内生性バイアスと操作変数法 計量経済学 鹿野研究室 note24

担当：鹿野（大阪府立大学）

2013 年度後期

はじめに

前回の復習

 操作変数法（_IV）：_OLSに代わる推定法。

 二段階最小₂乗法（_2SLS）：複数の操作変数を統合。

今回学ぶこと

 識別条件：複数の内生変数がある場合の_IV推定。

 需要曲線・供給曲線の_IV推定。

 テキスト該当箇所：₁₁章。浅野・中村（₂₀₁₀）の₈章も参照。

1 識別条件：複数の内生変数と操作変数

1.1

^{丁度識別・過小識別}

 重回帰モデル

Y_{i = α + β1}X_{1i+ β2}X_{2i+ β3}X_{3i+ ui} (1) に関し、一つ目の変数だけ外生、それ以外は内生変数であるとする。

E(u_{i) = 0,} E(u_iX_{1i) = 0}

= 外生

, E(u_iX_2i)  0, E(u_iX_3i)  0.

= 内生

(2)

⊲ IV推定を行うための条件は？

⊲ 適当な推定量を当てはめたときの残差を、一般的に

ˆui = Yi⁻Y^ˆi= Yi⁻α − ˆˆ β₁X1i⁻ ˆβ2X2i⁻ ˆβ3X3i (3) と表す。

 丁度識別：いま、二つの操作変数_Z1i、_Z2iが観測されるとする。 E(uiZ1i) = 0, ^E(uiZ2i) = 0

= 内生

. (4)

1

⊲ ∴推定に利用可能なモーメント条件は、次の₄つ。 E(ui) = 0 ^{⇒ 1}

n



ˆui= 0, ⁽⁵⁾

E(u_iX_{1i) = 0} ^{⇒ 1} n

ˆu_iX_{1i = 0,} (6)

E(uiZ1i) = 0 ^{⇒ 1} n



ˆuiZ1i= 0, (7)

E(uiZ2i) = 0 ^{⇒ 1} n



ˆuiZ2i= 0. ⁽⁸⁾

⊲ ^{未知数（係数）の数}_{= 4}^{、方程式の数}_{= 4}^{。∴推定量は、}(5) ∼ (8)^{式の解で一意に定} まる！⇒_αˆ、_ˆβ1、_βˆ₂、_ˆβ3を解けば、 を得る。

⊲ 推定したい回帰係数の数と同じ数のモーメント条件が作れ、結果として推定が実行 可能となることを、 と呼ぶ。

⊲ ^もしX_{i j}がすべて外生的だったら？⇒モーメント条件が₄つ作れるので、これも丁 度識別。この場合、解として_OLS推定量を得る。

 過小識別：もし操作変数が_Z1iだけならば？⇒₄つ目のモーメント条件₍₈₎式が成立せず、

「未知数の数_{= 4 >}方程式の数_{= 3}」。

⊲ ∴αˆ^、ˆβ₁^、ˆβ₂^、ˆβ₃を解けない。この状況を、 と呼ぶ。 推定 以前の、いわば「問題外」の状況。

⊲ 操作変数が一つも存在しないときは？⇒「未知数の数_{= 4 >}方程式の数_{= 2}」で、や はり過小識別。

⊲ ^{（講義ノート}#11、説明変数同士の線形関係）も、過小識別の一種。 1.2

^過剰識別

 過剰識別：操作変数が_Z1i、_Z2i、_Z3iの三つあれば？⇒_{(5) ∼ (8)}式に加え、さらにモーメ ント条件

E(u_iZ_{3i) = 0} ^{⇒ 1} n

ˆu_iZ_{3i= 0} (9)

が使える！贅沢な状況。

⊲ ^{「未知数の数}_{= 4 <}^{方程式の数}_{= 5}^{」。これを と呼ぶ。}

⊲ ^{（講義ノート}#23）により、すべての操作変数を利用。

⎧

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩ X2i

−−−−−−−−−−OLS →

X1i,Z1i,Z2i,Z3i

Xˆ2i

X3i

−−−−−−−−−−OLS →

X1i,Z1i,Z2i,Z3i

Xˆ3i

⇒ _Yiを_{X1i, ˆX2i, ˆX3i}に_{OLS. (10)}

⊲ ^注意：X_1iは外生変数なので、操作変数の一部として扱う。

 _Remark：識別条件・まとめ。

状況 推定法 過小識別 係数の数 モーメントの数 推定不可能 丁度識別 係数の数 モーメントの数 _IV 過剰識別 係数の数 モーメントの数 _2SLS

⊲ OLS^・IVは基本的に、モーメント条件（直行条件）から成る「 」。

⊲ 操作変数は、内生性によって失われたモーメントを補完する働き。

⊲ OLSの内生性バイアス（講義ノート_#22）を、「間違ったモーメントを使ったことに よるバイアス」と解釈できる。

2 ^{需要曲線・供給曲線の} IV ^推定

2.1

市場均衡モデルの構造型と誘導型

 市場均衡モデルの構造型表現：ある財の、市場_iにおける均衡条件下の需要曲線・供給曲 線を次式で表す。

需要曲線_{: Yi = α0+ α1Xi+ ui, (11)} 供給曲線_{: Yi = β0+ β1Xi+ vi. (12)} ... 同時方程式モデル（講義ノート_#22）の代表的な例。

⊲ Xi^{は均衡価格、}Yi^{は均衡数量。∴上式は、 の需給曲線。}

⊲ ^上式を （こうぞうけい）と呼ぶ。両辺に（比較静学の意味で）内生変数 X_i^、Y_i。内生変数同士のフィードバック構造を示した、経済学上の意味を持つ表現。

⊲ (ui^,vi)は、次の仮定を満たす確率的な誤差。

E(u_{i) = E(vi) = 0,} E(u²_{i) = σ}²_u, E(v²_{i) = σ}²_v, E(u_iv_{i) = 0.} (13)

 誘導型：_Xiと_Yiを解き、係数と項を整理すると

均衡価格_{: Xi= −}

(α0^−β0) (α1^−β1)

=γ1

− ^(ui

−_vi) (α1^−β1)

=ǫi

= γ1+ ǫi^, (14)

均衡数量_{: Yi= β0+ β1γ1}

=γ2

+ vi+ β1^ǫi

=ξi

= γ2+ ξi^. (15)

⊲ 構造型両辺の内生変数を、すべて解き切った表現。これを （ゆうどうけ い）と呼ぶ。経済理論上無意味だが、データの発生メカニズムを簡潔に示した表現。

⊲ ∴分析者が観測する取引データ_(Xi,Yi)は、需要サイド・供給サイドで発生した無意 味なノイズ_(ui,vi)の塊に過ぎない！

2.2 OLS の同時性バイアス

 _Remark：観測された取引データ_(Xi,Yi)を散布図に描くと？⇒図₁。

⊲ ^各点(Xi^,Yi)^{は、二つの誤差}(ui^,vi)^{で絶えず変化する の実現値。}

A

Y

X

S1

S2 S3

S3

D1 D2

D3 D4

B

Y

X

図_1:均衡価格_Xiと均衡数量_Yiの散布図

⊲ ^{右下がりの需要曲線}or右上がりの供給曲線を推定する「つもり」で、散布図に回帰 直線をフィットさせれば

b = ^SXY S_XX ⁼

1 n−1^SXY

1 n−1^SXX

= ^sXY

s²_X ^{. (16)}

... ^このOLS^{で、需要曲線の傾き}α₁^{と供給曲線の傾き}β₁、どちらが推定されるのか？

 ここで、需要と供給のブレの、相対的な大きさを定義。 c = ^σ

2v

σ²_{u+ σ}²_v ⁼

供給側の分散 分散の総和

, 0 < c < 1. (17)

⊲ 供給曲線が、より大きくブレる⇒_{c = 1}に近づく。

⊲ この表記を使えば、均衡価格_Xiと数量_Yiの共分散_Cov(Xi,Yi)と、_Xiの分散_Var(Xi) に、次式の関係。（証明⇒今回の補足資料参照）

Cov(Xi^,Yi) =^c(α1^−β1) + β1 Var(Xi) ^{⇔ Cov(Xi,Yi)}

Var(Xi) ^{= cα1+ (1 − c)β1. (18)}

 同時性バイアス：均衡の取引データで_Yiを_Xiに回帰した_OLSの確率極限は、

plim b = ^, (0 < c < 1). (19)

⊲ ∴^このOLS^{は、需要曲線の傾き}α₁^{と、供給曲線の傾き}β₁^{の を推定し} てしまう！∴双方に関し、一致推定量とならない。

⊲ c^の定義(17) ⇒^{供給の分散が大きいと}α₁寄り、需要の分散が大きいと_β1寄りの値

が推定される。

⊲ ^証明：(16)式の確率極限をとれば、₍₁₈₎式より plim b = ^{plim sXY}

plim s²_X ⁼

Cov(Xi^,Yi)

Var(X_i) ^{= cα1+ (1 − c)β1. (20)}

A

Y

X

S(Z1)

S(Z2) S(Z3)

S(Z4)

B

Y

X

図_2:均衡価格_Xiと均衡価格_Yiの散布図

2.3

需要・供給曲線のシフトによる

 モデルの拡張：もし生産者の技術要因_Ziで すると、

需要曲線_{: Yi= α0+ α1Xi+ ui, (21)} 供給曲線_{: Yi= β0+ β1Xi+ + vi. (22)}

⊲ Z_iは生産側に影響するが、需要側に一切影響しない変数。需要曲線の誤差とも無相関。 Cov(ui^,Zi) = E(uiZi) = 0. ⁽²³⁾

∴需要曲線に関し、_Ziは 。

⊲ 例：生産要素価格や気候、法的規制、技術水準の違いなど。

 _Remark：_Ziが変動すると供給曲線はシフト、需要曲線は一定。⇒均衡点の散布図_(Xi,Yi) において、右下がりの が浮かび上がる（図₂）。

⊲ ^{注意：需要曲線も}Z_iでシフトしたら、需要曲線を識別できない。

⊲ ∴需要曲線だけに作用するシフト要因（家計所得や代替財・補完財価格など）が観 測できれば、供給曲線側も識別可能。

⊲ このアイディアを、推定に生かすには？

 需要曲線の_IV推定：新たなモデル₍₂₁₎式・₍₂₂₎式の均衡価格、および需要曲線は 均衡価格_{: Xi= γ1+ + ǫi, η =}

β₂

(α₁⁻β₁)^{. (24)} 需要曲線（再掲）_{: Yi= α0+ α1Xi+ ui, Cov(ui,Zi) = 0. (25)}

⊲ ∴Z_i^{を需要曲線右辺の}X_i^{の操作変数に当て、}α₀^、α₁^{を すればよい。（供} 給のシフト要因が複数あれば、_2SLSで。）

⊲ 計量経済学の「外生変数」、「内生変数」という言葉の由来は、ここにある。

 _Remark：需要曲線・供給曲線の_IV推定。計量経済学の「奥義」。

⊲ ^{需要曲線の推定： させる操作変数で、}IV^（2SLS^）推定。

⊲ ^{供給曲線の推定： させる操作変数で、}IV^（2SLS^）推定。

⊲ 需給の双方をシフトさせる変数は、操作変数として使えない。

 例：東京都中央卸売市場の取引データ（₉つの市場×₁₂か月）から、みかんの需要曲線を 推定。価格_Xi、数量_Yiは対数変換済み。∴需要の価格の弾力性を推定。

OLS 2SLS

係数 _t値 係数 _t値

定数項 _{8.14 35.92 9.43 21.14}

価格 _{-2.15 -27.15 -2.64 -15.95}

大田ダミー _{0.71 4.49 0.71 4.14} ...

多摩_NTダミー _{-1.75 -8.41 -1.77 -8.33} 修正済み_R² _{0.82 0.81}

サンプル数_{n 108 108}

⊲ コントロール変数：市場ダミー（築地をレファレンスとする）。

⊲ ^{操作変数：}「季節・気象条件は農産物の限界費用に影響するが、消費者の選好には影 響しない」と仮定。⇒「月（₁月₌₁、₂月₌₂、_...、₁₂月₌₁₂）」と「月の₂乗」を操 作変数とする_2SLS推定。

⊲ ^{推定結果：}OLSは、需要曲線の傾き（弾力性）をやや過小評価している可能性。

⊲ ^注意：「冬になるとみかんを食べたくなる」消費者が多数ならば、「月」を操作変数 とするのは誤り。（需要曲線もシフトしてしまうため。）

まとめと復習問題

今回のまとめ

 操作変数法（_IV）。内生性が疑われるとき、_OLSに代わる推定法。

 二段階最小₂乗法（_2SLS）。操作変数が一つだけなら、_IVと_2SLSは同値。

復習問題

出席確認用紙に解答し（用紙裏面を用いても良い）、退出時に提出せよ。 1. 次の需要曲線・供給曲線の構造型を考える。

需要曲線_{: Yi= α0+ α1Xi+ α1Zi+ ui, (26)} 供給曲線_{: Yi= β0+ β1Xi+ vi. (27)} Ziは需要曲線のシフト要因である。誘導型を求めよ。また、ここで_IV推定できるのは、 需要曲線と供給曲線のどちらか？

2. どのような「実験」を行えば、需要曲線（需要量の価格に対する反応）を_OLS推定でき るか？