H23 コマの物理から素粒子のスピン

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コマをうまく立たせるには？

→　どうして?

フリスピーをうまく飛ばすには？

→　何故?

剛体の力学

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剛体の力学の応用例

傾きの変化

ジャイロスコープ

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剛体とは

剛体

物体中の任意の２点の距離が常に一定のもの

外部からどのような力が加わろうとも全く変形しないもの

“オリハルコン”?

そんなものは現実には存在しない

“コマ”は剛体か？

想定している環境下で、外力による変形を “無視” できるもの 場合によっては軟式テニスボールだって剛体。

無理矢理外力を加えれば変形する。

でもコマの運動を考える時には “剛体” として考えても問題ない

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剛体の運動の自由度：　剛体の位置

剛体中の任意の２点間の距離は常に一定 基準の点を１点決めれば、

物体中の任意の点は決まる

剛体の位置　＝　基準の点の位置

O

⃗r = ₍ ^x _y

z ₎

自由度は３個

重心

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剛体の運動の自由度：　回転運動

回転運動

物体のある点を中心に回転する

回転運動

物体のある点を中心に回転する ^{基準点まわりの回転}

O

⃗r = ₍ ^x _y

z ₎

θ

回転角の数は３個

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３つの角度

剛体の重心を通る

「回転軸」

θ



剛体の回転 （x, y, z）軸それぞれのまわりの回転角

_θ

x

^{, θ}

^{, θ}

扱いにくい

回転軸と z 軸とのなす角 _λ



x-y 平面内で、

回転軸が y 軸となす角

_θ

回転軸まわりの回転角

_ϕ

x

y

z

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剛体の運動における自由度

並進運動＝重心の移動 _{r= } ^x _y

z _

回転運動:　３つの自由度

合計６個 の自由度を持つ

 ,  , 

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剛体の運動:　並進運動

並進運動

物体の各点が同じ方向に移動する

並進運動

物体の各点が同じ方向に移動する

基準点の運動を考えればよい 質点の運動　→　重点の移動

O

⃗r = ₍ ^x _y

z ₎

⃗v= ˙⃗r= ₍ ^˙x _˙y

˙z ₎

剛体各点 の速度

_⃗v

i

^{= ˙⃗r}

⁼ ₍

˙x

˙y

˙z

₎

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剛体の運動　回転運動

並進運動　＝　重心の運動方程式

固定点との距離 |r_i| 一定

F 

⃗L

_{= ⃗r}

_×⃗p

質量 m_i ^{の質点の集合}

O

回転運動　→　固定点を O とする。

m _i

⃗r _i

固定点に対する位置

_r

i

外力が作用すると

_{F }

i

外力のモーメントにより

˙⃗L

=

N 

= _r

× F ^

˙⃗L _{i =} N ^⃗ _i

角運動量が変化

N ⃗

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剛体の運動方程式 回転運動

∑ i

˙⃗L _{i = ∑}

i

N ⃗ _i

N  = _∑

i

N 

L = _∑

i

L

˙L ₌ N ^

F 

^m _i

⃗r _i

˙⃗L

= ^{N ⃗}

O

すべての質点について足し上げる

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剛体の運動方程式：　剛体を固定しない場合

重心の運動方程式

M ^d

2

_R

dt

^{= ∑}

F 

∑

i

m

= M

重心 O を基準点

∑

i

m

_⃗r

=0

重心周りの回転

∑

d L

dt ^{= ∑}

^r

^{× F}

M ¨⃗ R ₌ F ^⃗

˙⃗L ₌ N ^⃗

= _∑

i

N ⃗

F 

^m _i

⃗r _i

˙⃗L

= ^{N ⃗}

O ⃗R

O '

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重心

m

r

O

R

O '

r

重心

= ¹

M ^∑

^m

^⃗r

'

重心を基準点 O とする

M ⃗ R= _∑

i

m

⃗r

∑

i

m

_r

=0

⃗R= ^∑

m

⃗r

∑

m

^∑

^m

^{= M}

= _∑

i

m

M ^⃗r

'

M ⃗ R= _∑

i

m

₍ ⃗R+ _⃗r

₎ = _∑

i

m

⃗R+ _∑

i

m

_⃗r

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剛体の運動方程式の導出

位置ベクトル

_r

i

'

= Rr

m

₍ ¨⃗R+ _¨⃗r

₎ = F ^⃗

剛体全体

_∑

i

m

₍ ¨⃗R+ _¨⃗r

₎ = _∑

i

⃗F

M ¨⃗ R+ _∑

i

m

_¨⃗r

= F ^⃗

重心 O が基準 重心 O が基準

∑

i

m_iri=0

∑

i

m_{i ¨ri}=0

M ¨⃗ R ₌ F ^⃗

m

r

F 

O R

O '

r

微少部分

∑

i

m_i= M

_∑

i

F⃗_i=F^⃗

運動方程式

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剛体の運動方程式の続き

m

r

F 

O R

O '

r

˙⃗L

_=⃗r

× F ^⃗

微少部分の角運動量の変化

˙⃗L_i^'= ^d

dt

^{( (}

⁾

⁽

^{) )}

⃗R×

₍

₎

_∑

i

˙⃗L_i=⃗R× ⃗F+

_∑

i

⃗r_i^×F⃗ _i

˙L_i^'= ^d

dt

^

_

_

_

_

_

_{ }

∑

i

m_iri=0

∑

i

m_{i ˙ri}=0

重心を基準

⃗L_i d

dt

⁽

⁾

剛体全体では

M=

_∑

i

m_{i F}^₌

_∑

i

F_i

M ¨R= F

∑ ^˙L

⁼ ∑ ^r

^{× F }

˙⃗L_i^'= ^d

dt

⁽

'×m_i ˙⃗r_i^'

₎

∑

i

˙⃗L_i^'=

_∑

i

⃗r_i^'×F_i

˙⃗L

= ₍ ⃗R+ _⃗r

₎ × ⃗F

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剛体の運動方程式のまとめ

重心の運動方程式 重心の運動方程式

M ¨⃗R= F ^⃗

重心周りの回転 重心周りの回転

∑

˙L

= _∑

i

r

^{× F }

m

r

F 

O

R

O '

『重心の並進運動』　と　『重心周りの回転運動』

外力による

モーメントにより

重心周りの回転 重心周りの回転

˙L = N ^

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角速度ベクトルの導入

剛体の中の任意の２点間の距離がつねに一定

⃗L = _∑

i

⃗L

L = _∑

i

m

_r

× × _{ r}



L = _{ ∑}

i

m

_{∣ r}

_∣

_  _ − _∑

i

m

_r

_{ r}

⋅  _{ }

A×B×C^=BA⋅C^−C^ A⋅B

ω ⃗

ω ⃗

剛体内での座標：　　回転座標系 回転座標系で静止している質点

剛体（＝回転座標）の角速度ベクトル

= _∑

i

⃗r

^×(m

⃗v

⁾

剛体の角運動量

⃗v

^{= ω×} ⃗ ⃗r

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平面内での質点の運動

L = m r

ω

平面内での質点の運動

L = m r

ω

角運動量と角速度は平行 角運動量と角速度は平行

⃗L ∥ ω ⃗

角運動量ベクトルと角速度ベクトル

L = _{ ∑}

i

m

_{∣ r}

_∣

_  _ − _∑

i

m

_r

_{ r}

⋅  _{ }

角運動量と角速度は 平行でなくなる。

平面内での運動

_{⃗r ⊥ ω ⃗}

⃗r ^{⋅ ω=0 ⃗}

剛体内では必ずしも垂直ではない

⃗r ^{⋅ ω≠0 ⃗}

⃗r

⃗

ω

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剛体の角運動量

L = _{ ∑}

i

m

_{∣ r}

_∣

_ − _{ ∑}

i

m

_r

_{ r}

⋅  _{ }

∣^r∣²⁼

_

∣r∣² 0 0 0 _∣r_∣² 0 0 0 ∣r∣²

_

r _{xr⋅}=

_∑

k=x , y , z

r_k_kr_x=

_∑

k

 r_k r_x_k r _x(⃗r⋅⃗ω)=

₍

_{) (}

ω_x ω_y ω_z

₎

ベクトルの x 成分

⃗r(⃗r⋅ω⃗ )=

₍

r_x r_x r_x r_y r_x r_z r_y r_x r_y r_y r_y r_z r_zr _x r_zr _y r_z r_z

₎

⃗ ω

⃗r(⃗r⋅⃗^ω)=

_∑

k

∑

l

(r_k r_l)ω_k

δ_kl=

_{

行列成分

_∣

_∣

∣

∣

_∑

k

^∑

(

_∣

_∣

∣ ^⃗r ∣

^{ω − ⃗r ( ⃗r ⋅ ω ⃗ )=} _∑

k

^∑

( _{∣ ⃗r ∣}

δ

−r

r

) ω

⃗L = _∑

i

m

_{( ∣ ⃗r}

_∣

_{ω−⃗r ⃗}

_{( ⃗r}

_{⋅⃗ ω ) )}

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慣性テンソル

I

_{= ∑}

i

^m

( ^{∣ ⃗r}

^∣

^δ

^−r

^r

)

慣性テンソル

⃗L = _∑

i

m

_{( ∣ ⃗r}

_∣

_{ω−⃗r ⃗}

_{( ⃗r}

_{⋅⃗ ω ) )}

∣ ^⃗r ∣

^{ω − ⃗r ( ⃗r ⋅ ω ⃗ )=} _∑

k

^∑

( _{∣ ⃗r ∣}

δ

−r

r

) ω

⃗L = _∑

k

^∑

^∑

m

( _{∣ ⃗r}

_∣

δ

−r

r

) ω

L ₌ ^I _{ }

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慣性モーメント・慣性乗積

L ₌ ^I _{ }

I

_{= ∑}

i

^m

 ^{∣ r}

^∣

^

^−r

^r



慣性テンソル

k = l の場合

慣性モーメント

k ≠ l の場合

慣性乗積

I

_{= ∑}

i

^m

^{ r}

2

r

_

I

_{=− ∑}

i

^m

^r

^r

I ₌

_∑

i

m_i

_

y² z² −xy −xz

− yx x²z² − yz

−zx −zy x² y²

_

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慣性モーメント

r_i

m_i ω⃗

L _{i =m i} r _i ² _ω

I ₌

_∑

i

m_i

₍

y_i²+z_i² −x_i y_i −x_i z_i

− y_i x_i x_i²+z_i² −y_i z_i

−z_i x_i −z_i y_i x_i²+ y_i²

₎

回転半径 _r

i ^{、角速度 ω の場合}

質点の角運動量の大きさ

慣性モーメント

z 軸周りの回転 →

r

=x

+ y

x 軸周りの回転 →

r

= y

+z

y 軸周りの回転 →

r

=x

+z

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慣性テンソルとは

L ₌ ^I _{ }

I

_{= ∑}

i

^m

( ^{∣ ⃗r}

^∣

^δ

^−r

^r

)

m

r

O

R

O '

微少部分の質量 位置に依存 剛体中での「基準点に対する」質量分布 基準点が変化すれば慣性テンソルも変化

基準点に対し慣性テンソル I を持つ剛体を

基準点を中心に角速度ベクトル ω で回転させると 剛体は角運動量 L をもつ。

基準点に対し慣性テンソル ^I を持つ剛体を

基準点を中心に角速度ベクトル _ω で回転させると 剛体は角運動量 _L をもつ。

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剛体の運動

基準点に対し角運動量 _L を持つ剛体は、 その慣性テンソルを I とすると、

基準点周りに、角速度ベクトル _ω で回転している。

⃗

ω = ^{I −1 ⃗L}

L ₌ ^I _{ }

角速度ベクトルについて解くと・・・・

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剛体の運動

剛体の角運動量は

外力によるモーメントで変化する

˙L ₌ N ^

m

r

F 

O

R

O '

˙⃗L

= N ^⃗

角運動量と角速度ベクトルの関係から

˙⃗L _→ ˙⃗L '

⃗

ω ^' = ^{I −1 ⃗L '}

剛体の回転運動は、 慣性モーメント

角運動量に対する運動方程式 で理解出来る。

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I

_{= ∑}

i

^m

 ^{∣ r}

^∣

^

^−r

^r



I

_{= ∫ dV   ∣ r}

_∣

_

_−r

_r

_

I _{= }

∫ ^{ y}

^z

^{ dV −} ∫ ^{ xy dV −} ∫ ^{ xz dV}

− _∫  yx dV _∫  x

z

dV − _∫  yz dV

− _∫  zx dV − _∫  zy dV _∫   x

 y

 dV _

慣性テンソルの積分表示

r

m

= dV

剛体の微少部分の質量は、 その体積と密度の積

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慣性テンソルのいろいろ

z

r



回転軸（ z 軸）に固定されている半径　r₀^の円柱



=

_

_z

_

I _{  = }

I

I

I

I

I

I

I

I

I

_{ }

0

0



_

= _

I



I



I



_

剛体が z 軸まわり以外には回転しない場合 I_zz ^{のみを考える} r₀

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z

慣性テンソル　（慣性モーメントの計算）

m_i= dV_i

I

_{= ∫}

0 r₀

 r

dV

dz d 

r d  dr

I

_{= ∫}

0 2

d  _∫

dz _∫

0 r₀

dr  r

2  ^z

_{ r}

4

円柱の体積 V = π r₀² z₀ 円柱の質量 m = π r₀² z₀ ρ 円柱の体積 V = π r₀² z₀ 円柱の質量 m = π r₀² z₀ ρ

I

₌ ^{π z}

^ρr

4

2

ρ 一定 z

r₀ r

慣性モーメントの計算

dV =dz dr  r d 

z₀

0

= ^{m r}

2

2

r

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剛体の運動方程式と慣性テンソル

N  ₌ ˙L

N  ₌ ^d

dt ^{ I   }

もし回転軸に対する慣性テンソルが分かっているのであれば、

外力によるモーメントによって、回転軸まわりの角速度の変化量が分かる もし回転軸に対する慣性テンソルが分かっているのであれば、

外力によるモーメントによって、回転軸まわりの角速度の変化量が分かる

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回転軸に固定された　円盤・円柱　の回転運動

r



m

r₀ z₀

I

₌ ^mr

2

N

= I

^{d }

2

dt

角速度の時間変化

˙

⁼

N

I

⁼

2 F

mr

角速度の変化

大きな力 大

重い物体 小

半径の大きな物体 小

角速度の変化

大きな力 大

重い物体 小

半径の大きな物体 小 F⃗

回転軸と垂直に、

円柱側面に沿って外力 _F を作用させる 外力によるモーメント _N

z ^{= r}0 ^F

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回転軸に固定されていない剛体の運動

N ⃗ = ˙⃗L = ^d

dt ^{( I ω ⃗ )}

運動方程式

固定点まわりの『外力のモーメント』 _N 固定点まわりの『角運動量』 _L 固定点まわりの『慣性テンソル』 I 固定点まわりの『角速度ベクトル』 _ω

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コマの動き：　自転と歳差運動

角速度ベクトルが時間とともに変動 角速度ベクトルが２成分を持つ

  =  _

  _

計算の煩雑さを避けるため

『剛体に固定された座標系』 を使って考える。

計算の煩雑さを避けるため

『剛体に固定された座標系』 を使って考える。

空間に固定された座標系で

慣性テンソルを計算する事が原因 固定点まわりで回転しているので、

→　回転と共に　『慣性テンソル』　が変化 軸周りの回転（自転）に加えて、軸自体が回転（歳差）

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座標の取り方

剛体に貼り付いた座標（回転座標）を取る

座標軸はどのようにとるべきか?

コマの運動なら・・・ コマの軸方向（回転軸）コマの軸方向（回転軸）

垂直な軸➀ 垂直な軸➀

垂直な軸② 垂直な軸②

他の剛体では、どうやって軸を決めるべきだろうか?

安定な回転軸

『安定な回転軸』は存在するのだろうか？

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慣性主軸

y

x

z

固定点 O を原点とする (x, y, z) 座標軸に対する『慣性テンソル』が分かっている時 固定点 O を原点とする (x, y, z) 座標軸に対する『慣性テンソル』が分かっている時

OX方向を向いた

基本ベクトル

^⃗n= ₍

λ

μ

ν ₎

⃗r _i

OX軸 まわりの慣性モーメントを考える

l_i²=

_∣

_∣

₍

2

∣

∣

₎

l_i²=

_∣

_∣

θ

l

= _{∣ ⃗r}

_∣ sin θ

OX

⃗n

微小部分 ⃗r_i⁼

₍

₎

OX軸 ^{までの距離}

l_i²=

_∣

_∣

cos_i= ^n⋅ri

∣

∣ _∣

_∣

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慣性主軸

l_i²=

_∣

_∣

l_i²= x_i² y_i² z_i²− x_i y_i z_i²

l_i²= x_i² y_i²z_i²²²²− x_i y_i z_i²

l

=( y

+z

)λ

+(z

+x

)μ

+( x

+ y

) ν

I

=λ

_∑

m

( y

+z

)+μ

_∑

m

(z

+x

)+ν

_∑

m

( x

+ y

)

I

= −2  _∑

i

^m

^x

^y

^{−2  ∑}

^m

^x

^z

^{−2  ∑}

^m

^y

^z

n=

_



_

r_i=

_

_

²²²=1

−2 λ μ x

^y

−2 μ ν y

^z

−2 ν λ z

^x

I _OX=

_∑

OX軸 まわりの慣性モーメント

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慣性主軸

I

=

I



I

 I

2   I

2   I

2   I

この式の意味する事はなんだろうか？

I

=λ

_∑

m

( y

+z

)+μ

_∑

m

(z

+x

)+ν

_∑

m

( x

+ y

)

I

= −2  _∑

i

^m

^x

^y

^{−2  ∑}

^m

^x

^z

^{−2  ∑}

^m

^y

^z

I ₌

₍

I _xx I_xy I _xz I _yx I _yy I _yz I _yx I _yy I _yz

₎

=

_∑

i

m_i

₍

y_i²+z_i² −x_i y_i −x_i z_i

− y_i x_i x_i²+z_i² −y_i z_i

−z_i x_i −z_i y_i x_i²+ y_i²

₎

慣性モーメント

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楕円の方程式

x

a

⁺

y

b

⁼¹

−a a

b

−b

x

y

y ' x '

(

)

(

_{) (}

y '

₎

(

)

⁽

⁾ (

)

b

( x ' cos θ− y ' sin θ)

+a

( x ' sin θ+ y ' cos θ)

=a

b

(a

sin

θ+b

cos

θ) x '

+(a

cos

θ+b

sin

θ) y '

+2(a

−b

)sin θcos θ x ' y ' =a

b

楕円の方程式

θ

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楕円の方程式

−a a

b

−b

x

y

y ' x '

A

x '

+ A

y '

−2 A

x ' y ' =I

傾いた楕円の方程式

係数を Ax'x' 等でまとめる

I

=

I



I

 I

2   I

2   I

2   I

楕円体を回転させた方程式

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楕円の方程式

A_{x ' x '} x '²+A_{y ' y '} y '²

−2 A_{x ' y '} x ' y ' =I '

A_xx x²+A_yy y²=I

θ

角度 θ の回転

楕円の方程式は、適当な回転で xy 項のない形に変形できる 楕円の方程式は、適当な回転で xy 項のない形に変形できる

楕円体の場合も同様 角度 -θ の回転

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慣性主軸

I

 '

 I

 '

I

 '

=1

適当な回転

この楕円体の主軸　　『慣性主軸』

慣性主軸に対し 慣性乗積＝０ 剛体には、慣性乗積が０となるような、

剛体に固定された座標系が必ず存在する。 回転体の場合

慣性主軸は　回転軸と、それに垂直な任意の相直交する２軸

I

=

I



I

 I

2   I

2   I

2   I

楕円体

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回転体の慣性主軸

回転体の慣性主軸　 回転体の慣性主軸　

慣性乗積を考える必要がない 慣性乗積を考える必要がない

コマの軸方向（回転軸） コマの軸方向（回転軸） 垂直な軸➀

垂直な軸➀

垂直な軸② 垂直な軸② 回転軸

それに垂直な任意の相直交する２軸

コマの場合

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コマの運動

コマに固定されている系での運動

→ 空間に固定されている系からは どの様にみえるか?

→ 平面内ではなくて、3次元空間での問題

『回転座標系での慣性力の問題』

回転軸を座標軸の一つにとる。

→ 『慣性乗積が０』

→ 回転軸に対して『慣性モーメント』は不変

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コマに固定されている点の運動を、静止系から見る コマに固定されている点の運動を、静止系から見る

回転座標系で見た質点の運動のまとめ

 x

y

x ' y '

r

˙=

 

˙r' =R 

_[

_]

¨r' =R 

_[

_]

r' =R r

F ' =R

_[

_]

コリオリの力

˙A ˙A−×A_ 静止座標系のベクトルを回転座標系でみる

˙A ˙A×A_ 回転座標系のベクトルを静止座標系でみる

相対的速度

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剛体に固定した系での運動方程式

˙⃗A→ ˙⃗A+ ω _⃗ ×⃗A

˙⃗L

角運動量の時間変化

N  ₌ ˙L _{   ×} L

慣性主軸に対する慣性モーメントは不変

剛体上からみた 角運動量の変化

剛体の回転によって生じる みかけの成分

→ ˙⃗L+ ω ⃗ ×⃗L

回転の運動方程式

N⃗ = ˙⃗L

N  ₌ ^I _{˙    ×} L

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剛体の運動方程式：　オイラーの運動方程式

N  ₌ ^I _{ ˙    ×} L

_

I _xx 0 0 0 I _yy 0 0 0 I _zz

_

オイラーの運動方程式

オイラーの運動方程式

N

= I

 _˙

 I

− I

 



N

= I

 _˙

 I

− I

 



N

₌ I

_{ ˙}

_ I

₋ I

_{ }

_

固定点を持つ剛体の、

慣性主軸まわりの回転運動を記述する方程式