経済統計 2013 冬学期 Kengo Kato Appendix2

2013.10.9. (訂正版：10.10.) 有限母集団からの非復元抽出に対する中心極限定理

加藤 賢悟

本ノートでは，[1]に基づいて，有限母集団からの非復元抽出に対する中 心極限定理をなるべく平易に証明する¹．標準的な確率論の教科書では扱われ ないトピックなので，改めてノートとしてまとめてみた．なお，本ノートを 理解するのに，（分布収束と特性関数の収束の同値性を認めれば）いわゆる教 養レベルの解析学を超える知識は必要ない．従って，証明は初等的であるが， ある程度数学的な慣れがないと難しく感じられるかもしれない．

{a1, . . . , a_N}を有限母集団とし，X₁, . . . , X_{n (n ≤ N)}を_{a1, . . . , a_N}か らの非復元無作為抽出とする．母集団平均・分散をそれぞれ

µ_N = ¹ N

N

∑

j=1

a_j, σ_N² = ¹ N

N

∑

j=1

(a_{j− µN})²

とおく．最後に，

D²_N =

N

∑

j=1

(a_{j− µN})², D²_N,n= ⁿ N

(

1 −_N^n)D2n

とおく．講義と同様にして，次のような漸近論を考える．

仮定. 標本サイズnは母集団のサイズNに応じて決まり，Nによって添え字 つけられているとする：n = n_N．さらに，_{N → ∞}となるとき，n_{N → ∞}と なるものとする．

以上の準備の下で，次の定理を示す．

定理（Erd¨os-R´enyi）．_{n ≤ N/2}であって，任意のϵ > 0に対して， 1

D_N²

∑

|aj−µN|>ϵDN,n

(a_{j− µN})² _{→ 0, N → ∞}

1_論文[1]の証明はいくつか軽微なミスがあるが，このノートでは訂正されている，はず．

を仮定する．このとき， 1 DN,n

n

∑

i=1

(X_{i− µN})→ N(0, 1), N → ∞.^d

証明．一般性を失うことなく，

µN = 0 を仮定してよい．和X1+ · · · + X^{nの特性関数を}

φN,n(t) = E[e^{it(X1+···+Xn)}_{], t ∈ R}

とおく．N (0, 1)の特性関数がe^−t2/2であることを思い出すと，

N →∞lim ^{φN,n(t/DN,n) = e}

−t²/2_{, t ∈ R}

を示せばよい．t = 0の場合は自明なので，_{t ̸= 0}の場合のみ考えればよい．

以下，_{t ̸= 0}を任意に固定する．証明を4ステップに分ける．

ステップ¹．まずφ_N,n(t)を変形していく．任意の_{1 ≤ j}1 < · · · < jn≤ N に対して，

P ({X1, . . . , X_{n} = {aj1}, . . . , a_{jn}) = (N}¹

n

) であることに注意すると，

φ_N,n(t) = _(N¹

n

)

∑

1≤j₁<···<jn≤N

e^{it(aj1+···+ajn)},

と書ける．

p = ⁿ

N^{, BN,n(p) =} (N

n )

pⁿ_{(1 − p)}^{N −n} とおく．次の補題を示す．

補題．

φN,n(t) = ¹ 2πB_N,n(p)

∫ π

−π





N

∏

j=1

{(1 − p) + pe^i(θ+taj)}



e^−iθndθ.

補題の証明．積分の中の積を展開すると，

N

∏

j=1

{(1 − p) + pe^i(θ+taj)} =

N

∑

k=1

p^k_{(1 − p)}^{N −k}e^{ikθ ∑}

1≤j1<···<jk≤N

e^{it(aj1+···+ajk)}.

さらに，

1 2π

∫ π

−π

e^iθ(k−n)dθ =







1, k = n, 0, k ̸= n, に注意すると，補題の結論を得る．

a₁+ · · · + aN ^{= 0}に注意すると，





N

∏

j=1

{(1 − p) + pe^i(θ+taj)}



e^−iθn

=

N

∏

j=1

{(1 − p)e^{−ipθ+ pe}i((1−p)θ+ta_j)

} (∵ p = n/N)

= e^{−ipt(a1+···+aN)}

N

∏

j=1

{(1 − p)e^{−ipθ+ pe}i((1−p)θ+taj)

} (∵ a1+ · · · + aN ^{= 0)}

=

N

∏

j=1

{(1 − p)e^{−ip(θ+taj)+ pe}i(1−p)(θ+taj)

}.

従って，

φN,n(t) = ¹ 2πB_N,n(p)

∫ π

−π





N

∏

j=1

{(1 − p)e^{−ip(θ+taj)+ pe}i(1−p)(θ+taj)

}



dθ. ここで，スターリングの公式

k! ∼^{√2πkkke−k}, k → ∞ (bk∼ ck ⇔ bk^/ck→ 1, k → ∞) を用いると，N → ∞, n → ∞^で，

BN,n(p) = ^{N !} n!(N − n)!^p

n(1 − p)^{N −k} ∼ √¹ 2π

√ N n(N − n) ⁼

1

√2πNp(1 − p)^.

この結果を使うと，

φ_N,n(t/D_{N,n) ∼}

√N p(1 − p) 2π

∫ _π

−π

[_∏^N

j=1

{(1 − p)e^{−ip(θ+taj/DN,n)}

+ pei(1−p)(θ+taj/DN,n)_}^]_dθ.

θ = θ^′/_{√Np(1 − p)}と変数変換すると，

φ_N,n(t/D_{N,n) ∼ √}¹ 2π

∫ π^√N p(1−p)

−π^√N p(1−p)





N

∏

j=1

gj(θ, t)



dθ (*)

と書き直すことができる．ただし，

g_j(θ, t) = (1 − p)e^−ip(θ/√N p(1−p)+taj/D_N,n)_{+ pe}i(1−p)(θ/^√N p(1−p)+taj/D_N,n)_.

ステップ²．次に，ϵ = ϵ_{N → 0}をD_N^−2∑_|aj|>ϵDN,na²_{j → 0, ϵ}⁻²= O(n^1/2) となるように選ぶ．例えば，

ϵ_N = inf







ϵ > 1/n^1/4: ¹ D²_N

∑

|aj|>ϵDN,n

a²_{j ≤ ϵ}







とすればよい．|θ| ≤ 2ϵ√Np(1 − p)^{において積∏N}j=1^{gj(θ, t)を展開する．}

まず，

|e^it− 1 − it| ≤ ^|t|

2

2 ^,    

e^it_{− 1 − it +} ^t

2

2    ^≤

|t|³

6 ^{, t ∈ R} なる不等式を用いると（証明はテイラーの定理を使えばよい），

|gj(θ, t) − 1| ≤ ^{p(1 − p)}

2 ^(θ/√Np(1 − p) + taj^/DN,n⁾² ≤ ^θ

2

N ⁺ t²a²_j D²_N^,

|g^j(θ, t) − 1 +¹₂^{(θ/√N + taj/D}N⁾²|

≤ ^{p(1 − p)}₆ |θ/√Np(1 − p) + taj^/DN,n|^3, と評価できることに注意する．さらに，積^∏N_j=1を

N

∏

j=1

= ^∏

|aj|>ϵDN,n/|t|

× ^∏

|aj|≤ϵDN,n/|t|

と分解し，_|aj| > ϵDN,n/|t|^と|aj| ≤ ϵDN,n/|t|の場合に分けて考える．以下， C₁, C₂, . . . は正の絶対定数とする．

まず，|θ| ≤ 2ϵ√Np(1 − p)に関して一様に，

∑

|aj|>ϵDN,n/|t|

(θ²/N + t²a²_j/D²_{N) ≤ C}1_{p(1 − p)}

∑

|aj|>ϵDN,n/|t|

1 + o(1)

≤ ^C1t

2

ϵ²D_N²

∑

|aj|>ϵD_N,n/|t|

a²_j+ o(1) = o(1), (**)

であるから，

log(1 + x) = (1 + o(1))x, x → 0, ^(*3) より，

∏

|aj|>ϵDN,n/|t|

g_j(θ, t) = e^o(1). また，_|aj| ≤ ϵDN,n/|t|^{なるjに対して，}

|gj(θ, t) − 1 +¹₂^{(θ/√N + ta}j^/DN⁾²| ≤ ^C₂^{2ϵ(θ/√N + ta}j^/DN^)2,

だから，

g_j(θ, t) = 1 − ^{1 − ηj}₂^{(θ, t)ϵ(θ/√N + ta}j^/DN⁾², |ηj(θ, t)| ≤ C2

と展開できる．ηj = ηj(θ, t)と引数を省略すると，

∏

|aj|≤ϵDN,n/|t|

g_j(θ, t) = ^∏

|aj|≤ϵDN,n/|t|

{

1 −^{1− η}₂ ^{jϵ(θ/√N + ta}j^/DN⁾²

} ,

と表せる．いま，|θ| ≤ 2ϵ√Np(1 − p)^{に関して一様に，}

∑

|aj|≤ϵDN,n/|t|

(θ/^√N + taj/DN)² =

N

∑

j=1

(θ/^√N + taj/DN)²+ o(1) _{(∵ (∗∗))}

= θ²+ t²+_√^2tθ N

N

∑

j=1

a_j

D_N ^{+ o(1),}

であって，

√2tθ N

N

∑

j=1

a_j D_N

≤ √^C3ϵ N      

n

∑

j=1

a_j D_N

≤ C3^ϵ.

ここで，_|^∑N_j=1a_j/D_{N| ≤}^√N (^∑N_j=1a²_j/D_N²)^1/2 =^√N（シュワルツの不等 式！）という事実を使った．再び(*3)を使うと，|θ| ≤ 2ϵ√Np(1 − p)におい て一様に，

log ^∏

|aj|≤ϵDN,n/|t|

g_{j(θ, t) = −}^{1 + o(1)} 2 ^(θ

2_{+ t}2_{+ o(1))}

である．従って，

N

∏

j=1

g_j(θ, t) = exp {

−^{1 + o(1)} 2 ^(θ

2_{+ t}2_{+ o(1))}

} ,

と評価できる．

ステップ³．このステップでは，^∏N_j=1g_j(θ, t)の|θ| > 2ϵ√Np(1 − p)^で の評価を行う．ここで，複素数値関数

h(y) = (1 − p)e^{−ipy+ pei(1−p)y}, y ∈ R, を考える．次の補題を示す．

補題．0 < ϵ ≤ π/2^とする．ϵ ≤ |y| ≤ π^{に対して，}

|h(y)|² ≤ 1 − 2p(1 − p)(1 − cos ϵ).

補題の証明．簡単な計算により，

|h(y)|² = h(y) · h(y) = p²+ (1 − p)²+ 2p(1 − p) cos y

= 1 − 2p(1 − p)(1 − cos y),

であって，ϵ ≤ |y| ≤ π^{において，}cos y ≤ cos ϵ^である．

この補題より，|θ| > 2ϵ√Np(1 − p), |aj| ≤ ϵDN,n/|t|^のとき，|gj(θ, t)|² ≤ 1 − 2p(1 − p)(1 − cos ϵ)^{がわかる．}|aj| > ϵDN,n/|t| ^{のときは自明な評価}

|g^j(θ, t)| ≤ 1^{を使うと，2ϵ}√Np(1 − p) < |θ| ≤ π√Np(1 − p)において，

N

∏

j=1

|gj(θ, t)| ≤ ^∏

|aj|≤ϵDN,n/|t|

√1 − 2p(1 − p)C(ϵ) (C(ϵ) = 1 − cos ϵ)

≤ e^o(1)(1 − 2C(ϵ)p)^{N/2= eo(1)} (

1 −^2C(ϵ)n_N )N/2

≤ e−C(ϵ)n+o(1)_.

ここで，C(ϵ) = O(ϵ²)であって，ϵ²_{n ≥ C4}n^1/2だから，最右辺は_{≤ e}^{−C4n1/2+o(1)} である．

ステップ⁴．いま，

(*)の右辺= _√¹ 2π

{∫

|θ|≤2ϵ^√N p(1−p)

+

∫

2ϵ^√N p(1−p)<|θ|≤π^√N p(1−p)

}

=: I+II,

と分割したとき，ステップ2の結果より，I = e^−t2/2+ o(1)であり，一方，ス テップ3の結果より，_{|II| ≤ C}5e^{−C4n1/2+o(1)√}n = o(1)である．以上より，求 める結果を得る．

References

[1] Erd¨os, P. and R´enyi, A. (1959). On the central limit theorem for samples from a finite population. Publ. Math. Inst. Hungarian Acad. Sci. 4 49-61.