第３章練習問題２
付録で説明される「期待値繰り返しの法則（The law of iterated expectations）」を適用し ます。これを適用すると、以下の１）、２）と３）が証明されます。
1. ( ) [ ( )] 0
2 ( . ) [ ( ) ] ( ) 0
( )
3. ( ) 0
( ) ( )
i i i
i i i i i i i
i i
i i
i i
E u E E u X
E u X E E u X X Co vu X
Cov u X
Corr u X
Var u Var X
==
= = =
==
したがって、練習問題が証明されました。
付録：1. と2. の証明。 教科書では、確立変数を
,
i i
u X
と表示しましたが、ここでは、確立変数をX Y ,
とし、離散 確率分布を仮定して証明します。確率の記号は山本（１９９５）付録Ａ.4 と同じです。ま た周辺確率、条件付き確率に関しては、山本付録A.4 を参照してください。＜1. の証明：期待値繰り返しの法則（The law of iterated expectations）＞
1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
( )
( ) ( )
( , )
[ ( )] ( ) ( ) ( )
( )
( , ) ( , ) ( ) ( )
i n
j i i j
i
n n n n
i j
j i i j j i j
j i j i j
n n n n n
i i j i i j i i
j i i j i
P Y y
E Y X x y P Y y X x
P Y y X x
E E Y X x y P Y y X x P X x y P X x
P X x
y P Y y X x y P Y y X x y P Y y E Y
=
= = = =
= = = = =
=
= = = =
= =
= = = = = = =
=
= = = = = = = = =
∑
∑∑ ∑∑
∑∑ ∑ ∑ ∑
したがって
ここで、 は、Ｙの周辺 分布と呼ばれています。 詳しくは、山本（1995）の付録Ａ.4を参照してください。
＜2. の証明＞
1
1 1 1 1
1 1
( ) ( )
( , )
[ ( ) ] ( ) ( ) ( )
( )
( , ) ( )
n
j i i j
i
n n n n
i j
j i i j j i j
j i j i j
n n
i i j
j i
j j
j
E Y X x y P Y y X x
P Y y X x
E E Y X x X y P Y y X x P X x y P X x
P X x y P Y y X x E YX
x x
x
=
= = = =
= =
= = = =
= =
= = = = = = =
=
= = = =
∑
∑∑ ∑∑
∑∑
したがって
