math minimum required

経済学を学ぶ上で

最低限必要な数学

慶田 昌之

2015 _{年 4 月 15 日}

概 要

経済学を学ぶ上で最低限必要な数学を記述する。

1 指数

1.1 指数法則

べき乗を次のように定義する。

xⁿ= x × · · · × x

| {z }

n_times

(1)

これをx の n 乗と呼ぶ。x を底、n をべき数、あるいは指数と呼ぶ。 べき乗の意味から、次のような指数法則が成立することは明らかである。

x^m_{· x}ⁿ = x^m+n (2) (x^m)ⁿ = x^m·n (3)

また、(2) 式から、次式が成り立つ。 x^m

x^{n = x}

m−n ₍₄₎

1.2 整数の指数

べき乗の定義が(1) 式であることから、指数 n は自然数であると考えられ る。一方で、(4) 式が成立することは、m や n が自然数から整数に拡張でき ることを意味する。自然な拡張は、(4) 式で m = n のケースで指数が 0 の場

∗立正大学経済学部

合を定義し、m < n のケースで指数が負の場合を定義することである。指数 が0 の場合は、次のように定義できる。

x^m

x^{m = x}

m−m_{= x}⁰_{= 1}

指数が0 の場合、底の値にかかわらず 1 である。 また、指数が負の場合は、次のように定義できる。

x⁰

x^{n = x}

−ⁿ₌ ¹

xⁿ

このように指数を整数に拡張することで、底が2 である場合を例にとると、 そのべき乗は次のようになる。

2⁴ = 16 2³ = 8 2² = 4 2¹ = 2 2⁰ = 1 2⁻¹ = ¹ 2 2⁻² = ¹ 4 2⁻³ = ¹ 8 2⁻⁴ = ¹

16

1.3 有理数の指数

さらに指数を有理数に拡張することを考える。(3) 式において、x を正の実 数としてm を 1/m で置き換えると、次の式が得られる。

x^mn = ⁽x^m1)

n

ここで、_x

1

m について考える。_x

1

m を_{m 乗すると、} (x^m1)

m

= x^m1·m= x

なので、_x

1

m _のm 乗は x となる。したがって、 x^m1 = ^m√x

となる。結局、

x^mn =^(m√x⁾ⁿ となる。

2 多項式

y = ax³+ bx²+ cx + d

3 _微分

3.1 多項式の微分

y = axⁿ dy

dx ^{= anx}

n−1

3.2 対数関数の微分

y = ln(x) dy

dx ⁼ 1 x

3.3 指数関数の微分

y = a^x

の微分、dy/dx を求める。両辺の自然対数をとると、 ln(y) = ln(a^x)

⇔   ln(y) ^{= x ln(a)} ここで、両辺を_{x で微分する。}

d ln(y) dx ⁼

d (x ln(a)) dx この両辺をそれぞれ変形する。

d ln(y) dx ⁼

d ln(y) dy

dy dx

= ¹ y

dy dx d (x ln(a))

dx ^{= ln(a) (5)}

ここで、(5) 式では、ln(a) が定数であることに注意する。したがって、次の 式が成立する。

1 y

dy

dx ^{= ln(a)} ここで、_{y = a}

x

であるので、 1 a^x

dy

dx ^{= ln(a)}

⇔  ^dy_dx ^{= axln(a)} であることがわかる。

さらにa = e である場合を考える。このとき ln(e) = 1 であることに注意 すると、

y = e^x dy

dx ^{= e}

x

とわかる。

3.4 偏微分

u = x^ay^1−a

∂u

∂x ^{= ax}

a−1_y1−a

∂u

∂y ^{= (1 − a)x}

ay^−a

4 _{最適化問題}

4.1 ラグランジュ乗数法

max u(x1, x2) (6) s.t. p1x1+ p2x2= I (7)

L _{= u(x1, x2}) + λ(I − p^1x1− p^{2x2) (8)}

∂L

∂x1

= ^∂u

∂x1 ^{− λp}

1= 0 (9)

∂L

∂x2

= ^∂u

∂x2 ^{− λp}

2= 0 (10)

∂u/∂x1

∂u/∂x2

= ^p1 p2

(11)

4.2 _全微分

du = ^∂u

∂x1

dx1+ ^∂u

∂x2

dx2 (12)

du = 0 のケースでは、

−^dx_dx²

1

= ^∂u/∂x1

∂u/∂x2

=^p1 p2

(13)

となる。