統計学 I (H25 前期 水曜 3限 & 5限） Toshihide Kitakado's Website Lec5 rev

統計学 ル

門 利英 海洋生物資源学科

Lecture 5

本日 予定

基本事項

離散型 布 基本

 ^{離散型 布 基本}

 ^{2 項 布}

 ^{ポ ソン 布}

例題

 ^{視聴率調査}

 ^{視聴率調査}

離散型 布 基本

離散型 布 基本

( ^前々回 ) ^{メ 数 確率 布}

確率変数

( 1 1) 0 5

P Y _{ }

メス

数

1

1

( 1) 0.5

( 2) 0.5

P Y

P Y _{ }

( 2 1) 0.25

( 2) 0 375

P Y

P Y

  ^{1 確率 年目 0.5 0.5}

2 ^年目

2

2

( 2) 0.375

( 3) 0.25

P Y

P Y

 

 

2 ^年目

確率

0.25 0.375 0.25 0.125

 

( ^{前回 株価 散投資 話}

離散型 布

銘柄

(

500) 0.5

P Y _{ }

[ _A ] 100

E Y _

( )

( 300) 0.5

[ ] 100

A A A

P Y

E Y

  

 ^{‐300 0 500}

  ^{2 2}

[

]

 ^{( 300) 100  }  ^{2 0.5 } _ ^{500 100 } _ ^{2 0.5}

[ _A ]

V Y _

160,000



銘柄

(

6000) 0.3

P Y _{ } ^{E Y [ B ]  400}

( 2000) 0.7

[ ] 400

B B

P Y

E Y

  

 _{‐2000 ‐2000} 0 0 6000 6000

 ( 2000) 400 _{ }  ² _{0.7  } 6000 400 _{ } ² _0.3

[ _B ]

V Y _

離散型 確率変数 確率 布

離散型 布 確率関数 離散型 布

離散型確率変数：整数や自然数 離散的 値

離散型確率 布：離散型確率変数 対 確率 布

離散型確率 布：離散型確率変数 対 確率 布

{ } ^空

( _i ) ( 1, 2,...)

P Y _ y i _

1 2

{ , y y , _ }

標本空間

確率 布

標本空間

値 対し 確率を

付与 き

( _i ) ( 1, 2,...)

P Y y i

確率 布

離散型確率 布 場合

付与 き

1 2

( ) ( ) ( , ,...)

f y _ P Y _ y y _ y y

離散型確率 布 場合，

1 2

( ) ( ) ( , ,...)

f y y y y y

確率関数 ぶ

確率関数 ぶ

離散型確率変数 期待値， 散，標準偏差 復習

確率変数 特性値 定義確認 離散型 布

期待値(expectati毎母) _{E Y [ ]   y P Y i  (  y i )}

散(varia母ce) _{[ ] ( [ ])}

_{( )}

i i

V Y _{ } y _ E Y _ P Y _ y

i

[ ] ( _i [ ]) ( _i )

i

V _ y y

標準偏差(sta母dard deviati毎母) _{SD Y [ ]  V Y [ ]}

標準偏差(sta母dard deviati毎母) _{SD Y [ ]  V Y [ ]}

期待値 散 性質

[ _{A A B B} ] _A [ _A ] _B [ _B ]

E _{   } Y _ Y _{  } E Y _{  } E Y

期待値 散 性質

2 2

[ _{A A B B} ] _A [ _A ] _B [ _B ] ( _{A B} )

V _{   } Y _ Y _{  } V Y _{  } V Y Y _ Y

2項 布

Bi母毎mial distributi毎母

2 ^{項 布}

2^{項 布}

皆さ ，コ ン 1枚取 出 ，そ 5回投

み 表 数 ウント ㄦさい

み 表 数 ウント ㄦさい

Y ^{度数 観測頻度 理論頻度}

Y=y ^{度数 観測頻度 理論頻度}

0

1

2

3

4

4

5

2 ^{項 布}

2^{項 布} 定義

確率変数 _Y 試行数 _N 分 試行 成功確率 _{p (0} ≦ _p ≦ ₁₎  

2項 布 従う _Y 確率関数

2項 布 従う ， _Y 確率関数

  N

( ) ^{N y} (1 ) ^{N y} ( 0,1, 2,..., )

P Y y p p y N

y

  

  _{ }  

 

いう． く ，

~ ( , )

Y Bin N p

略記 ．

例： _mtDNA ハプロタ プ観測 確率 布

ハプロタ プ ウント 確率 布

2^{項 布}

ハプロタ プ ル : AラTTCイ

ハプロタ プ ルル : TラTTCイ

集団中 割合 p : (1切p)

個体 ランダム

ンプリン

ンプリン 5個体 う ，

ハプロタ プ ル 持 個体 数

{ }

Y _

例： _mtDNA ハプロタ プ観測 確率 布

ハプロタ プ ウント 確率 布

2^{項 布}

サンプ ングし ₅ 個体 う ，ハプロタイプ _I   を持 個体 数

○ ハプロタイプ _I

{0,1, 2, 3, 4, 5}

Y _

0

Y _ ^×××××

○ ハプロタイプ _I

× ハプロタイプ _II

3

Y

0 1通

Y _ ^×××××

1

Y _ ^○××××

○

3

Y _

1通

×○×××

××○××

×××○×

5通

××××○

2

Y _ ^{Y  4}

5

Y 5

Y _

例： _mtDNA ハプロタ プ観測 確率 布

ハプロタ プ ウント 確率 布

2^{項 布}

{0,1, 2, 3, 4, 5}

Y _

( ) ( ) 5

p  _= 0.5 ^き

確率関数 値を計算し，

5

4

( 0) 1 (1 )

( 1) 5 (1 )

P Y p

P Y p p

   

    

先程 表 記入し 下さい

2 3

( 1) 5 (1 )

( 2) 10 (1 )

P Y p p

P Y _{    } p p

3 2

4 1

( 3) 10 (1 )

( 4) 5 (1 )

P Y p p

P Y p p

    

 

5

( 4) 5 (1 )

( 5) 1

P Y p p

P Y p

    

  

5 _y 5 _{ y}

    _{ }  

確率関数 ラフ

2^{項 布}

確率 布 統計推測 必要 訳

2^{項 布}

個体 ランダム ンプリン 時，Y 観測値 ０～5

．一方 ，本当 ハプロタ プル 頻度 ₀   ≦ _p ≦ ₁  

あ ， 真 い．そ デヸタ

観測 推測 統計学 推定問題

Y=y p=0.3 p=0.5 p=0.8

0 0.1681 0.0313 0.0003

1 0.3602 0.1563 0.0064

2 0.3087 0.3125 0.0512

3 0.1323 0.3125 0.2048

4 0.0284 0.1563 0.4096

確率 布 統計推測 必要 訳

2^{項 布}

引 続 ， Y=3 出現 ．

確率 パラメヸタ 値 異 ．

Y=y ^ヷヷヷ p=0.3 ^ヷヷヷ p=0.5 ^ヷヷヷ p=0.8 ^ヷヷヷ

3 0 132 0 312 0 205

3 0.132 0.312 0.205

う パラメヸ

タ 推定方法

タ 推定方法

最尤推定法

いう

いう

2 ^{項 布 性質} (I)

2^{項 布}

0

( )

N

N y N y

y

a b N a b

y





 _{  }  

  

2 ^{項定理 よ}

0

y _{ } ^y

( ) (1 ) 1

N N

y N y

P Y y N p p

y

 

  _{ }  

   

[ ] (1 ) ! (1 )

N N

y N y y N y

N _N

E Y _ ^{ } _{ }

_

0 0

y

y

_{ } ^y

0 1

1

[ ] (1 ) (1 )

!( )!

( 1)!

y N y y N y

y y

N

N

E Y y p p y p p

y y N y

N

 

 

   _{ }   

  



 



1

( 1)!

(1 )

( 1)!( )!

( 1)!

y N y

y

N

Np N p p

y N y

N

 





 

 



1

1 0

( 1)!

(1 )

!( 1 )!

N

z N z

z

Np N p p

z N z

 



  

  

離散型 布 散 関 大 公式

2^{項 布}

[ ] ( _i [ ]) 2 ( _i )

V Y _{ } y _ E Y _ P Y _ y

2

( ) ( )

[( [ ]) ]

i i

i

y y

E Y E Y

 



2 2

2 2

[ 2 [ ] [ ] ]

[ ] [2 [ ]] [ [ ] ]

E Y Y E Y E Y

E Y E Y E Y E E Y

    

    

2 2

2 2

[ ] [ [ ]] [ [ ] ]

[ ] 2 [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

E Y E Y E Y E Y

E Y E Y

   

2 2

2

[ ] [ ]

[ ( 1) ] [ ]

E Y E Y

E Y Y Y E Y

 

   

[ ( 1)] [ ] [ ] 2

E Y Y E Y E Y

   

2 ^{項 布 性質} (2)

2^{項 布}

0

[ ( 1)] ( 1) (1 )

N

y N y

y

E Y Y y y N p p

y





     _{ } 

 ₀  

2 2

2

( 2)!

( 1) (1 )

( 2)!( )!

y

N

y N y

y

N N p N p p

y N y



 

  

  

 

 _{y  2 ( y 2)!( N y )!}



( 1) 2

N N p

 

[ ] [ ( 1)] [ ] [ ] 2

V Y _ E Y Y _{ } E Y _ E Y

2 2

[ ] [ ( 1)] [ ] [ ]

( 1) ( )

V Y E Y Y E Y E Y

N N p Np Np



   

視聴率調査 ₁

ハプロタ プ ウント 確率 布

2^{項 布}

関東地区日曜6時 0 調査 ^{p ： エさ 見 い 人 割合}

割合

但 ，視聴率 推定値 標準

偏差 0.01以ㄦ い

1 _‐p ^{： エ 見 い い人 割合}

何世帯 ンプリン

い あ う ？

見 い

NHK

テレ朝

エさ

い あ う ？ ^NHK

NHK

見 い

エさ

エさ

~ ( )

Y Bin N p

BS

テレ朝

エさ

エさ

~ ( , )

ˆ

Y Bin N p

p _ Y

NHK

教育

エさ

p N

視聴率調査 ₂

ハプロタ プ ウント 確率 布

2^{項 布}

ˆ ^Y

p ^ N

 

1 1

[ ] ˆ ^Y

E p E E Y Np p

N N N

   _{ }   

 

 

2 2

1 1 (1 )

[ ] ˆ (1 )

N N N

Y p p

V p V V Y Np p

N N N N

  

   _{ }    

  ^{N N 2   N 2 N}

   

し 調査前 _p 未知 値

(1 )

[ ] ˆ ^{p p} 0 01

SD [ ] ^{p (  p )} _ 0.01 ^{し，調査前 p   未知 値}

SD p ^ N ^

左辺 _{0 5} 時 最大 従 _{0 5} を想定す ば

左辺 _p=0.5 時 最大．従 ， _p=0.5 を想定す ば



視聴率調査 ₃

ハプロタ プ ウント 確率 布

2^{項 布}

視聴率50％ 番組

う少 現実 値 考え 高々p=0 2 想定

う少 現実 値 考え，高々p 0.2 想定

0. (1 0.2)

[ ] ˆ 0 1 1600

SD p [ ] _ ^{2 } _ 0.1 _ N _ 1600

SD p N

 N   

高々p=0 1 想定

高々p=0.1 想定

0. (1 0.1)

[ ] ˆ 0.1 900

SD p [ ] _ ^{1 } _ 0.1 _ N _ 900

SD p N

N ^{  }

う 必要 さ 精度 散 応 ンプル数

う ，必要 さ 精度 散 応 ンプル数

関 決定 ㄦ ．

，ビデ リ ヸチ 関東 600世帯 ンプリン

，ビデ リ チ 関東 600世帯 ンプリン

漁具 選択性 ₍₁₎

ハプロタ プ ウント 確率 布

2^{項 布}

Codend ¹

選択率 p(l)

p(l)

Codend

p( )

網目大

網目小

0 体⻑ l

e x p ( )

( ) l ^{a  b l} ( 0 b 0 )

ロ テ 曲線

選択率＝網目 遭遇 魚 網 保持さ 確率

p ( )

( ) ( 0 , 0 ) .

1 e x p ( )

p l a b

a b l

  

 

ロ テ ッ 曲線

漁具 選択性 ₍₂₎

ハプロタ プ ウント 確率 布

2^{項 布}

観測 例 _{10~12 12~14 14~16 16~18 18~20}

N 5 10 20 15 10 ( ) ^{exp( )}

1 ( )

a bl

p l bl

 

Y 0 2 11 11 9

( ) 1 exp( )

p _ a _ bl

階級値 確率 布

11cm Y 1 ^～ Bin(N 1 , p 1 )

11cm        _Y 1 Bin(N 1 ,  _p 1 )  

13cm Y 2 ^～ Bin(N 2 ,  _p 2 )  

15cm Y 3 ^～ Bin(N 3 ,  _p 3 )  

17cm Y 4 ^～ Bin(N ( 4 , , p )  _p 4 )  

19cm Y 5 ^～ Bin(N 5 ,  _p 5 )  

次回 _(5/22) 予定

基本事項

連続型 布

 ^{連続型 布}

 ^{正規 布}

 ^{ンマ 布，指数 布}

例題

 ^{体長測定デ タ}

 ^{体長測定デヸタ}

 ^{ラ 潜水浮ㄥ}