Kolmogorovの拡張定理が成り立たない例
作成：加藤賢悟1 協力：今泉允聡
Wegner (1973)に従い，Kolmogorovの拡張定理が成り立たない例を構成する． 外測度と内測度. LをRのLebesgue可測集合の全体とする．1次元Lebesgue測度λに 対して，外測度λ∗と内測度λ∗を，任意のA ⊂ Rに対して，
λ∗(A) = inf{λ(B) : B ∈ L, A ⊂ B}, λ∗(A) = sup{λ(C) : C ∈ L, C ⊂ A} と定義する．E ∈ Lをλ(E) < ∞とし，A ⊂ Eとすると，
λ∗(E \ A) = λ(E) − λ∗(A) である．
Vitali集合. x, y ∈ [0, 1)に対して，
x ∼ y ⇔ x − y ∈ Q
と定義すると，∼は同値関係をなす．この同値関係に関する各同値類から代表元を集め た集合をV とおく(厳密には選択公理を使っている)．集合V はVitali集合 と呼ばれる．
Vitali集合はLebesgue非可測である．まずこの事実を証明する．
Theorem 1. V /∈ L.
各r ∈ Rに対して，写像Tr: [0, 1) → [0, 1)を
Tr(x) = x + r − ⌊x + r⌋
と定義する(⌊x⌋はx以下の最大の整数である)．つまり，Tr(x)はx + rの小数部分である． Lemma 1. E ∈ L, E ⊂ [0, 1)なら，任意のr ∈ [0, 1)に対して，λ(Tr(E)) = λ(E).
Proof. 次の事実は認める(証明は難しくない)：A ∈ Lなら，任意の x ∈ Rに対して， x+A := {x+y : y ∈ A} ∈ Lであり，λ(x+A) = λ(A). A = E ∩[0, 1−r), B = E ∩[1−r, 1) とおいて，A′ = r + A, B′ = r − 1 + Bとおくと，A, B ∈ Lより，A′, B′ ∈ Lであり， λ(A) = λ(A′), λ(B) = λ(B′). 一方，Tr(E) = A′∪ B′ (排反な和)であるから，Tr(E) ∈ L であって，
λ(E) = λ(A) + λ(B) = λ(A′) + λ(B′) = λ(Tr(E)) を得る．
1東京大学大学院経済学研究科．〒113-0033東京都文京区本郷7-3-1. E-mail: [email protected].
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Proof of Theorem 1. 仮にV がLebesgue可測なら，Tr(V ), r ∈ Q ∩ [0, 1)はLebesgue可測 集合であって，λ(Tr(V )) = λ(V ) = α (say). V の定義より，Tr(V ), r ∈ Q ∩ [0, 1)は排反で あり，∪r∈Q∩[0,1)Tr(V ) = [0, 1). ゆえに，α > 0なら，λ([0, 1)) =∑r∈Q∩[0,1)λ(Tr(V )) = ∞ であり，α = 0なら，λ([0, 1)) =∑r∈Q∩[0,1)λ(Tr(V )) = 0となり，いずれにしても矛盾が 生じる．従って，V /∈ Lである．
写像Trの性質はあとでも使うので，次の補題にまとめておく． Lemma 2. 各r ∈ Rに対して，Trは全単射であり，Tr−1 = T−r. Proof. x, y ∈ [0, 1)に対して，Tr(x) = Tr(y)なら，
x − y
| {z }
∈(−1,1)
= ⌊x + r⌋ − ⌊y + r⌋
| {z }
整数
であるから，x = yである．ゆえにTrは単射であり，Tr([0, 1)) = [0, 1)より，全射でもあ る．次に，x ∈ [0, 1), y = T−r(x)とすると，
Tr(y) = y + r − ⌊y + r⌋ = x − ⌊x − r⌋ − ⌊x − ⌊x − r⌋⌋. 場合分けにより，最右辺は= xであることがわかる．
Kolmogorovの拡張定理が成立しない例の構成. S = [0, 1) \ V として，S上のσ-fieldと して，
S = {B ∩ S : B ∈ B([0, 1))}
を考える(B([0, 1))は[0, 1)に含まれるRのBorel subsetsの全体である)．SNをSの可算 直積とし，SNをSNのcylinder σ-fieldとする．さらに，各n ∈ Nに対して，(Sn, Sn)上 のp.m. µnを次のように構成する．
Q= {r1, r2, . . . }
とおいて，Jn = {r1, . . . , rn}, TJn(x) = (Tr1(x), . . . , Trn(x)) と定義する．写像TJn は B([0, 1))/Bn可測である(BnはRnのBorel σ-fieldである)．次の命題を示す．
Lemma 3. λ∗(TJ−n1(Sn)) = 1.
証明に，Lebesgue測度に関する次の有名な事実を用いる．
Lemma 4. E ∈ L, λ(E) > 0とする．このとき，あるϵ > 0が存在して，E − E := {x − y : x ∈ E, y ∈ E} ⊃ (−ϵ, ϵ)となる．
Proof. Dudley (2002, Proposition 3.4.3)を参照せよ．
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Proof of Lemma 3. λ∗([0, 1) \ TJ−n1(Sn)) = 0を示せばよい．TJ−n1(Sn) = ∩ni=1Tr−i1(S) =
∩ni=1Tr−i1([0, 1) \ V ) = ∩ni=1([0, 1) \ Tr−i1(V ))より，
[0, 1) \ TJ−n1(Sn) = ∪ni=1Tr−i1(V ) = ∪ni=1T−ri(V )
であるから，λ∗(∪ni=1T−ri(V )) = 0を示せばよい．そのためには，任意のLebesgue可測集 合E ⊂ ∪ni=1T−ri(V )に対して，λ(E) = 0を示せばよいが，Lemma 4より，E − Eが開区 間を含まないことを示せば十分である．
F = ∪ni=1T−ri(V )とおくと，F − F の各要素は，
xi− ri− (xj − rj) − ⌊xi− ri⌋ + ⌊xj − rj⌋ (xi, xj ∈ V ; i, j = 1, . . . , n)
の形をしている．これが有理数になるのは，xi− xj ∈ Qのときのみであるが，V の定義 より，xi= xjである．従って，
(F − F ) ∩ Q = {−ri+ rj − ⌊x − ri⌋ + ⌊x − rj⌋ : x ∈ V, i, j = 1, . . . , n} であるが，右辺は有限集合である．従って，E − E (⊂ F − F )は開区間を含みえない．
ここで，
Sn= {B ∩ S : B ∈ Bn, B ⊂ [0, 1)n}
と表せることに注意して(証明省略)，写像µn: Sn→ [0, 1]を，A = B ∩ Sn, B ∈ Bn, B ⊂ [0, 1)nに対して，
µn(A) = λ(TJ−n1(B)) と定義する．
Proposition 1. µnは(Sn, Sn)上のwell-definedなp.m.である．
Proof. µnがwell-definedなことのみ示す．B1∩ Sn= B2∩ Sn, Bi ∈ Bn, Bi⊂ [0, 1)n (i = 1, 2)のとき，λ(TJ−n1(B1)) = λ(TJ−n1(B2))を示せばよい．このとき，
B1△B2:= (B1\ B2) ∪ (B2\ B1) ⊂ [0, 1)n\ Sn
であり，一方，λ∗(TJ−n1([0, 1)n\ Sn)) = λ∗([0, 1) \ TJ−n1(Sn)) = 0であって，B1△B2 ∈ Bnより，TJ−n1(B1△B2) ∈ B([0, 1))であるから，λ(TJ−n1(B1△B2)) = 0である．従って， λ(TJ−n1(B1)) = λ(TJ−n1(B2))である．
以上で，目標である次の定理を述べる準備が整った．
Theorem 2(Wegner (1973)). {µn: n ∈ N}はKolmogorovの整合性条件をみたすp.m.’s の族であるが，
µ(A × S × S × · · · ) = µn(A), ∀A ∈ Sn, ∀n ∈ N (*) をみたす(SN, SN)上のp.m. µは存在しない．
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Proof. {µn: n ∈ N}が整合性条件をみたすのは明らか．(*)をみたす(SN, SN)上のp.m. µ が仮に存在するとして，矛盾を導く．ここで，Dn= TJn([0, 1))∩Snとおくと，TJn([0, 1)) ∈ Bnであるから，Dn ∈ Snである．そこで，An = Dn × S × S × · · · ⊂ SNとおくと， An∈ SN, An⊃ An+1 (∀n ∈ N)である．
∩∞n=1An= ∅
を示す．実際，仮に∩∞n=1An̸= ∅ならば，あるx ∈ [0, 1)が存在して，任意のnに対して， TJn(x) ∈ Snが成り立つ．これは，任意のr ∈ Qに対して，Tr(x) ∈ S, i.e., x ∈ Tr−1(S) が成り立つことを意味するが，Tr−1 = T−rであったから，結局，
x ∈ ∩r∈QTr(S) を意味する．しかし，
∩r∈QTr(S) = ∩r∈QTr([0, 1) \ V ) = [0, 1) \ ∪r∈QTr(V ) = ∅ であるから，矛盾が生じる．従って，An↓ ∅である．
いま，µを(*)をみたす(SN, SN)上のp.m.とすると，
µ(An) = µn(Dn) = λ(TJ−n1(TJn([0, 1))) = λ([0, 1)) = 1
となるが，µがp.m.であることと，An↓ ∅より，これは起こりえない．従って，(*)をみ たす(SN, SN)上のp.m.は存在しない．
参考文献
Dudley, R.M. (2002). Real Analysis and Probability. Cambridge University Press. Wegner, H. (1973). On consistency of probability measures. Z. Warsch. verw. Gebiete.
27 335-338.
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