第3回演習問題 lecture Shinya Sugawara（菅原慎矢）

統計学 ^I 演習 ^, 第 ³ 週

菅原慎矢

April 28

1 Σ 記号に関する問題 , continued

公式

n

∑

i=1

(xi+ yi) =

n

∑

i=1

xi+

n

∑

i=1

yi (1)

n

∑

i=1

c = nc (2)

n

∑

i=1

cxn = c

n

∑

i=1

xi (3)

n

∑

i=1

xi = n¯x (¯xの定義より) (4)

また、平均・標本分散の定義は下記である

¯

x = ¹ n

n

∑

i=1

xi (5)

S² = ¹ n − 1

n

∑

i=1

(xi − ¯x)² (6)

問題

以下では、標本 {x¹, ..., xn}の平均が ¯x, 標本分散が S²であるとする 1. ^∑n_i=1^(xi3⁻²

)を n, ¯x をもちいて表せ

3. ある自然数 m について、∑^m_j=1^∑n_i=1jxiを、m, n, ¯x を用いて表せ。なお、下記の 公式を用いて良い

n

∑

i=1

xi = 1 + 2 + ... + n = ¹

2^{n(n + 1) (7)}

4. ^(∑n_i=1xi

)²

を n, ¯x をもちいて表せ

5. 次の数列の和を Σ 記号を用いて表せ: x¹+ x³+ x⁵+ ... + x¹⁷

2 _解答

1.

n

∑

i=1

(_{xi− 2} 3

) = ¹ 3

n

∑

i=1

(xi− 2) (3)より (8)

= ¹ 3

(_∑ⁿ

i=1

xi−

n

∑

i=1

2⁾ (1)より (9)

= ¹ 3

(_∑ⁿ

i=1

xi− 2n⁾ (2)より (10)

= ¹ 3

(n¯x − 2n⁾ (3)より (11)

= ^{n(¯x − 2)}

3 ⁽¹²⁾

間違えやすい点: 一行目で

n

∑

i=1

(_x

i− 2 3

)

=⁽

n

∑

i=1

(xi− 2)

∑n i=1³

)

(13)

とはならない 2.

平均

1 n

n

∑

i=1

cxi = ⁽¹ n

)c

n

∑

i=1

xi (2)より (14)

= c⁽¹ n

n

∑

i=1

xi

) (15)

= c¯x (¯xの定義より) (16)

標本分散: 上記解答より、平均は c¯x. 標本分散の定義にこれを代入し 1

n − 1

n

∑

i=1

(cxi− c¯x)² = ¹ n − 1

n

∑

i=1

[c(xi− ¯x)]² (17)

= ¹ n − 1

n

∑

i=1

c²(xi− ¯x)² (18)

= ^{( 1} n − 1

)c²

n

∑

i=1

(xi− ¯x)² (2)より (19)

= c^{2( 1} n − 1

n

∑

i=1

(xi − ¯x)²⁾ (20)

= c²S² (S²の定義 (6) より) (21) 3.

m

∑

j=1 n

∑

i=1

jxi =

m

∑

j=1

j

n

∑

i=1

xi (3)より (22)

=

m

∑

j=1

j(n¯x) (4)より (23)

= n¯x

m

∑

j=1

j (3)より (24)

= n¯x · ^{m(1 + m)}

2 ^{(7)より (25)}

= ^{mn¯x(1 + m)}

2 ⁽²⁶⁾

4.

(_∑ⁿ

i=1

xi

)²

= (n¯x)² (4)より (27)

= n²x¯² (28)

5. いくつか解答がありうると思うが、一例は

x¹ + x³+ x⁵+ ... + x¹⁷=

9

∑

i=1

x_2i−1 (29)

3 _{前回演習未決分の解答}

3.1 _問題 1.2

• 二つの標本 {1, 2, 1, 2, 3}, {1, 2, 1, 2, 3, 91} について、平均・メジアン・ならびに最 大値・最小値一つずつを除いた刈り込み平均をもとめよ

• ふたつの集合の標本分散を求めよ。しんどかったら途中で挫折してかまわない 解答

{1, 2, 1, 2, 3}について:

• 平均: (1 + 2 + 1 + 2 + 3)/5 = 9/5

• メジアン: n = 5 なので大小順に並べたとき 3 番目の要素となり、2

• 刈り込み平均: 最大値は 3, 最小値は 1. それぞれ一つずつを除くという指示なの で、{1, 2, 2} の平均を求めればよく、答えは (1 + 2 + 2)/3 = 5/3

• 標本分散: 1 n − 1

n

∑

i=1

(xi− ¯x)² = ¹ 4

5

∑

i=1

(xi− 9/5)² (30)

= ¹

4[2 × (1 − 9/5)² + 2 × (2 − 9/5)²+ (3 − 9/5)²] (31)

= 7/10 (32)

最後の計算は充分しんどい {1, 2, 1, 2, 3, 91}について:

• 平均: (1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 91)/6 = 100/6 = 50/3

• メジアン: n = 6 なので大小順に並べたときの 3 番目,4 番目の要素の平均となるが、 これらが共に 2 なので 2

• 刈り込み平均: 最大値は 91, 最小値は 1. それぞれ一つずつを除くという指示なの で、{1, 2, 2, 3} の平均を求めればよく、答えは (1 + 2 + 2 + 3)/4 = 8/4 = 2

• 標本分散: 省略 (授業で示したとおり、しんどい), 正解は 1326.66...(Excel による 計算)

この問題で見たかったこと: 91 という異常に大きい値が入っているため、二つの標本は 平均・分散がかなり異なるが、メジアンや刈り込み平均と言った異常値に強い手法を用 いると、二つの標本は似ていることが示される

3.2 _問題 1.3.1

標本の標準化:

zi = ^{xi− ¯x}

S ⁽³³⁾

について、ziが平均 0, 標本分散 1 であることを示せ 解答

授業では全標本での標準化 (σ で割るもの) について ziが平均 0, 分散 1 であることを 示したが、それを標本 (S で割るもの) に関して示す問題。全標本の時とほとんど同じ式 展開で示せる

平均:

1 n

n

∑

i=1

zi = ¹ n

n

∑

i=1

xi− ¯x

S ⁽³⁴⁾

= ¹ n

1 S

n

∑

i=1

(xi− ¯x) (3)より (35)

= ¹ n

1 S

(_∑ⁿ

i=1

xi−

n

∑

i=1

¯

x⁾ (1)より (36)

= ¹ n

1 S

(_∑ⁿ

i=1

xi− n¯x⁾ (3)より (37)

= ¹ S

(₁ n

n

∑

i=1

xi− ¹ n^n¯x

) (38)

= ¹ S

(₁ n

n

∑

i=1

xi− ¯x⁾ (39)

= ¹ S

(

¯

x − ¯x⁾ (4)より (40)

= 0 (41)

標本分散: 上記より z の平均について ¯z = 0 であることを利用する 1

n − 1

n

∑

i=1

(zi− ¯z)² = ¹ n − 1

n

∑

i=1

(zi− 0)² (42)

= ¹ n − 1

n

∑

i=1

z_i² (43)

= ¹ n − 1

n

∑

i=1

(_{xi− ¯x} S

)²

(44)

= ¹ n − 1

n

∑

i=1

(xi− ¯x)²

S^{2 (45)}

= ¹

(n − 1)S²

n

∑

i=1

(xi − ¯x)² (3)より (46)

= ¹ S²

( ₁ n − 1

n

∑

i=1

(xi− ¯x)²⁾ (47)

= ¹ S^{2 × S}

2 (6)より (48)

= 1 (49)

3.3 _問題 1.3.2

偏差値 50 + 10ziについて、平均と標本標準偏差を示せ 解答

平均

1 n

n

∑

i=1

(50 + 10zi) = ¹ n

(_∑ⁿ

i=1

50 +

n

∑

i=1

10zi

) (1)より (50)

= ¹ n

(_∑ⁿ

i=1

50 + 10

n

∑

i=1

zi

)

(3)より (51)

= ¹ n

(

50n + 10

n

∑

i=1

zi

)

(2)より (52)

= 50 + 10⁽¹ n

n

∑

i=1

zi

) (53)

= 50 + 10¯z (54)

= 50 (55)

1 n − 1

n

∑

i=1

(50 + 10zi− 50)² = ¹ n − 1

n

∑

i=1

(10zi)² (56)

= ¹ n − 1

n

∑

i=1

100z²_i (57)

= 100^{( 1} n − 1

n

∑

i=1

z_i²⁾ (3)より (58)

= 100^{( 1} n − 1

n

∑

i=1

(zi− ¯z)²⁾ z = 0¯ より (59)

ここで、(6) より最右辺の括弧内は {z¹, ..., zn}の標本分散であるが、{z¹, ..., zn}の定義よ りこれは 1。よって偏差値の標本分散は

100 × 1 = 100 (60)

となる。標本標準偏差は標本分散の平方根なので、もとめる値は 10