法政大学 市ヶ谷リベラルアーツセンター兼任講師 福川 賢治

(https://sites.google.com/site/kfukukawa00/hosei2017)

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7-4. コンプトン効果

(1922 年、1927 年ノーベル物理学賞)

光が波でもあり粒子であることの証明

X線等の高エネルギーの光を電子に当てた時、X 線の波長が伸びる現象

X 線の波長λ→λ になると、ν= c/λ→ ν =c/λ なので、 光の振動数(エネルギー)は小さくなる。

逃げたエネルギーは電子が持ち去ると考えると、このズレを説明できる。

光子(波長λ)

光子(波長λ ) 電子 _{θ λ >λ}

縦軸: X 線の強さ 横軸: X線の波長

画像は九州大学実験核物理研究室インターネットセミナー第3部7頁「コンプトン効果」より

2

その他の光の粒子性に関する証拠

単一光子によるヤングの干渉実験(浜松ホトニクス、1982年) https://www.youtube.com/watch?v=ImknFucHS_c

1個ずつの粒子はデタラメに飛んでいくが、

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8. ボーアの原子模型

(1913 年, 1922年ノーベル物理学賞)

各原子は特有の波長 (=色) の電磁波を放出・吸収する。

(第7回の講義)

1885年 ヨハン・ヤコブ・バルマー (スイス、1825 - 1898)

水素のスペクトルの波長の間に以下の関係が成り立つ頃を発見

  (n2=3, 4, 5,…) リュードベリ定数 RH＝1.097… 107m-1

1890年: リュードベリが上の式を一般化

(n2 = n1+1, n1+2, n1+3, …)

バルマーの場合は n1 = 2の場合

n1 = 1 (ライマン系列、1906 年),

n1 = 3 (パッシェン系列、1906 年)

n1 = 4 (ブラケット系列、1922 年),

n1=5 (プント系列、1924 年)… 1

λ = RH

!

1 22 −

1 n2

2

"

1

λ = RH

! 1 n2 1 − 1 n2 2 "

水素原子のバルマー系列

画像はWikipedia 「バルマー系列」より引用

3

Niels Bohr「量子力学の父」

(デンマーク、1885-1962) コペンハーゲン大学

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ボーアの原子模型

(続き)

ラザフォードの原子模型の問題。

問題1. 原子の大きさ (約 10-10 _{m) を理論的に決定説明できない →}

    プランク定数 h が何か理論的に関係している。

問題2. 電磁気学によると、円運動する電子はエネルギーを失う。

    その結果、電子は原子核にすぐに引き寄せられ、原子はつぶれる

。

「光のエネルギーに最小単位があれば、電子にあっても良いのでは？」 以下の 2 条件を置いて、問題 1 を解決

1. (量子条件) 電子軌道半径 r, 電子の速度 v, 電子の質量を me とすると、

         (主量子数 n=1, 2 ,3 …) と仮定する。r,v はこの式と (原子核と電子の間に働く電気力)=(電子にかかる遠心力)

という力学的関係から決定。

半径やエネルギーは nを使って表され、勝手な値は取れない。→ 電子軌道の概念 n が大きいほど、半径やエネルギーは大きくなる。

n = 1の水素原子の半径 r (ボーア半径) … 0.53 10-10 _m m_evr ₌ n h

2π

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ボーアの原子模型

(続き)

2.

(振動数条件)

電子が量子数 n (エネルギー E

) の軌道から

量子数 n (エネルギー E

) の軌道に移る時、

E

> E

(n>n )であれば光を放出し、E

< E

(n<n )であれば光を吸収する。

その光の振動数νは

hν=¦E

-E

¦

で与えられる。

水素原子から放出される光のスペクトルを完全に再現

(左図) 水素原子の軌道イメージと放出・吸収 される光の波長

画像はWikipedia 「水素スペクトル系列」より引 用、Photo by Szdori, (19th March 2009), CC表示2.5ライセンス

5

水素原子中の電子のエネルギーは 電子が原子核から離れた時の

エネルギーを 0 として

En = ­13.6/n2 [eV] で与えられる。

eV (電子ボルト)は 1個の電子を 1V の電圧で加速した際の

電子のエネルギーであり、

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9. 電子の波動性

ラザフォード模型の問題2「電子は何故、原子核とくっつかないのか？」

アインシュタインのエネルギーの式 E2 _{= m}2_c4 _{+ p}2_c2 _{を光子について考える。} (E: エネルギー、m: 質量、p: 運動量 [=mv]、c: 光速度)

光子の質量は m = 0 なので、E2 _{= p}2_c2 _{E = pc}

プランクの公式 E = hν= hc/λ= (h/λ)c と組み合わせると、 p = h/λ λ=h/p (ド・ブロイ波長)と書ける。

「この式は物質でも実は成り立つのでは？」

電子の運動量 pe = mev を用いて、ボーアの量子条件      は per = n [h/(2π)] 2πr = n(h/pe) = nλ

「電子波」があるとすると、

「軌道の円周」=「波長の整数倍」になる (一周した時波の位相が う)。

量子条件は電子が波として安定するために必要な条件を与える。

電子も波としての性質と粒子としての性質を持つ。 電子も二重スリット実験により干渉模様が現れる (外村彰 (日立製作所等、1942-2012) 、1989年)。

m_evr = n h

2π

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(上) 電子の物質波のイメージ (n=7 の場合)

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(右) 透過型電子顕微鏡。

電子線が光線の役割をし、磁場がレンズの役割をする。 物質波の波長は非常に短いので、「光の波」ではなく、 「電子の波」を用いて極めて細かいところ(原子レベル) まで見分けられる。

画像はともに Wikipedia より引用

(左) Louis de Broglie (仏、1892 - 1987)

紹介した業績は彼の博士論文

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10. 電子軌道 (基礎方程式の完成)

シュレディンガーの波動方程式

(1926年, 1933年ノーベル物理学賞)

粒子と波の性質を併せ持つ

i : 虚数単位 (= -1), h：プランク定数

: 偏微分の記号 (この場合はψを t で偏微分) ψ(x, y, z, t): 電子の

波動関数

ボルンによる波動関数の確率解釈

(1926年、1954年ノーベル物理学賞)

波動関数の絶対値の 2 乗 ¦ψ¦

は、

その場所に粒子が発見される確率を

表す。

粒子の存在位置の予言は、

確率的にしかできない

Erwin Shr̈odinger

(オーストリア, 1887-1961)、 量子力学、分子生物学の祖  画像はWikipedia より引用

i

h

2

π

∂ψ

∂t

= ˆ

Hψ

ˆ

H

(※)ψは psi (プサイ)と呼ぶギリシャ文字

Max Born (ドイツ,1882-1970) 画像は Wikipedia より引用

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ハイゼンベルグ方程式

(シュレディンガーの波動方程式と等価 1925年, 1932 年ノーベル物理学賞)

Werner Heisenberg (独、1901-1976)

画像はWikipedia より引用

   :観測が可能な物理量 A に対応する行列

   :エネルギー H に対応する行列

(行列とは、数字を縦横で並べカッコで囲ったもの 大学初級の数学 [理系]の内容)

不確定性原理

(1927年)

量子力学では位置 x と運動量 p

(=速度 質量)

を

同時に正確に知ることができない。

ハイゼンベルグが自身の方程式から提唱

σ

σ

≥

h

4

π

9

i

h

2

π

d

A

ˆ

₍

t

₎

dt

= ˆ

A

H

ˆ

−

H

ˆ

A

ˆ

ˆ

A

不確定性原理は粒子の運動量 p = h/λが決まっている状態だと、 粒子の位置がどこにあるか特定できず、

粒子の位置が決まっている状態だと、

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電子軌道

シュレディンガーの波動方程式を解くと、電子の波動関数は 3 つの整数(n,l,m)

でラベル付けされる。ここでは、そのうち２つ (n,l) を紹介する

(n は主量子数、l は方位量子数と呼ばれる)。

表: 電子の軌道 (カッコ内は電子の収容数)

細かい例外はあるものの、元素の電子配置は

原子番号順に 1s → 2s → 2p → 3s → 3p →

4s → 3d → 4p → 5s → 4d → 5p → 6s →

4f → 5d → 6p → … という順番で入っていく。

n ＼ l 0(s軌道) 1 (p軌道) 2(d) 3(f) 1(K殻) 1s (2)

2(L殻) 2s (2) 2p (6)

3(M) 3s (2) 3p (6) 3d (10)

4(N) 4s (2) 4p (6) 4d (10) 4f (14)

s 軌道 (l=0)

p 軌道 (l=1)

d 軌道 (l=2)

画像はWikipedia「s軌道」、「p軌道」、「d軌道」より引用, Photo by Azu (August 2008), CC 表示 3.0 ライセンス

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電子軌道配列を考えた立体周期表の例 Elementouch (京都大学前野教授の考案) http://www.ss.scphys.kyoto-u.ac.jp/elementouch/

動画 https://www.youtube.com/watch?v=9eaU2kq3urU

いろいろな周期表のデータベース (英語)

http://www.meta-synthesis.com/webbook/35_pt/pt_database.php

11

11. 放射線と原子核の崩壊

11-1. X 線の発見

(1895年11月)

(1901 年第1回ノーベル物理学賞)

暗室内でクルックス管の側面を黒い紙で

覆って陰極線を発生させると、テーブルの

上に離して置いた蛍光板が光った。

レントゲンは新たな放射線がクルックス管

から出ていたと考え、

X線

と名付けた。

X線は以下の性質を持つ。

① 1000 ページ以上の分厚い本やガラスを通過する ② 鉛には遮 される

③ 陰極線と違い、磁場をかけても曲がらない ④ 蛍光物質を発光させる 

左図 Wilhelm Conrad Röntgen (独 1845 - 1923)

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11-2. 放射能の発見

(1896年、アンリ・ベクレルによる

キュリー夫妻と共に1903年ノーベル物理学賞) レントゲンの発見に刺激を受け、

蛍光物質から X 線が出るかどうか研究 太陽光に当てたウラン塩が蛍光して

その写真乾板が感光し、黒化していることを発見

曇りの日に実験を中断し、ウラン塩と写真乾板を保存

それでも写真乾板は感光し、黒化していた (自発放射能の発見) 。

放射性物質が 1 秒あたりに崩壊する原子の個数の単位を ベクレル [Bq] と呼ぶ。

キュリー夫妻による放射性元素

ラジウム・ポロニウムの発見 (1898年、1911年 ノーベル化学賞) 非常にたくさんのウラン鉱石から精錬

ラジウム 1 g が１秒間に崩壊する原子の個数を元に定められた放射能の単位を キュリー [Ci] と呼ぶ。 1 Ci = 3.7 1010 _{Bq である。}

Henri Becquerel (仏、1852-1904)

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11-3. α線、β線、γ線の発見

ラザフォードが、ウラン等の天然の放射性物質 から出ている放射線の物質による吸収の測定から 電離能力 (原子から電子を剥ぎ取る能力)・

透過能力の異なる 2 種類の放射線(α線・β線)を発見 (1899 年)

更に透過力が大きい放射線があることも分かり

(1900年 Paul Villard (仏)), ラザフォードがγ線と

名付けた (1903 年)。また、α線の正体 (ヘリウム 42_{He の原子核)} は ラザフォードによって、β線の正体 (電子) はベクレルによって放射線を 電場及び磁場で曲げて、e/m = (電気量)/(質量) を測定することにより 明らかになった。

それぞれの放射線の性質

α線: 紙一枚で防ぐことができる。空気中では数 cm 飛べる。電離作用が強い。 β線: 厚さ数 mm のアルミニウム板で防ぐことができる。空気中では数 m 飛ぶ。 γ線: 正体は X 線よりさらに高エネルギーな光子

   透過力が高く、20 cm以上の鉛の板が必要。

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Pierre Curie (仏 1859-1906) & Marie Curie (1867 - 1934)

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11-4. 陽子と中性子の発見 (原子核物理の始まり)

陽子の発見

(1919年)

ラザフォードは、α線を軽い原子核に当てると原子核またはα粒子の破壊が 起こるのではないかと考え観察を行った。

窒素とぶつかったα線から水素の原子核 11_{H が放出され、}

ギリシャ語で「最初」を表す proton (陽子) と名付けた。

147_{N +} 42_{α →} 178_{O +} 11_{H (p): 人類初の原子核反応}

中性子の発見

(1932年、1935 年ノーベル物理学賞)

1920 年ラザフォードが

その存在を予想

James Chadwick

(英、1891-1974)

により実証

94

_{Be +}

_{α →}

_C+

_n

画像は Wikipedia より、Photo by Bdushaw (11 November 2017), CC-BY-SA4.0 ライセンス

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11-5 原子核の崩壊

原子核の崩壊 … エネルギーが低い状態になろうとし、

        ある原子核から他の原子核へ移り変わること。 多くの超重原子核では自然に崩壊して放射性崩壊を起こす

崩壊過程は主に 3 種類ある

α崩壊 原子核がα線 (ヘリウム 42_{He の原子核)} を出して崩壊

β崩壊 原子核がβ線 (電子) あるいは陽電子を出して崩壊

原子核の中性子の1つが陽子に変わる場合 n → p + e- _{+ (反ニュートリノ),}

    陽子の1つが中性子に変わる場合 p → n + e+ _{+ ν}

陽子が電子を捕獲する場合 p + e- _{→ n + ν が存在する。}

γ崩壊 中性子や陽子はそのままでγ線を放出してエネルギーを下げる。 (※) 陽電子は電子と同じ大きさで、ただし + 符号の電気を持ち、

  その他は電子と性質が等しい、いわゆる電子の反粒子である。

ウラン原子核の連鎖反応

ウランの大部分は 238_{U であるが、0.7%} 235_{U が含まれている。}

10n + 23592U → 14156 Ba+9236Kr + 310n 等の核分裂反応が起きる。

放出された中性子が他の235_{U 原子核にあたり、次々と核分裂反応が起きる。}

(連鎖反応)

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ウラン原子核の連鎖反応 (続き)

反応を制御するため、停止状態の原子炉では中性子を吸収する制御棒が

差し込まれている。

(核分裂反応に必要な中性子の数) = (核分裂で生成される中性子の数)

となった時を

臨界状態

と呼び、運転中の原子炉はこの状態である。

意図的に臨界を超過した状態を作り出したのが核兵器である。

原子炉の危険性

原子炉では

原子核の持っている質量エネルギーが原子核や中性子等の

運動エネルギーになり

、これらの粒子が激しく振動する(= 熱が発生する)。

このエネルギーは化学反応の 100 万倍単位のエネルギーである。

原子炉は緊急時には停止するが、自発的な放射性崩壊によって放出される

エネルギーが周囲の物質を加熱する (

崩壊熱

) ので、

冷却水が失われないよう注意する必要があある。