2016.5.23. 出題：加藤賢悟 数理統計 宿題 6 (提出不要)
問題
記号は講義で用いたものに従うとする．以下，(Ω, F, P )を確率空間とする．
1. µ ∈ R, τ > 0に対して，N (µ, τ )のフィッシャー情報行列I(µ, τ )を計算せよ．
2. fをコーシー分布の密度関数とする．このとき，分布族{σ−1f ((·−µ)/σ) : µ ∈ R, σ > 0} に対して，フィッシャー情報行列I(µ, σ)を計算せよ．
3. (デルタ法). Ynをr.v.’sとし，あるθ ∈ Rとσ2> 0に対して，√n(Yn− θ)→ N(0, σd 2) とする．また，g : R → Rをθで微分可能な関数とする．このとき，√n(g(Yn)−g(θ))→d N (0, g′(θ)2σ2)を示せ．
4. µ ∈ R, σ2 > 0に対して，X1, . . . , Xn∼ N(µ, σ2) i.i.d.とする．このとき，σ =√σ2の MLE bσに対して，√n(bσ − σ)のn → ∞のときの漸近分布を導出せよ．
5. θ > 0に対して，[0, θ]上の一様分布をU [0, θ]と表す．X1, . . . , Xn∼ U[0, θ] i.i.d.に対
して，MLEがθ = Xb (n)で与えられることを確認せよ．また，n → ∞のとき，
n(θ − X(n))
→ Ex(1/θ)d
を示せ．従って，この例に対しては，MLEの漸近正規性は成り立たない．
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