宿題 ゲーム理論 2011 HW2

ゲーム理論₂₀₁₁ 宿題₂¹

問題₁

宿題 ₁ 問題 ₆ で描かれた状況を思い出してみてください。ただし、一点だけ変 化を加え、まず企業₁が生産量_q1を選び、選ばれた_q1を知った上で企業₂が生 産量_q2を選ぶというゲームを考えましょう。

(a) ^宿題1^問題6(a)^{への答えを用いて、このゲームの（純粋戦略）ナッシュ均衡} をすべて求めてください。その際、ナッシュ均衡はある条件を満たす戦略の組 であることを思い出し、このゲームにおける企業 ₂ の戦略の定義に注意してく ださい。

(b) ^{ゲームの木を用いて、}このゲームの展開型表現を図示してください。その際、 必要な情報を失わない範囲で木の一部を省略した図を書いて構いません。

(c) このゲームについて、後ろ向き帰納法（backward induction^{）を用いて求め} られる戦略の組（部分ゲーム完全均衡）をすべて求めてください。

(d) このゲームのナッシュ均衡と部分ゲーム完全均衡のあいだにはどのような 違いがあるでしょうか？また、違いがあるにせよないにせよ、なぜそのような 結果になっているのでしょうか？ナッシュ均衡と部分ゲーム完全均衡の定義に 注意しながら、専門用語や数式を用いずにその理由を説明してみてください。 (e) ^宿題1^問題6(c)^{で求めた、}2つの企業の利益の和を最大化する生産量の組を 思い出してみましょう。その生産量と_(c)で求めた部分ゲーム完全均衡における 生産量のあいだにはどのような違いがあるでしょうか？また、その違いはなぜ 生まれたのでしょうか？部分ゲーム完全均衡の定義に注意しながら、専門用語 や数式を用いずにその違いが生まれた理由を説明してみてください。

1 ₆

月₂₆日。ご質問や間違いのご指摘は成田悠輔（[email protected]^） までお送りください。

(f)^{（おまけ）企業}2^が生産量q2を選ぶ際、企業₂は企業₁が選んだ_q1を知らな いという別の状況を考えてみましょう。この場合、後ろ向き帰納法を用いて戦 略の組を求めることはできるでしょうか？また、後ろ向き帰納法以外にもっと もらしい戦略の組を見つけることはできるでしょうか？これまでの講義の内容 やゲーム理論についての予備知識にはこだわらずに、自由に考えてみてくださ い。

問題₂

2 ^つの企業 1^と 2 が、それぞれ製品差別化された独自の製品を生産している市 場を考えましょう。（たとえば₁がコカ・コーラ、₂がペプシ・コーラだと想像 してみてください。）企業_iの製品に対する需要_qiは以下のように決まると仮定 します。

qi_=9-3pi_+pj

ここで、_piは企業_iの製品の価格、_j≠_iです。製品₁単位あたりの生産費用はど ちらの企業にとっても₂であるとします。この状況下で、まず企業₁が価格_p1

を選び、選ばれた_p1を知った上で企業₂が価格_p2を選ぶというゲームを考えま しょう。

(a) ^企業i^が価格piを選ぶとすると、もう一方の企業_jはどのように価格_pjを決 定するのが最適でしょうか？

(b) このゲームの（純粋戦略）ナッシュ均衡をすべて求めてください。その際、 ナッシュ均衡はある条件を満たす戦略の組であることを思い出し、このゲーム における企業₂の戦略の定義に注意してください。

(c) ^{ゲームの木を用いて、}このゲームの展開型表現を図示してください。その際、 必要な情報を失わない範囲で木の一部を省略した図を書いて構いません。

(d) ^{このゲームについて、後ろ向き帰納法（}backward induction^{）を用いて求め} られる戦略の組（部分ゲーム完全均衡）をすべて求めてください。

(e) このゲームのナッシュ均衡と部分ゲーム完全均衡のあいだにはどのような 違いがあるでしょうか？また、違いがあるにせよないにせよ、なぜそのような 結果になっているのでしょうか？ナッシュ均衡と部分ゲーム完全均衡の定義に 注意しながら、専門用語や数式を用いずにその理由を説明してみてください。 (f) 2つの企業の利益の和を最大化する価格の組_(p1_{*, p}2_*)を求めてください。

(g) ナッシュ均衡や部分ゲーム完全均衡における価格と_(p1*, p2*)^{のあいだには} どのような違いがあるでしょうか？また、その違いはなぜ生まれたのでしょう か？ナッシュ均衡と部分ゲーム完全均衡の定義に注意しながら、専門用語や数 式を用いずにその違いが生まれた理由を説明してみてください。

(h)^{（おまけ） 皆さんの}(g)に対する答えが正しければ、ナッシュ均衡や部分ゲ ーム完全均衡においては_(p1*, p2*)は実現しないという予測が得られたはずです。 では、どのようにすれば₂つの企業は_(p1_{*, p}2_*)を達成できるでしょうか？これ までの講義の内容やゲーム理論についての予備知識にはこだわらずに、自由に 考えてみてください。

(i)^{（おまけ）} (h)で皆さんが考えた方法でたしかに(p1*, p2*)^{を達成できるとし} ましょう。果たしてそれは望ましいことでしょうか？「望ましい」という言葉 が何を意味しているかも含め、これまでの講義の内容やゲーム理論についての 予備知識にはこだわらずに、自由に考えてみてください。