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ミクロ経済学 HW3 解答

濱田高彰

平成 ₂₈ 年 ₁₂ 月 ₂₅ 日

1 確認

1.1 消費者余剰

消費者の効用最大化問題は以下のように書ける¹⁾。

（_P） _max

X,m ^v(X) + m s.t. pX + m ≤ I

目的関数_uは_{X, m}に対し厳密に増加であるから、最適解においては_{pX+ m = I}が成立する²⁾。

これと_{X ≥ 0}、_{m ≥ 0}より、消費者の効用最大化問題は以下のように書き換えられる。

（_P

′

） _max

X ^v(X) + I − pX s.t. ^I_p ≥ X ≥ 0

 ここで目的関数を_f(X) = v(X) + I − pX^{とおく。fの性質として、v′′<0より、任意の}x ∈R+

について_f

′′<0^{である。つまり}f^{は狭義凹関数である3)。}  ここで内点解の場合を考えると、最大化の一階条件は

f^′(X) = 0 ⇔ p = v^{′(X) (1)}

となる。_f は狭義凹関数であるから、₍₁₎式を満たす_Xは問題_(P

′)^{の一意な最適解である4)。また} v^′′<0^より関数v^′は単調減少であるから、逆関数_(v

′)^{−1が存在し、}(1)^{式より問題}(P^′)^の解は

X= (v^′)⁻¹(p) (2)

と分かる。ここで内点解のケースでの最大化の一階条件₍₍₁₎式₎ を解釈してみよう。まず左辺_pは

∗

質問・誤 植 等 が あ れ ば_TAのメ ー ル ア ド レ ス（[email protected]）にご 連 絡 く だ さ い 。 1)

この問題は_KKT条件を用いて解くこともできる。その解法については最後の付録にまとめたので、そちらも参照されたい。

2)

厳密に示すには、背理法の仮定により最適解において_{pX+ m < I}が成り立っていると仮定し、矛盾を導く。具体的には、予 算 制 約 を 満 た し 、か つ よ り 効 用 が 高 い 消 費 プ ラ ンが 存 在 す る こ と を 示 せ ば 良 い 。

3)

関数_g: R → R が狭義凹関数であるとは

∀x, y ∈ R(x ̸= y), ∀t ∈ [0, 1], tg(x) + (1 − t)g(y) < g(tx + (1 − t)y)

と なる こ とで あ る。また₁次元の 関 数_gに関し て_gが 狭義 凹 関数 で ある こと の 十分 条 件は 、任意 の_{x∈ R について g}^′′_{(x) < 0}と な る こ と で あ る 。

4)

一般 に 狭 義 凹 関 数_g: R → R について、g^′(a) = 0^{な る}aが 存 在す れ ば 、_gは_aで 最 大 と な り、その 解 は一 意 で あ る 。

「財₁単位を追加するごとにかかる金額」であり、右辺_v

′(X)^は「財をX^からもう1^{単位増やした} 際に得られる便益（限界便益）」である。これらが一致していない場合、消費量を増減させることで 効用を上げることが可能であり、最適な消費量であるならこれらが一致している必要がある⁵⁾。また (1)式を見ると、消費者の所得_Iが入っていない。これは財の需要量が所得に依存しないことを意味 し、財の需要に対する所得効果が₀である。これが準線形効用関数がもたらす性質である。

 以上は内点解の分析であるが、この問題には端点解のケースが存在する。従って、以下でそれぞれ のケースがどのような条件の下で起こるのかを特徴づける。

(i) : ^{内点解のケース}

 まず内点解を仮定する。この時、解は₍₂₎式によって与えられ、制約集合の内部に存在しているは ずだから、_{0 < (v}

′)⁻¹(p) < ^I_pが満たされている必要がある。_v

′

が単調減少であることから、_v

′(0) > v^′((v^′)⁻¹(p)) > v^′(^I_p)^{を得る6)。逆関数の定義より}v^′((v^′)⁻¹(p)) = p^{だから、この関係式は}v^′(0) > p > v^′(^I_p) · · · (∗)であると分かる。この条件_(∗)は、解が内点解であるための必要条件である。  一方、条件_(∗)は十分条件であることも示される。今条件_(∗)が成り立っていると仮定する。この 時、_v

′(0) − p > 0^かつv′(I_p) − p < 0^{であり、これらはfの定義より、f′(0) > 0かつf′(I}_p^{) < 0であ} る。今_fは連続関数であるから、中間値の定理より⁷⁾、_f

′_{(X) = 0}

を満たす_Xが存在し、^I

p > X >0 を満たす。これは₍₁₎より内点解の存在を意味する。

 以上より、条件_v

′(0) > p > v^′(^I_p)は解が内点解であるための必要十分条件である。 (ii) : ^端点解（X = 0^{）のケース}

 まず_{X = 0}が最適解だとする。この時_{X = 0}から消費量を微小に増やしても、効用は改善する ことはない。つまり_f

′(0) ≤ 0^{である必要がある。}  次に_f

′(0) ≤ 0^{だとする。v′} が厳密減少関数であるから、任意の_{X ∈ [0,}

I

p^{]についてf}

′(X) = v^′(X) − p ≤ v^′(0) − p = f^′(0) ≤ 0^{、つまりf′}(X) ≤ 0^{が言え、f は区間[0,I}p^{]内で非増加関数であ}

る。従って_f は_{X = 0}で最大となる。  以上から_f

′(0) ≤ 0^、つまりp ≥ v^′(0)が満たされていることは、_{X = 0}が最適解であることの必 要十分条件である。

5)₍₁₎

式を書きかえた_{1 =}

v^′(X)

p という条件も、以下のように解釈できる。右辺は「₁円を追加的に財に費やした際の効用の増

分」、左辺は「₁円を追加的に貨幣として蓄えておいた際の効用の増分」であり、最適な消費量ではこれらが一致している必要があ

る 。 6)

技 術 的 で あ る が 、_vの 定 義 域 は_R+で あ る か ら 、_{X = 0}に お い て 通 常 の 微 分 は 定 義 で き な い 。こ こ で_v^′₍₀₎は 厳 密 に は 片 側 微 分 を 意 味 し て お り、この 場 合 は 右 側 か ら 近 付 け るこ と か ら 、右 側 微 分 と 呼 ば れ る 。

7)

実数 上 の区 間_{[a, b]}におい て 定義 され る連 続関 数 につ いて 、_f(a) > f (b)を満 た すな らば 、_f(a) > l > f (b)^{を満 た す任 意の}l に 対 し て 、_{f(c) = l}を満 た す_cが 区間_{[a, b]}内に 存 在 す る 。

(iii) : ^端点解（X = ^I_p^{）のケース}  まず_{X =}

I

p が最適解だとする。この時_{X = 0}から消費量を微小に減らしても、効用は改善する ことはない。つまり_f

′₍I

p^{) ≥ 0である必要がある。}

 次に_f

′(^I_{p) ≥ 0}^{だとする。}v^′ が厳密減少関数であるから、任意の_{X ∈ [0,}

I

p^{]についてf}

′(X) = v^′(X) − p ≥ v^′(Ip) − p = f^′(Ip) ≥ 0^{、つまりf′}(X) ≥ 0^{が言え、fは区間[0,I}p^{]内で非減少関数であ}

る。従って_f は_{X =}

I

p^{で最大となる。}

 以上から_f

′₍I

p^{) ≥ 0、つまりv}

′₍I

p^{) ≥ p}が満たされていることは、_X= ^I

p が最適解であることの必 要十分条件である。

 なお、上のそれぞれのケースで（より厳密には、任意の_pに対して）解は一意に定まる。これにつ いては、図や数式を用いて各自確かめてみてほしい。以上より、消費者の財の需要関数_X^d_{(p, I)}は 以下のようになる。

X^d(p, I) =













  

I

p^{if  v}

′(^I_p) ≥ p > 0 (v^′)⁻¹(p)ifv^′(0) > p > v^′(^I_p)   _{0   if  p ≥ v}

′(0)

(3)

また_(i)から_(iii)のケースは以下のように図示できる。

0 f

X f

0

(0) f

0

( I

p )

I

p (v

0

) 1

(p)

図 _{1: (i)} 内点解

0

X f

0

(0)

f 0

( I

p )

I

p f

図 _{2: (ii)} 端点解：X _{= 0}

0 f

X f

0

(0) f

0

( I

p )

I

p

図 _{3: (iii)} 端点解：X ₌

I p

さて、今財の需要関数が導出できたわけだが、需要関数₍₃₎式を見てみると、例えば条件式_v

′(^I_{p) ≥} p^{に関して、}pがどのような領域にあるかは不明瞭である。よって、任意の所得_Iに対してある_{pˆ(I) ∈} R+が存在して、需要関数は以下のように書き直せるとす。

X^d(p, I) =













  

I

p^{if  pˆ}(I) ≥ p > 0 (v^′)⁻¹(p)ifv^′(0) > p > ˆp(I)   _{0   if  p ≥ v}

′₍₀₎

(4)

 また_pˆ

′(I) ≤ 0^である。

需要関数の条件式について

✓ ✏

 需要関数の条件式に関して、いきなり上記のような表現に書き換えたが、本来なら証明が必要 である（その際に少々技術的な仮定が必要である）。ここでは具体的な証明には踏み込まないが、 簡単に述べると、_{h(p) = v}

′(^I_p)−pという関数を定義した時、任意の_{p ≤ ˆp(I)}について_{h(p) ≥ 0}、 任意の_{p > p(I)ˆ} についてh(p) < 0^{となるような}p(I)ˆ が存在すれば上の書き換えは成り立つ。 この問題の仮定を満たし、かつこのような_p(I)ˆ が存在するような便益関数_v(X)を以下に₂つ 提示した。余力のある人はぜひ解いて確かめてみてほしい。

補足問題 _{1.1. v1(X) =}

√1 + X − 1^、v2(X) = log(1 + X)^とする。 (a) v1^とv2^{に関して、}v(0) = 0^、v^′(X) > 0^、v^′′(X) < 0^を示せ。

(b) h_i(p) = v_i^′(^I_{p) − p}^（i= 1, 2^{）とする。}limp→0h_i(p)^、lim_p→∞h_i(p)^、limp→0h^′_i(p)^、h^′′_i(p) を計算し、関数_hi(p)の形状を検討せよ。

(c) ˆpi(I)^がhi(ˆpi(I)) = 0^{を満たすとする。}pˆi(I)^{が存在するとき、}pˆ^′_i(I) < 0^{であることを示せ。}

✒ ✑

(2) ^{逆需要関数を}p^d:R+_{→ [0, v}^′(0)]^{と定義する8)。この時}(4)^{式より逆需要関数は}

p^d(x) =







v^′(x) if_p(I)ˆ^I _{> x ≥ 0}

I

x^{if x ≥}

I ˆ p(I)

(5)

となる。消費者が価格_pで財を_X単位購入する際の消費者余剰_(CS)は以下のように定義される。 CS =

∫ X 0

p^d_{(x)dx − pX} (3)今所得は十分に大きいという仮定から、 ^I

ˆ

p(I) は十分に大きくなる。つまり₍₅₎式より、この仮定 は我々が逆需要関数が_p^d_{(x) = v}

′_(x)

であるとみなして分析することを可能にする。この時、消費者 余剰_CSは

CS =

∫ X 0

v^′_{(x)dx − pX}

= v(X) − v(0) − pX

= v(X) + (I − pX) − (v(0) + I)

= u(X, I − pX) − u(0, I)(u(X, m) = v(X) + m^より)

となる。これは消費者余剰が「市場取引による効用の増分」であることを意味している。

 消費者余剰というシンプルなフォームで以て消費者の便益を表現できることは、我々にとって分析 上非常に都合がよい。しかし一方で、「所得が十分に大きくなければ、消費者余剰では取引における 消 費者 の 効 用 の 増分 を 表 現 で きな い 」とい う 点 も お さえ て お き た い。消 費 者 余 剰 を用 い た 厚 生 評価

8)

  値 域 を_{[0, v}^′_(0)]と し て い る 理 由 は 、「 関 数 」が 定 義 で き る た め の 工 夫 で あ る 。₍₂₎式 を 見 て み る と 、_{X = 0}と い う 消 費 量 は 、_v′₍₀₎以 上 の 全 て の 価 格_pの 下 で 実 現 す る 。そ れ ゆ え 逆 需 要「 関 数 」を 考 え る 際 、_{x= 0}に 対 し て た だ₁つ の 要 素 を 対 応 さ せ る 必 要 が あ り、その た め に 地 域 を 制 限 し て い る 。

を行う背後では、準線形の仮定だけでなく、所得が十分に大きいという仮定も必要である。

1.2 生産者余剰

(1)生産者の利潤最大化問題は以下のように書ける。

maxX pX − C(X) s.t. X ≥ 0

 まず内点解の場合を考え、目的関数を_Xについて微分し、最大化の一階条件を求め整理すると

p= C^′(X) (6)

を得る。_C

′′>0^{より、利潤関数（}π(X) = pX − C(X)）は狭義凹関数であるから、₍₆₎を満たす_X は一意な最適解である。また_C

′′_>0

より関数_C

′

は単調増加であるから、逆関数_(C

′₎⁻¹

が存在し、 解は

X= (C^′)⁻¹(p) (7)

と分かる。ここで内点解のケースでの最大化の一階条件₍₍₆₎ 式₎を解釈してみよう。この式の左辺 p^{は「追加的に財を}1単位生産することから得られる売り上げの増分」であり、左辺_C

′(X)^は「こ

の財を_Xから追加的に₁単位生産した際にかかる費用（限界費用）」である。消費者の議論と同様 に、これらが乖離している状況では、生産を増減させる誘因をもち、最適な生産量においてはこれら が一致している必要がある。

 以上は内点解の分析であるが、この問題には内点解でないケースが存在する。従って、以下でそれ ぞれのケースがどのような条件の下で起こるのかを特徴づける。

(i) : ^{内点解のケース}

 消費者の問題とほぼ同じなので省略する。内点解が存在するための必要十分条件は、_{β = limX→∞C}

′(X) と書くと、_C

′(0) < p < β^である（Check!^）。 (ii) : ^端点解（X = 0^{）のケース}

 消費者の問題とほぼ同じなので省略する。_{X = 0}が最適解であるための必要十分条件は、_C

′(0) ≥ p^である（Check!^）。

(iii) : ^{解が存在しないケース}

 以上の分析の中で、_{β ≤ p}となる場合については分析されていないが、このケースでは解が存在 しないことが示される。

今_{β ≤ p}を仮定する。_{β = limX→∞C}

′(X)^であり、C^′は厳密増加関数であることから、任意の_X に関してp ≥ β > C^′(X)が言える。これは、任意の_Xで_{p > C}

′_(X)

、つまり_π

′_{(X) > 0}

を意味す

る。従って_πは厳密増加関数であるから、このケースでは解が存在しない

9)

。

 ただし、_βが無限大の場合、任意の_pに対して_{p < β}となるから、解は常に存在することに注意 されたい。

 以上の分析から、生産者の財の供給関数_X

s_(p)

は以下のようになる。

X^s(p) =















  _{0   if C}

′(0) ≥ p > 0 (C^′)⁻¹(p)ifβ > p > C^′(0)   _{∞   if p ≥ β}

(8)

ただし、_{β = limX→∞C}

′_(X)

である。

(2)^{まず逆供給関数を}p^s:_R+ _{→ [C}^′(0), β)^{と定義する。この時}(8)^式からp^s(x) = C^′(x)^となる。 生産者が価格_pで財を_X単位販売する際の生産者余剰_{(P S)}は以下のように定義される。

P S_{= pX −}

∫ X 0

p^s(x)dx

(3) p^s(x) = C^′(x)^{であるから、}

P S _{= pX −}

∫ X 0

C^′(x)dx

= pX − C(X) + C(0)

= pX − C(X) − (p0 − C(0))

= π(X) − π(0)(π(X) = pX − C(X)^より)

となる。

1.3 競争均衡と総余剰

(1)競争均衡においては、消費者の財の需要量と生産者の財の供給量が一致する。つまり、競争均衡 価格_p

∗

の下では

X^d(p^∗) = X^s(p^∗) (9)

が満たされている。

(2)^総余剰をT Sと書くことにする。この時、総余剰の定義から

T S= CS + P S =

∫ X 0

p^d_{(x)dx −}

∫ X 0

p^s(x)dx (10)

9)

解が 存 在 し な い ケ ー ス が 出 て く る よ う な 費 用 関 数 は 、解 析 的 に 存 在 す る 。例 え ばC(X) = X + e^−X−1で あ る 。た だ し 、_e は 自 然 対 数 で あ る 。

と書ける。ここでまず総余剰の最大化の条件を求める。ここでは内点解を仮定する。よって₍₁₀₎式 を_Xで微分し最大化の一階条件を求め整理すると

10)

p^d(X) = p^s(X) (11)

を得る。また_p^d_{(X) = v}

′_(X)

、_p^s_{(X) = C}

′_(X)

であることから、^∂

2_{T S}

∂X^{2 <0が確認でき、TSは狭義凹}

関数である。つまり₍₁₁₎式を満たす_Xが存在すれば、それは総余剰を最大にする_Xである。以下で は、競争均衡下でこの取引量が実現することを示す。今、消費者の需要量_X^d_(p)は、価格_pを所与に した時の消費者の効用最大化問題の解であることに注意すると、逆需要関数より_{p = v}

′(X^d(p)) = p^d(X^d(p))^{を満たす。同様に}X^s(p)^は、価格pを所与にした時の生産者の利潤最大化問題の解であ ることに注意すると、逆供給関数より_{p = C}

′(X^s(p)) = p^s(X^s(p))を満たす。これらから、競争均 衡価格_p

∗

の下で

p^d(X^d(p^∗)) = p^∗= p^s(X^s(p^∗)) (12)

であることが分かる。競争均衡下での財の取引量を_X

∗

とすると、₍₉₎式より、_X

∗= X^d(p^∗) = X^s(p^∗) であるから、₍₁₂₎式より

p^d(X^∗) = p^s(X^∗)

を得る。これより、競争均衡における取引量_X

∗

は、₍₁₁₎式で得られる_Xと一致していることが分 かる。

1.4 余剰分析について

【_Q1】神取道宏［著］『ミクロ経済学の力』の_p168から_p174までを参照。

【_Q2】競争均衡は総余剰を最大化するという観点では優れているが、「みんなが同じように得をでき るか」といった公平性の観点からは望ましくない可能性がある。より一般的には、競争均衡はムダの ない（パレート）効率的な資源配分を実現してくれる

11)

が、その資源配分は極めて不公平な配分でさ え実現しうるということである。_Aさんが言いたかったのは以上の点である。

2 標準

2.1 部分均衡分析

 奥野正寛［編］『ミクロ経済学演習』の解答を参照。

10) ここ で は

d dX

∫X 0

f(x)dx = f (X)

と い う「 微 積 分 額 の 基 本 定 理 」を 用 い る こ と で 一 階条 件 が 導 出 で き る 。 11)

厚生 経 済 学 の 第₁基 本 定 理

2.2 課税と経済行動

以下、内点解のみを考慮して分析する。

税がない場合：消費者・生産者の効用・利潤最大化問題の一階条件はそれぞれ以下のようになる。

p _{= a − bX} (13)

p = d + eX (14)

 同時に₍₁₃₎は逆需要関数、₍₁₄₎は逆供給関数である。 (i)^財1^{単位につき}t^の従量税

（消費者）財₁単位ごとに_tだけ支払わなければならないのだから、_X単位購入する場合、_tX追加 的にかかることになる。別の言い方をすれば、消費者は_p+tという価格に直面していることになる。 今_{v(X) = aX −}

b 2^X

2

であるから、効用最大化問題は以下のように書ける。 maxX,m

(

aX − ^b 2^X

2

)

+ m s.t. (p + t)X + m ≤ I

最大化の一階条件は_p+ t = a − bX^{である。課税前((13)式)}と比べると、財を追加的に₁単位購入 する際の費用の増分が_tだけ増加しているので、同じ市場価格に対して課税後は需要量が減少する。 また逆需要関数が_p= a − bX − tとなることから、消費者への従量税によって、逆需要曲線は下方 にシフトすることが分かる。

（生産者）消費者と同様_tX追加的にかかる。この時生産者は_{p − t}という価格に直面していること になる。今C(X) = dX +₂^eX²であるから、利潤最大化問題は以下のように書ける。

maxX ^{(p − t)X −}

(

dX+ ^e 2^X

2⁾

最大化の一階条件はp − t = d + eX^{である。課税前((14)式)と比べると、追加的に1単位販売する} ことから得られる売り上げの増分が_t分だけ減少するので、同じ市場価格に対して課税後は供給量が 減少する。また逆供給関数が_p= d + eX + tとなることから、生産者への従量税によって、逆供給 曲線は上方にシフトすることが分かる。

(ii)^{財の取引価格に対して}τ ^の従価税

（消費者）例えば_{τ = 0.05}である場合、これは価格の_5%分、つまり_0.05p分価格に上乗せされるこ とを意味している。つまり消費者が直面する価格は(1 + 0.05)p^{である。これより}τ^{の従価税が課さ} れる場合、消費者が直面する価格は_{(1 + τ )p}である。この時効用最大化問題は以下のように書ける。

maxX,m

(

aX −₂^bX2 )

+ m s.t. (1 + τ )pX + m ≤ I

最大化の一階条件は(1 + τ )p = a − bX^{である。課税前((13)式)と比べると、追加的に1単位購入} するためにかかる費用の増分が_{τ p}分だけ増加しているので、同じ市場価格に対して課税後は需要量 が減少する。また需要関数が_{p =}

1

1+τ(a − bX)となることから、消費者への従価税によって、逆需

要曲線は下方にシフトすると同時に、傾きがより緩やかになることが分かる。

（生産者）生産者は_{(1 − τ)p}という価格に直面することになる。よって利潤最大化問題は以下のよ うに書ける。

maxX (1 − τ)pX −^(dX+e 2^X

2⁾

最大化の一階条件は(1 − τ)p = d + eX^{である。課税前((14)式)と比べると、追加的に1単位販売} することから得られる売り上げの増分が_{τ p}分だけ減少するので、同じ市場価格に対して課税後は供 給量が減少する。また逆供給曲線は_p=

1

1−τ^{(d + eX)}となることから、生産者への従量税によって、

逆供給曲線は上方にシフトすると同時に、傾きがより急になることが分かる。 (iii)^固定額T^の一括税

（消費者）価格や消費量に関わらず税が徴収されるので、消費者が直面する価格は_pのままである。 Tの一括税がある場合の効用最大化問題は以下のように書ける。

maxX,m

(

aX −₂^bX2 )

+ m s.t. pX + m + T ≤ I

1.1(1)と同様に解くと、一階条件は_{p = a − bX} であり、課税前₍₍₁₃₎式₎と同じである。ここから 逆需要曲線にも変化がないことが分かる。

（生産者）消費者と同様、生産者も直面する価格は_pのままである。利潤最大化問題は以下のように 書ける。

maxX ^{pX −}

(

dX+ ^e 2^X

2⁾

− T

1.1(2)と同様に解くと、一階条件は_{p = d + eX}であり、課税前₍₍₁₄₎式₎と同じである。ここから 逆供給曲線にも変化がないことが分かる。

最後に、従量税・従価税が課された場合の逆需要曲線（_D）・逆供給曲線（_S）の変化を図示しておく。

0

D S p

X t

t S

0

D 0

図 _4:

0 p

X D

D 0 S S

0

e

1 

e

b

b

1+

図 _5:

2.3 従量税と従量補助金

(1)^{均衡価格：}200^{、均衡取引量：}50

(2)^{消費者余剰：}2500^{、生産者余剰：}3750^{、総余剰：}6250

0 p

X 300

200

50 CS

PS

50

p=3X+50

p=300 2X

図 _6: 政府の介入がない場合

(3) 1^{単位あたり}30の従量税が消費者に課された場合、消費者の直面する価格は_{p+ 30}となり、

逆需要曲線が下方に₃₀だけシフト、つまり_{p= 270 − 2X}となる¹²⁾。一方で生産者が直面する価格 は_pであり、逆供給関数は_{p= 3X + 50}と変わりはない。以上より均衡価格・取引量を導出し、そ れぞれが直面する価格を計算すると、結果は以下のようになる。

均衡価格：₁₈₂、均衡取引量：₄₄、消費者価格：₂₁₂、生産者価格：₁₈₂

(4) 1^{単位あたり}30の従量税が生産者に課された場合、生産者の直面する価格は_{p − 30}となり、逆

供給曲線が上方に₃₀だけシフト、つまり_{p= 3X + 80}となる¹³⁾。一方で消費者が直面する価格は_p であり、逆需要関数は_{p= 300 − 2X}と変わりはない。以上より均衡価格・取引量を導出し、それぞ れが直面する価格を計算すると、結果は以下のようになる。

均衡価格：₂₁₂、均衡取引量：₄₄、消費者価格：₂₁₂、生産者価格：₁₈₂

(5) (3)(4)^{から分かることは、}税金の負担者によって変わるのは市場価格のみであり、均衡取引量・消

費者価格・生産者価格は同じであるという点である。また、税負担者に関わらず取引量と直面する価 格が同じであるということは、消費者余剰・生産者余剰も負担者によらず同じであることが分かる。 このことについて、図を用いてみてみよう。

税の負担者に関わらず消費者の直面する価格は₂₁₂であり、その下での取引量は₄₄であるから、 消費者余剰は図₄の横線の領域（_CS）であると分かる。また生産者の直面する価格は₁₈₂であり、そ

12)2.2(i)^{を 参 照 。} 13)_2.2(i)

を 参 照 。

0

X 300

CS

PS

50

p=3X+50

p=300 2X

44 182

212

GS

DWL

図 _7: 従量税がある場合

の下での取引量は₄₄であるから、生産者余剰は図₄の縦線の領域（_PS）であると分かる。

 さらにグレーの領域は、税収を表しており、政府余剰（_GS）と呼ばれる。さて、ここで総余剰は、 消費者・生産者・政府のそれぞれの余剰を足し合わせたものであるが、それらの総和が課税前（図₃ の総余剰（_CS+PS））に比べて、小豆色の領域分だけ減少していることが分かる。この余剰の損失 分を死荷重と呼び、従量税は総余剰を減少させることが見て取れる。このように、従量税は非効率性 を生み出す（総余剰を減少させる）ことが分かる¹⁴⁾。

(6) 1^{単位あたり}30の補助金が消費者に与えられた場合、消費者の直面する価格は_{p − 30}となり、

逆需要曲線が上方に₃₀だけシフト、つまり_{p= 330 − 2X}となる。一方で生産者が直面する価格は p^{であり、逆供給関数は}p= 3X + 50と変わりはない。以上より均衡価格・取引量を導出し、それぞ れが直面する価格を計算すると、結果は以下のようになる。

均衡価格：₂₁₈、均衡取引量：₅₆、消費者価格：₁₈₈、生産者価格：₂₁₈

(7) 1^{単位あたり}30の補助金が生産者に与えられた場合、生産者の直面する価格は_{p+ 30}となり、

逆供給曲線が下方に₃₀だけシフト、つまり_{p= 3X + 20}となる。一方で消費者が直面する価格は_p であり、逆需要関数は_{p= 300 − 2X}と変わりはない。以上より均衡価格・取引量を導出し、それぞ

14)

この 結 果 は 従 量 税 に よ る も の だ が 、従 価 税・一 括 税 に つ い て はど う だ ろ う か 。今 す ぐ 自 分 で 分 析 し て み て ほ し い 。

れが直面する価格を計算すると、結果は以下のようになる。

均衡価格：₁₈₈、均衡取引量：₅₆、消費者価格：₁₈₈、生産者価格：₂₁₈

(8) (6)(7)から分かることは、従量税の場合同様、補助金の受給者によって変わるのは市場価格のみ

であり、均衡取引量・消費者価格・生産者価格は同じであるという点である。また消費者余剰・生産 者余剰も受給者によらず同じである。このことについて、図を用いてみてみよう。

0 p

X 300

50

p=3X+50

p=300 2X

56 188

218

Subsidy

PS CS

DWL

図 _8: 補助金がある場合

補助金の受給者によらず、消費者の直面する価格は₁₈₈であり、取引量は₅₆だから、消費者余剰 は図₅の緑の領域であると分かる。また生産者の直面する価格は₂₁₈であり、取引量は₅₆だから、 生産者余剰は図₅の青の領域であると分かる。

 さらに斜線の領域は、政府の補助金（_Subsidy）に対する支出額である。さて、この時、総余剰を どう評価できるだろうか。総余剰は_CS+ P S − (Subsidy)であるが、この値は課税前の総余剰に比 べて赤線の領域だけ減少していることが分かる。つまり、補助金も従量税同様、非効率性を生み出す ことが見て取れる。

3 応用

3.1 需要の価格弾力性と死荷重

 以下の₂つの図を見てみよう。傾きの異なる₂つの需要曲線を描き、それぞれ消費者に_tの従量税 を課した場合を分析している。

0

D S

X t

D 0 DWL

X

 p



X 0 p

0

t

図 _9: 傾きが緩やかな場合

0

D S

X t

D 0 DWL

X



X 00 p



p 00

t

図 _10: 傾きが急な場合

当初どちらも均衡価格_p

∗

、均衡取引量_X

∗

で均衡していたとする。そしてそれぞれに対して_tの従 量税が課された際、需要曲線の傾きが緩やかな場合の方が死荷重が大きくなっていることが分かる。  しかし、ここでの議論はあくまで直感的なものであって、需要曲線の傾きだけで以て議論すること は適切でない。なぜなら、需要関数の傾きは、価格や数量の単位に依存して変化しうるからである。 そこで、価格や数量の単位に依存しない、「需要の価格弾力性」という概念が力を発揮する。ここで 需要の価格弾力性を思い出そう。今財の需要の価格弾力性を_eと書くとすると、その定義は

e_{= −}

∆x x ^{× 100}

∆p

p × 100 ^{= −} p x

∆x

∆p

であった。ただし、_xは財の取引量、_pはその財の価格である。これは「_1%価格が変化した時に、需 要が何_%変化するか」を示している。この定義から、我々が持つ「需要曲線の傾きが緩やかである

（急である）」という直感的なイメージは、「需要の価格弾力性が大きい（小さい）」という厳密な表 現に書き換えられることになる。これによって、「需要の価格弾力性が小さい（大きい）財は、課税 がもたらす死荷重も小さい（大きい）」ということが分かるだろう。

では、この性質を用いて、死荷重を小さく抑えるという観点から、実際にどのような財に課税すべき かを考えてみよう。問題文の表₁を見たときに、比較的価格弾力性が低いのは、食料・電気水道・医 療などであると分かる。つまり、このような財に課税することが、死荷重を小さく抑えるという観点 から望ましい。そしてもう少し踏み込むと、これらの財は「生活必需品」であるという点である。他 の財を見てみると、衣服や家具、娯楽などといったある種のぜいたく品は、価格弾力性が高いことが 分かる。これらから漠然と見えてくるのは、「生活必需品に対して高い課税をするべき」だというこ とであう。

✓補足 ✏  価格弾力性が小さい財により高い税率を設定すべきだとする考えは、ラムゼイルール_(Ram-

sey Rule)^{と呼ばれ、}最適課税理論の文脈で厳密に議論されてきた。上で見たように、このルー

ル は 効 率 性 の 観 点 で の み 語 ら れ る が 、実 は 公 平 性 の 観 点 か ら は 望 ま し く な い ル ー ル に なって い る。それは、必需品に高い課税をかけることは、その財の性質上、比較的所得の低い家計により 大きな負担を強いることになるからである。

 一方で、ぜいたく品に大きな課税をすれば、公平性の問題は解消されそうだが、今度はより大 きな死荷重を生み出すことになり、非効率性が増してしまう。このような効率性と公平性の間に 存在するジレンマは「公平性と効率性のトレードオフ」と呼ばれ、このことは現実の様々なデー タからも確認されている。

✒ ✑

3.2 参入と規制

(1)^まずn企業参入している場合の市場の供給関数を求める。各企業は同一の限界費用曲線_C

′(x) = 20 + xを持ち、かつ全ての企業はプライステイカ―なので、企業_i(= 1, 2, · · · , n)^{の供給量をX}i^と

書くとすると、任意の企業_iは_{p= 20 + Xi}を満たす水準で供給する。これより、市場全体の供給量 を_Xとすると、任意の_{p >20}に対して、_{X =}

∑n

i=1^Xi = n(p − 20)^{が得られる15)。よって市場の} 逆供給関数は

p= ¹

n^{X+ 20 (15)}

である。今逆需要関数は_220−3Xだから、これらを連立することで 均衡価格：_{220 −}

600

3+_n^{1、均衡取引量：} 200 3+_n¹

が得られる。これより、消費者余剰・生産者余剰・総余剰は以下のように計算できる。

CS = (

220 − (

220 −_{3 +}⁶⁰⁰1 n

))

· ( 200

3 +_n¹ )

·¹

2 ^{= 60000 ·} ( 1

3 +_n¹ )2

P S = ((

220 − _{3 +}⁶⁰⁰1 n

)

− 20 )

· ( 200

3 +_n¹ )

·¹₂ = 20000 ·

( 1

√n⁽3 +_n¹⁾ )2

T S = CS + P S = 20000 · ( 1

3 +_n¹ )

(2) n^{の増加に伴って、}CS^、P S^、T Sがどう変化するかを調べる。まず_CSと_{T S}については_n の増加に伴ってそれぞれの分母が減少していくことが明らかである。分母が減少していけば、値自体 は大きくなるので、_CSと_{T S}は_nに関して増加である。

 次に_{P S}であるが、分母にある

√n⁽3 +_n^1)がnに関してどう変化するかが分かれば十分である。

15)

ここ で は す べ て の 企 業 が 同 じ 技 術 を 持って い る こ と に よ り、市場の 供 給 曲 線 が 単 純 な 形 で 表 現 さ れ る 。

今_{D(n) =}

√_n⁽

3 +_n^{1)とおく。}D^をn^{について微分すると16)、} dD

dn ⁼ 1 2ⁿ

−¹

2 _·

( 3 +¹

n )

−^√n_n¹₂ ⁼ √¹_n (₃

2 ⁻ 1 2n

)

>0

となる。従って、_{P S}の分母は_nの増加に伴って厳密に増加することになるから、_{P S}は_nに関して減少である。

(3)今固定費用がないので、企業の利潤は_{P S}は全企業の総利潤と一致する。従って₁企業分の利潤 を_πと書くと

π = ¹

n^{P S = 20000 ·}

( 1 n⁽3 +¹_n⁾

)2

= 20000 · ( ₁

3n + 1 )2

>_{0, ∀n}

と分かる。つまり、どんな_nを取ってきても利潤_πは正であるから、この市場には企業が無限に参入し続ける ことになる。

 では、企業が無限に参入してくるのに伴って、逆供給曲線はどのように変化するだろうか。₍₁₅₎式 を見てみると、_nが増えるに従って傾きが次第に緩やかになり、やがて_{p= 20}になることが分かる。 従って 逆供給曲線は水平な形状へと近づいていく。

(4) (2)^{の結果から、}

 規制は生産者余剰の観点から望ましいが、消費者余剰、総余剰の観点からは非効率性を生み出す ことが分かる。まず生産者にとって規制がメリットになることをみてみよう。今_n企業が参入してお り、価格_p

∗

で市場が均衡しているとしよう。この時、新たに企業が参入してくると、同じ価格の下で より多くの供給がなされることになり（逆供給曲線の傾きが緩やかになり）、当初の均衡価格_p

∗

の 下で超過供給が発生する。これによって市場の価格が下落する。新規企業が利潤を得ようと次々と市 場に参入していくのだが、この参入が以上のプロセスによって市場価格の下落を導き、結局は彼らの 余剰をなくしてしまうのである。以上を考慮すると、参入が規制されることによって、新規参入によ る価格の下落が防がれるわけだから、既存の企業は利潤を守ることができるのである。

 一方消費者にとっては、新規参入が行われ価格が下落することが望ましい。さらに企業の参入に伴 い、財の生産における社会的な限界費用が低下するため、総余剰の観点からも参入は望ましい。従っ て、消費者余剰・総余剰の観点からは参入規制がないほうが望ましいと言える。

  以上 が こ の 規 制の モ デ ル 分 析か ら 言 え る こと で あ る 。一 方で 現 実 に 目 を向 け て み る と、参 入 規 制 の 緩和 が 価 格 の 下落 を 引 き 起 こし 、各 企 業 の 営業 収 入 を 減 少さ せ る こ と で、不 当 な コ ス ト削 減 や 安 全対策を怠るなどといった問題も起きている（₂₀₀₀年貸切バス事業への参入規制緩和など）。そう いった点を考慮した時、必ずしも自由な参入を許すことが社会にとって常に良いかどうかは、別の経 済モデルによる分析や実証研究も踏まえた上で、慎重に議論する必要がある。

16)_n

は 正 の 整数 で あ る が 、こ こ で は 構 わ ず 微 分 し て よ い 。

4 付録： KKT 条件と効用最大化問題

 今_{f :R}ⁿ_{→R、gi :R}ⁿ _→R、i= 1, · · · , m^{とし、f、gi}は一階連続微分可能であるとする。この 時以下の不等式制約下での最適化問題を考える。

（_{N LP}） _max

x∈R^{n f(x) s.t. gi}(x) ≥ 0, ∀i ⁽¹⁶⁾ 以上の問題に対し、_KKT条件は以下のものである。

KKT^条件（Karush-Kuhn-Tucker condition^）

✓ ✏

ラグランジュ関数_Lを以下のように定義する。 L = f(x) +

m

∑

j=1

λjgj(x)

(x, λ1, · · · , λm)^{に対する以下の条件を}KKT^{条件という。}

∂L

∂x_k = 0, ∀k = 1, · · · , n ⁽¹⁷⁾

  _λigi(x) = 0, ∀i = 1, · · · , m ⁽¹⁸⁾   _gi(x) ≥ 0 ∀i = 1, · · · , m ⁽¹⁹⁾

  _λi ≥ 0 ∀i = 1, · · · , m ⁽²⁰⁾

✒ ✑

問題（_NLP）の極所最適解を_x

∗

とする。一般に、ある制約に関する仮定（制約想定(constraint qual- ification)^）17)がx^∗において満たされている場合、ある_{(λ1· · · , λm)}が存在して、_(x

∗; λ1_{· · · , λ}m) は_KKT条件を満たす。これは、カラシュ・クーン・タッカーの定理と呼ばれている。これは、極所 解が制約想定を満たしておれば、_KKT条件を満たす_xを見つけることで、問題（_NLP）の解の候補 を見つけることができることを意味する。

 また_f が凹関数、_giが全ての_iについて凸関数である場合、_(x

∗; λ1_{· · · , λ}m)^がKKT^{条件を満た} せば、_x

∗

は（_NLP）の解である。カラシュ・クーン・タッカーの定理は、（_NLP）の解であるための 必要条件を与えるものであるが、この条件は（_NLP）の解であるための十分条件である。以下では この性質を用いて、_1.1の効用最大化問題を解いてみよう。

（_P） _max

X,m ^v(X) + m s.t. I − pX − m ≥ 0 X ≥ 0, m ≥ 0

 証明はしないが、目的関数は凹関数であり、制約関数は凸関数であるから、_KKT条件を満たす_{(X, m)} を見つけてこれれば、それが最適解である。

では初めにラグランジュ関数_Lを以下のように定義する。

L = v(X) + m + λ(I − pX − m) + µ^{1X+ µ2m (21)}

17)

ここ で は 詳 し く 述 べ な い が 、O.L. mangasarian (1879) Nonlinear Programingな ど が 詳 し い 。

ただし、_λ、_µ1、_µ2はラグランジュ乗数である。この時_KKT条件は以下の₄つである。  

∂L

∂X ^{= 0 ⇔ v}

′(X) − λp + µ^{1 = 0 (22)}

∂L

∂m = 0 ⇔ 1 − λ + µ^{2= 0 (23)}

  _λ(I − pX − m) = 0, µ^{1X= 0, µ2m= 0 (24)}   I − pX − m ≥ 0, X ≥ 0, m ≥ 0; λ ≥ 0, µ¹≥ 0, µ²≥ 0 ⁽²⁵⁾

 まず_(23)(25)式から、_{λ= 1 + µ2>0}と分かるから、₍₂₄₎式より

pX+ m = I (26)

である。以下、_µ1と_µ2に関する場合分けを行う。 (i) : µ1 = 0 ^かつ µ₂ = 0^の場合

 まず₍₂₃₎式より_{λ= 1}であり、₍₂₂₎式より_v

′(X) = p^{が得られる。}v^′′<0^よりv^{′は単調減少関数} であるから、逆関数_(v

′₎−1

が存在して、_{X = (v}

′₎−1_(p)

を得る。さらに₍₂₆₎より_{m= I − p(v}

′₎−1_(p)

となる。

 さて今(X, m; λ, µ1^{, µ}2) = ((v^′)⁻¹(p), I − p(v^′)−1(p); 1, 0, 0) · · · (∗)^{を得たが、条件(22)から(25)} のうち、まだ_{X ≥ 0}と_{m ≥ 0}を満たしているかは分からない。結論からいうと、これらを満たす ケースと満たさないケースの両方が存在する。よって次に、これらを満たすような条件を特定する¹⁸⁾。

 _{X ≥ 0}と_{m ≥ 0}がどちらも成立しておればよいので、上で得た_Xと_mを代入して整理すると

I

p ≥ (v^′)−1(p) ≥ 0^{となる。ここでv′}は厳密減少関数だから、それぞれを_v

′

に代入すると_v

′(0) ≥ p ≥ v^′(I_p⁾を得る。以上は同値変形であるから、_v

′(0) ≥ p ≥ v^′(_p^{I)を満たせば}X ≥ 0^とm ≥ 0^が成 立することになり、_(∗)は条件₍₂₂₎から₍₂₅₎全て満たすことになる。よって、_v

′(0) ≥ p ≥ v^′(I_p^)の 時、_{X= (v}

′)⁻¹(p)^、m_{= I − p(v}^′)⁻¹(p)^{が最適解となる。} (ii) : µ1>0^かつ µ2= 0^の場合

 まず_{µ1 >0}と₍₂₄₎より、_{X = 0}を得る。つまり₍₂₆₎から_{m= I}である。また_{µ2= 0}と₍₂₃₎式 より、_{λ= 1}となる。この時_{X= 0}と₍₂₂₎より_{µ1= p − v}

′(0)^{を得る。以上より}(X, m; λ, µ1, µ2) = (0, I; 1, p − v^′(0), 0) · · · (∗∗)^{となることが分かる。}

 さて_(∗∗)と、条件₍₂₂₎から₍₂₅₎を照らし合わせると、ここでは最後に_{µ1≥ 0}を保証する条件を 求める必要があり、その条件は_{p ≥ v}

′₍₀₎

だと分かる。よって_{p ≥ v}

′₍₀₎

の時、_{X = 0}、_{m= I}が最 適解となる。

(iii) : µ1= 0 ^かつ µ2>0^の場合

 まず_µ2>0と₍₂₄₎より、_{m= 0}を得る。つまり₍₂₆₎から_X= ^I

p^{である。またµ1= 0、X =} I

p^及び

(22)^式より、λ= ^v′(_p^{pI)となる。ここで}v^′>0^よりλ >0^{と分かる。さらに}(23)^より、µ2= ^v′(_p^Ip)_{− 1}

18)

別の 場 合 分 け で も 同 様 に₍₂₂₎か ら₍₂₅₎をす べ て 満 た す よ う な 条 件 を 特 定 す る こ と に な る 。

を得る。以上より(X, m; λ, µ1, µ2) = (^I_p,0;^v′(_p^pI),0,^v′(_p^pI)− 1) · · · (∗ ∗ ∗)^{となることが分かる。}  さて_{(∗ ∗ ∗)}と、条件₍₂₂₎から₍₂₅₎を照らし合わせると、ここでは最後に_{µ2≥ 0}を保証する条件 を求める必要があり、その条件は_v

′(^I_{p) ≥ p}^{だと分かる。よって}v^′(_p^I_{) ≥ p}^の時、X= ^I_p^、m= 0^が 最適解となる。

以上をまとめると、消費者の財の需要関数_X^d_{(p, I)}は以下のようになる。

X^d(p, I) =













  

I

p^{if  v}

′(^I_p) ≥ p > 0 (v^′)⁻¹(p)ifv^′(0) > p > v^′(^I_p)   _{0   if  p ≥ v}

′(0)

(27)