講義ノート(法政2017年度) 福川賢治のホームページ

(1)

入門物理学 B 2017/10/26

入門物理学 B

第 6 回 (10/26) 波 (2)

・平面を伝わる波

- ホイヘンスの原理による波の反射・屈折 - 波の回折

・波の干渉 (振動の位相、ヤングの干渉実験) - 光のスペクトル

- 光の干渉の応用例 (構造色)

次回 (11/2) 波 (3) ・光速について (1)

・光のスペクトル (続き)

・ドップラー効果

・光の粒子説と波動説

法政大学市ヶ谷リベラルアーツセンター兼任講師福川賢治 (https://sites.google.com/site/kfukukawa00/hosei2017)

1

(2)

2017/10/26 入門物理学 B

平面を伝わる波

平面の波の表し方… 同じ時刻に同じ状態 (山なら山、谷なら谷) の点を結んでできる面 (波面) を用いて表す。

波は波面に垂直に進む (点線の方向、点線を射線と呼ぶ)

直進する直線波

円形のパルス波の広がり方ある瞬間の波面から次の瞬間の波面を

知る方法としてホイヘンスの原理が知られている。 Christiaan Huygens

(1629-1695、オランダ) 数学者、物理学者、天文学者 1. 土星の環の発見

2. 振り子時計の製作 3. 光の波動説等の業績画像は Wikipedia より引用

2

波長

(3)

入門物理学 B 2017/10/26

ホイヘンスの原理

ある瞬間の波面 (波の山) の各点が小さい波(素元波)を発生させる素元波は球面状に広がる。

ある瞬間の波面の各点から出た素元波を重ねあわせた時、素元波の波面の共通の接線 (包絡線)が新しい波面になる。例1. ホイヘンスの原理による波の直進

例2. 波の反射 C

例2の説明

波の速さを v,

点 D が点 Bに達する時間を t とすると、BD = vt

この時 A から出た素元波は C まで同じ速さで進む。

したがって、AC = vt AC = BD また角ACB = 角BDA = 90

△ACB △BDA

従って、緑色の角度が等しく、

角NAE (入射角)= 角NAC (反射角) B 反射面

A

D N

E

3

(4)

2017/10/26 入門物理学 B

例3. 波の屈折

境界面

空気

(屈折率 1) 速さ v¹

波長λ

波長λ/n

ホイヘンスの原理によると、空気から他の物質に入る時、波の速度が遅くなると

(物質中で波長がλ/nになることによる。振動数は

入射波と屈折波で一致する)、スネルの法則が示される。

物質 (屈折率 n > 1) 速さ vⁿ

(緑の角度)=入射角 i

(ピンクの角度)=屈折角 r

A B

C

D

従って、v¹/vⁿ=fλ/f(λ/n)

= AB sin i/(AB sin r) = sin i/sin r = n

4

琉球大前野さんのページ

http://irobutsu.a.la9.jp/movingtext/Kussetsu/index.html#page3 も参照。

(証明)

△ABC と△ABDに注目

波面の定義から、角ACB = 角ADB = 90 また、緑の角度同士、

ピンクの角度同士がそれぞれ等しい。

λ = BC = AB sin i , λ/n = AD = AB sin r

入門物理学 B

(5)

2017/10/26 入門物理学 B

波の回折

媒質中を伝わる波に対し、障害物が存在する時、

波が障害物の後ろに

回り込んで伝わる現象。

波動ならではの現象である。波長がスリット間の長さと同程度以上の場合には、

回折の程度が非常に顕著になる。

画像はWikimedia Commons より引用

Francesco Maria Grimaldi (1618 -1663,

伊ボローニャ大学)

5

画像はWikipediaより引用

例

電波 (=光) の届きにくい場所では、テレビの電波 (波長数 10 cm) よりも波長の長いラジオの電波 (波長数 m) のほうが届きやすい。

(6)

2017/10/26 入門物理学 B

振動の位相

位相 (phase)は、周期的な現象におけるタイミングを示す量で、正弦波の場合対応する円運動の角度で表される。

円運動を一方向から眺めると、振動現象が起こっている。

画像は金沢工業大学 KIT 物理ナビゲーション「物理」(単振動)の項より

干渉など 2 つの波の重ね合わせが起こる時の、位相の差が特に重要 2 つの振動の位相の差が 0 度 (山と山、谷と谷など) → 同位相 2 つの振動の位相の差が 180 度 (山と谷) → 逆位相

6

(7)

2017/10/26 入門物理学 B

振動の位相 (続き)

ある点で同位相の振動をする二つの波が到着

ある点で逆位相の振動をする２つの波が到着

時間

+

^{(重ね合わせ)}

₊

_{(重ね合わせ)}

= =

7

時間

ある点は大きく振動する (腹)

時間

ある点ではほとんど振動しない (節)

(8)

2017/10/26 入門物理学 B

¦l¹-l²¦/λ= 3/2 1 1/2 0 1/2 1 3/2 2 5/2 3

波の干渉

複数の波の重ね合わせにより、波が強めあったり弱めあったりすること例1. ２つの同位相で振動する波源からの波の干渉

簡単のため、2つの波源の振動数と波の振幅、波長が等しい場合を考える。二つの波の山と山がぶつかる所 (青の実線)で合成波が強く振動する。

この線を腹線と呼ぶ。また山と谷がぶつかる所 (赤点線) では波として振動しない。

この線を節線と呼ぶ。

干渉条件

(2つの波源が同位相で振動する場合) 強め合う条件 (腹線)

¦l¹-l²¦ = nλ

弱め合う条件 (節線)

¦l¹-l²¦ = (n+1/2)λ (n =0,1,2 … )

8

l

¹

l

²

(9)

2017/10/26 入門物理学 B

例2. 2つの波源の振動が逆位相の場合

¦l¹-l²¦/λ= 3/2 1 1/2 0 1/2 1 3/2 2 5/2

干渉の強め合う条件 (腹線 [青実線])

¦l¹-l²¦ = (n+1/2)λ

弱め合う条件 (節線 [赤の点線])

¦l¹-l²¦ = nλ (n は整数)

双曲線: 二つの定点(=焦点)からの

距離の差が一定であるような点の集まり節線や腹線は (直線のものを除いて)

波源を焦点とする双曲線である

9

(10)

2017/10/26 入門物理学 B

ヤングの干渉実験

^{(1801 年)}

Thomas Young (1773-1829、英)

英語版 Wikimedia ``material in Electronics/

Wave -Particle Duality/ The Two-slit Experiment より引用画像はWikipedia より引用

遠くにスクリーンを置き回折した光の干渉によって生じる明るい所 (合成波の山) と暗い所 (合成波の節) を観測することによって、

光の干渉が確認できる (光の波動説 [後述] の復活)

10

明線

暗線暗線

明線明線暗線暗線

(11)

2017/10/26 入門物理学 B

紫線同士の長さは等しくする→S¹と S²からの波は_同位相

OP=x, S¹S²=d, OQ = L とし、角 PQO=θとする。点 S¹から線分 S²P に下した垂線の足を R とする。

この時 S¹P と S²P はほぼ平行と考えると、角S²S¹R=θである。 2 つの波源 S1, S2 が通る光の経路差

S²P-S¹P S²R (S²S¹)sinθ= d sinθ= d OP/PQ d OP/OQ=d(x/L) 明線が見える (光が強め合う) 条件は d(x/L) = nλ

暗線が見える (光が弱め合う) 条件は d(x/L) = (n+1/2)λ (n = 0,1,2 … )

ヤングの実験の干渉条件

Q

光源 R

S⁰

S¹

S² 距離 L (x,d と比べ非常に長い) ^O

P

θ ^x

11

(12)

2017/10/26 入門物理学 B

ヤングの干渉実験 (続き)

ヤングの干渉実験で暗線が見える条件は、d(x/L) = (n+1/2)λ (nは整数) すなわち、x= (n+1/2)(L/d)λ

したがって、暗線どうしの間隔は、n が一つ増える時の x の増加量Δxになる。式で表すと、Δx=(L/d)λ

この式は、光の波長を拡大して観測していることに対応する波長λについて解くと、λ=(d/L)Δx

この式は、暗線(明線)どうしの間隔 Δx を測ると、光の波長λが決まることを示している。

上: 単色項による干渉縞下: 白色光による干渉縞

画像は独ハノーバー大学

Prof. Dr. Dietrich Zawischa氏のサイト https://www.itp.uni-hannover.de/

zawischa/ITP/multibeam.html より引用

12

(13)

2017/10/26 入門物理学 B

光のスペクトル

このようにして少なくとも可視光線の光の波長の長さを測ることができる。

可視光線の波長は文献により細かい値が異なるが、 360 400 nm - 760 830 nm

(1 nm=10^-9 m, 1m の10億分の1) 多くの色の光が集まっている白色光に対しては、

光の色によって明線のできる感覚が違うので、光の干渉縞が色づいて見える

(赤い明線のみが見えるところでは、赤く見える)。このように光の色(波長)で分けることを

分光^と呼ぶ。

(以前紹介したプリズムも分光器の一つである。)

画像は Wikipedia ``Electromagnetic Spectrum より引用、

Photo by Victor Blacos, (1st October, 2012), CC-BY-SA 3.0ライセンスより改変

振動数波長

13