H23 コマの物理から素粒子のスピン

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剛体の力学

『安定な回転軸』

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コマの運動

軸周りに回転しながら

軸も回転

問　

・　自由落下するコマはどのような運動をする？

・　（無重力の）宇宙空間でのコマの動き

・　地球ゴマを自由落下させると？ 問　

・　自由落下するコマはどのような運動をする？

・　（無重力の）宇宙空間でのコマの動き

・　地球ゴマを自由落下させると？

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コマの運動

コマの歳差運動

重力 によるモーメントがある場合の

コマの回転軸の運動

コマの歳差運動

重力 によるモーメントがある場合の

コマの回転軸の運動

コマの歳差運動 コマの歳差運動

重力重力

剛体の

『安定な回転軸』

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コマの運動：　「安定な回転軸」

ω ⃗

外力によるモーメントがない場合

^{d ω ⃗}

dt ⁼⁰

剛体に固定された系（慣性主軸）から見て、 角速度ベクトルが時間的に変化しない

剛体の角速度ベクトル ω が安定 剛体の角速度ベクトル _{ω が安定}

『安定な回転軸』である条件は？

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剛体の回転：　『剛体に対して静止している回転軸』

例）　直方体の回転

固定点を持たない　＝　重心周りの運動 対称軸はそれぞれの面に垂直な軸: x, y, z

→　慣性乗積　= 0

→　慣性モーメント I_xx, I_yy, I_zz とする 例）　直方体の回転

固定点を持たない　＝　重心周りの運動 対称軸はそれぞれの面に垂直な軸: x, y, z

→　慣性乗積　= 0

→　慣性モーメント I_xx, I_yy, I_zz とする

外力が働かない場合　→　外力によるモーメント = 0

I _xx ^{d x}

dt ^

^

^

dt ^

^

^

dt ^

^

^

剛体に対して静止した角速度ベクトル

d _x d t ⁼⁰

d _y d t ⁼⁰

d _z d t ⁼⁰

x

y

z

^ω ⃗

オイラーの運動方程式

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剛体に対して静止している回転軸：　つづき

直方体

_I

xx

^≠I

^{≠ I}

{ ^{I I I}

^{− I − I −I}

^{≠0 ≠0 ≠0 {}

ω

ω

=0

ω

ω

=0

ω

ω

=0

オイラーの運動方程式 静止した角速度

{

{

^{{ ( ( (}

^{) ) )}

x

y z

静止する角速度ωの条件 静止する角速度_ωの条件

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静止した回転軸

３つの成分の内、２つが 0 例 ω_x≠0, ω_y=0, ω_z=0

慣性主軸のうち、x 軸まわりの回転 ３つの成分の内、２つが 0

例 ω_x≠0, ω_y=0, ω_z=0

慣性主軸のうち、x 軸まわりの回転 回転していない

回転していない

ω

=0 ω

=0 ω

=0

{ ^{ω ω ω}

^{ω ω ω}

^{=0 =0 =0}

x

y

z

^ω ⃗

を満たすのは・・・ 静止する角速度ωの条件

静止する角速度_ωの条件

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直方体の場合の『剛体に対して静止している回転軸』

x

y

z

^ω ⃗

x

y z

ω ⃗

角速度ベクトルが

慣性主軸からずれている 角速度ベクトルが

慣性主軸のどれかと平行

角速度ベクトルは変化しない 直方体は回転軸周りで安定

˙⃗ω =0 ˙⃗ω ≠0

時間と共に

角速度ベクトルの 向きが変化

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回転軸の『安定性』

『安定な回転軸』 『安定性』とはなんだろうか？

『安定な回転軸』 『安定性』とはなんだろうか？

外部から何らかの瞬間的な作用があり、

剛体に瞬間的に外力のモーメントが働いたとき 外部から何らかの瞬間的な作用があり、

剛体に瞬間的に外力のモーメントが働いたとき 回転軸の方向が

変化しない場合 →　　　安定な回転軸 変化する場合 →　　　不安定な回転軸

d ω_⃗

dt ⁼⁰ 角速度ベクトルが変化しない

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『回転の安定性』：　直方体の場合

_y_z~0

d _x dt ^~0

時間微分

I _yy ^d

2_y

dt^{2 }

^

^

d _z dt ^~0

{

^{( ( (}

^{) ) )}

オイラーの運動方程式

角速度 ω_y が従う方程式 角速度 ω_y が従う方程式

=

^

^

^

2

I _yy I _zz

d



dt

^{ }

^~0

ある瞬間に非常に小さな y, z 軸まわりの角速度^が生じた



≪1 

≪1

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『回転の安定性』：　直方体の場合

ω

= ^I

( ^I

^{− I}

) ^ω

d ω

dt

x 軸まわりの慣性モーメント I_x が一番小さい（大きい）場合

0



~ Asin  _  t

ある瞬間に非常に小さな y, z 軸まわりの角速度^{が生じた時}

_ω

, ω

≪1

角速度 ω

y ^{が従う方程式}

角速度 ω_{y が従う方程式}

=

^

^

^

2

I_yy I_zz

d

ω

dt

^{+Ω ω}

^∼0

ω

∼ _√ ^I

^{( I}

^−I

⁾

I ₍ I − I ₎ ^{A cos ( √ Ω t+α)}

d

ω

dt

^∼−Ωω

I _yy ^{d ωy}

dt ⁺

⁽

⁾

I _yy> I _xx , I _zz>I_xx ( I _yy<I _xx , I_zz< I _xx)

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直方体の『安定な回転軸』

ω

= ^I

( ^I

^{− I}

) ^ω

d ω

dt ^∼ _√

I

₍ I

−I

₎

I

₍ I

− I

₎ ^{× A cos( √ Ωt+α)}

x 軸まわりの慣性モーメント I_x が 一番小さい（大きい）場合

x 軸まわりの慣性モーメント I_x が 一番小さい（大きい）場合



~ Asin  _  t

x

y

ω ⃗

z

=

^

^

^

2

I_yy I_zz ^0

回転の向きは x 軸を中心に振動する

→　回転主軸 (x軸) は　『安定な回転軸』 回転の向きは x 軸を中心に振動する

→　回転主軸 (x軸) は　^{『安定な回転軸』} 回転軸をずらすような外力が作用

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直方体の『不安定な回転軸』

d



dt

^{ }

^~0

x

y

ω ⃗

z

x 軸まわりの慣性モーメント I_x が

I

< I

< I

, I

< I

< I

の場合

x 軸まわりの慣性モーメント I_x が

I

< I

< I

, I

< I

< I

の場合

Ω<0

回転の向きは x 軸からどんどん離れていく

→　回転主軸 (x軸) は　『不安定な回転軸』 回転の向きは x 軸からどんどん離れていく

→　回転主軸 (x軸) は　^{『不安定な回転軸』} 回転軸をずらすような外力が作用

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コマの場合：　『安定な回転軸』

z

x

y _I

xx ^=I yy ^{= I I} zz

慣性主軸の内 z 軸が『安定な回転軸』

慣性主軸の内 z 軸が ^{『安定な回転軸』}