第3回演習問題 lecture Shinya Sugawara(菅原慎矢)

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全文

(1)

統計学

I

演習

,

3

菅原慎矢

April 28

1

Σ

記号に関する問題

, continued

公式

n

i=1

(xi+yi) = n

i=1 xi+

n

i=1

yi (1)

n

i=1

c = nc (2)

n

i=1

cxn = c n

i=1

xi (3)

n

i=1

xi = nx¯ (¯xの定義より) (4)

また、平均・標本分散の定義は下記である

¯

x = 1

n

n

i=1

xi (5)

S2

= 1

n−1 n

i=1

(xi −x¯)

2

(6)

問題

以下では、標本{x1, ..., xn}の平均がx¯, 標本分散がS

2

であるとする

1. ∑n

i=1 (

xi−2

3 )

(2)

3. ある自然数mについて、∑m j=1

∑n

i=1jxiを、m, n,x¯を用いて表せ。なお、下記の

公式を用いて良い

n

i=1

xi = 1 + 2 +...+n= 1

2n(n+ 1) (7)

4. (∑n

i=1xi

)2

をn,x¯をもちいて表せ

5. 次の数列の和をΣ記号を用いて表せ: x1+x3+x5+...+x17

2

解答

1.

n

i=1

(xi−2

3

)

= 1 3

n

i=1

(xi−2) (3)より (8)

= 1 3

(n

i=1 xi−

n

i=1

2) (1)より (9)

= 1 3

(n

i=1

xi−2n

)

(2)より (10)

= 1 3

(

nx¯−2n) (3)より (11)

= n(¯x−2)

3 (12)

間違えやすい点: 一行目で

n

i=1 (x

i−2 3

)

=( n

i=1

(xi−2)

∑n i=13

)

(13)

とはならない

2.

平均

1

n

n

i=1

cxi =

(1 n

) c

n

i=1

xi (2)より (14)

= c(1 n

n

i=1 xi

)

(15)

(3)

標本分散: 上記解答より、平均はcx¯. 標本分散の定義にこれを代入し 1

n−1 n

i=1

(cxi−cx¯)

2

= 1

n−1 n

i=1

[c(xi−x¯)]

2

(17)

= 1

n−1 n

i=1 c2

(xi−x¯)

2

(18)

= ( 1

n−1

) c2

n

i=1

(xi−x¯)

2

(2)より (19)

= c2( 1 n−1

n

i=1

(xi −x¯)

2)

(20)

= c2 S2

(S2

の定義(6)より) (21) 3.

m

j=1

n

i=1

jxi = m

j=1 j

n

i=1

xi (3)より (22)

= m

j=1

j(nx¯) (4)より (23)

= nx¯ m

j=1

j (3)より (24)

= nx¯· m(1 +m)

2 (7)より (25) = mnx¯(1 +m)

2 (26)

4.

(n

i=1 xi

)2

= (nx¯)2

(4)より (27)

= n2

¯

x2

(28)

5. いくつか解答がありうると思うが、一例は

x1 +x3+x5+...+x17= 9 ∑

i=1

(4)

3

前回演習未決分の解答

3.1

問題

1.2

• 二つの標本{1,2,1,2,3},{1,2,1,2,3,91}について、平均・メジアン・ならびに最

大値・最小値一つずつを除いた刈り込み平均をもとめよ

• ふたつの集合の標本分散を求めよ。しんどかったら途中で挫折してかまわない 解答

{1,2,1,2,3}について:

• 平均: (1 + 2 + 1 + 2 + 3)/5 = 9/5

• メジアン: n = 5なので大小順に並べたとき3番目の要素となり、2

• 刈り込み平均: 最大値は3, 最小値は1. それぞれ一つずつを除くという指示なの

で、{1,2,2}の平均を求めればよく、答えは(1 + 2 + 2)/3 = 5/3

• 標本分散: 1

n−1 n

i=1

(xi−x¯)

2

= 1 4

5 ∑

i=1

(xi−9/5)

2

(30)

= 1

4[2×(1−9/5)

2

+ 2×(2−9/5)2

+ (3−9/5)2

] (31)

= 7/10 (32)

最後の計算は充分しんどい

{1,2,1,2,3,91}について:

• 平均: (1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 91)/6 = 100/6 = 50/3

• メジアン: n= 6なので大小順に並べたときの3番目,4番目の要素の平均となるが、 これらが共に2なので2

• 刈り込み平均: 最大値は91, 最小値は1. それぞれ一つずつを除くという指示なの で、{1,2,2,3}の平均を求めればよく、答えは(1 + 2 + 2 + 3)/4 = 8/4 = 2

• 標本分散: 省略(授業で示したとおり、しんどい), 正解は1326.66...(Excelによる

計算)

(5)

3.2

問題

1.3.1

標本の標準化:

zi =

xi−x¯

S (33)

について、ziが平均0, 標本分散1であることを示せ

解答

授業では全標本での標準化(σで割るもの)についてziが平均0, 分散1であることを

示したが、それを標本(Sで割るもの)に関して示す問題。全標本の時とほとんど同じ式 展開で示せる

平均:

1

n

n

i=1 zi =

1

n

n

i=1

xi−x¯

S (34)

= 1

n

1

S

n

i=1

(xi−x¯) (3)より (35)

= 1

n

1

S (∑n

i=1 xi−

n

i=1

¯

x) (1)より (36)

= 1

n

1

S (n

i=1

xi−nx¯

)

(3)より (37)

= 1

S (1

n

n

i=1 xi−

1

nnx¯ )

(38)

= 1

S (1

n

n

i=1

xi−x¯

)

(39)

= 1

S (

¯

x−x¯) (4)より (40)

(6)

標本分散: 上記よりzの平均についてz¯= 0であることを利用する 1

n−1 n

i=1

(zi−z¯)

2

= 1

n−1 n

i=1

(zi−0)

2

(42)

= 1

n−1 n ∑ i=1 z2 i (43) = 1

n−1 n

i=1

(xi−x¯ S

)2

(44)

= 1

n−1 n

i=1

(xi−x¯)

2

S2 (45)

= 1 (n−1)S2

n

i=1

(xi −x¯)

2

(3)より (46)

= 1

S2 ( 1

n−1 n

i=1

(xi−x¯)

2)

(47)

= 1

S2 ×S 2

(6)より (48)

= 1 (49)

3.3

問題

1.3.2

偏差値50 + 10ziについて、平均と標本標準偏差を示せ

解答 平均

1

n

n

i=1

(50 + 10zi) = 1

n (∑n

i=1

50 + n

i=1

10zi

)

(1)より (50)

= 1

n (n

i=1

50 + 10 n

i=1 zi

)

(3)より (51)

= 1

n (

50n+ 10 n

i=1 zi

)

(2)より (52)

= 50 + 10(1

n n ∑ i=1 zi ) (53)

= 50 + 10¯z (54)

= 50 (55)

(7)

1

n−1 n

i=1

(50 + 10zi−50)

2

= 1

n−1 n

i=1

(10zi)

2

(56)

= 1

n−1 n

i=1

100z2

i (57)

= 100( 1

n−1 n

i=1 z2

i

)

(3)より (58)

= 100( 1

n−1 n

i=1

(zi−z¯)

2)

¯

z = 0より (59)

ここで、(6)より最右辺の括弧内は{z1, ..., zn}の標本分散であるが、{z1, ..., zn}の定義よ

りこれは1。よって偏差値の標本分散は

100×1 = 100 (60)

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参照

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