No3 経済統計 2014 冬学期 Kengo Kato

2015. 1.21.

経済時計 資料

加藤 賢悟

計量経済分析

線形回帰の復習：(y_i, x_i), i = 1, . . . , nは独立同一分布に従っているとし，

y_i = α + βx_i+ u_i,

という関係が成り立っているとする．ただし，E[x²_i] < ∞, E[ui^{] = 0, E[u2}_i^{] <}

∞^{とする．u}i ^{= y}i− (α + βxi⁾であるから，(u_i, x_i), i = 1, . . . , nもi.i.d.であ る．このとき，βの最小二乗推定量は

β =ˆ

∑

i^(xi− ¯x)(yi− ¯y)

∑

i^(xi− ¯x)² で与えられる．ただし，

¯ x = ¹

n

n

∑

i=1

xi, ¯y = ¹ n

n

∑

i=1

yi

である．これをすこし変形していくと， β = β +ˆ ⁿ

−1^∑

i^(xi− ¯x)ui

n^−1∑_i(x_{i− ¯x)}² となる．ところで，

n^−1∑

i

(x_{i− ¯x)ui}= n^−1∑

i

x_iu_{i− ¯x¯u, n}^−1∑

i

(x_{i− ¯x)}²= n^−1∑

i

x²_{i − (¯x)}².

大数の法則を用いると，_{n → ∞}のとき，

n^−1∑

i

x_iu_{i → E[x}^p _iu_i] = Cov(x_i, u_i), n^−1∑

i

x²_{i → E[x}^{p 2}_i],

¯

x_{→ E[x}^p i], ¯u_{→ E[u}^p i] = 0.

E[x²_{i] − (E[xi}])²= Var(x_i)に注意すると，_{n → ∞}として， βˆ_{→ β +}^{p Cov(xi, ui)}

Var(x_i) ^.

ただし，Var(xi) > 0は仮定する．つまり，次の定理を得る．

定理1. Var(xi^{) > 0}のとき，β^ˆがβの一致推定量である（つまり，β^ˆ_{→ β}^p と なる）ための必要十分条件は，

Cov(x_i, u_i) = 0,

となることである．

一般に，線形回帰において誤差項と説明変数は無相関と仮定する．その様 な場合，最小二乗推定量は一致推定量となる（さらに適当な仮定の下で漸近 正規性をみたす）．ただし，経済分析において，説明変数と誤差項が無相関で あると仮定できないないしは仮定することが妥当でないケースがしばしばあ る．ところで，説明変数x_iで

Cov(x_i, u_i) = 0

を満たすものを外性変数，

Cov(x_i, u_{i) ̸= 0}

を満たすものを内生変数とよぶ．xiが内生変数の場合，βの最小二乗推定量 は漸近バイアス

Cov(x_i, u_i) Var(xi) をもつ．これを内生性バイアスとよぶ．

例：同時方程式ある財のi期における需要量，供給量をそれぞれq^d_i, q_i^sと し，その価格をp_iとおく．このとき，次のような簡単な需要・供給モデルを 考える：

q^d_i = α⁰+ α¹pi+ ui, q^s_i = β⁰+ β¹pi+ vi.

ただし，

E[u_i] = 0, E[v_i] = 0, Cov(u_i, v_i) = 0

を仮定する．いま，需要方程式にのみ興味があるとし，α0, α1_{の推定を考え}

る．均衡状態では

q_i^d= q_i^s= qi

であることに注意すると，上記2式を連立すると， p_i= ^{β0− α0}

α1_{− β}1

+ ^{vi− ui} α1_{− β}1

と書ける（分母はすべて_{̸= 0}と仮定する）．すると， Cov(p_i, u_{i) = −E[u}²_i]/(α1_{− β}1_{) ̸= 0.}

とくに，説明変数と被説明変数とが同時に決定されるような場合は，説明 変数が内生的となる可能性を考慮すべきである（エンゲル関数の推定もその 一例）．

例：除かれた変数の問題：いま，説明変数がx_iのほかにz_iがあって， y_i= α + βx_i+ γz_i+ u_i, E[u_i] = 0, Cov(x_i, u_i) = 0,

が成り立っているとする．ところで，何らかの理由でz_iが観測できない(例： 個人の能力)ので，x_iのみ説明変数に用いて回帰してしまったとする．この とき，

yi = (α + γE[zi]) + βxi+ [γ(zi_{− E[z}i]) + ui] = α^′+ βxi+ vi, であって，

Cov(x_i, v_i) = γ Cov(x_i, z_i). 右辺はγ ̸= 0, Cov(x^{i, zi}) ̸= 0^なら̸= 0^．

操作変数法：一般に説明変数が内生的であるような線形回帰モデルを考 える．

y_i= α + βx_i+ u_i, E[u_i] = 0, Cov(x_i, u_{i) ̸= 0.} このとき，

• ^誤差項uiには相関してなくて，

• ^{内生変数x}iには相関している 変数z_iがあったとする．つまり，

Cov(z_i, u_i) = 0, Cov(z_i, x_{i) ̸= 0.}

このような変数ziを操作変数とよぶ．操作変数ziが与えあれらたとき，回帰 式の両辺とz_iの共分散を取ると，

Cov(zi, yi) = β Cov(zi, xi) + Cov(zi, ui) = β Cov(zi, xi)

すなわち，

β = ^{Cov(zi, yi)} Cov(z_i, x_i)^. さらに，

E[y_i] = α + βE[x_i], より，

α = E[y_{i] − βE[xi}] = E[y_{i] −} ^{Cov(zi, yi)} Cov(x_i, z_i)^E[xi]. ここで注意すべきなのは，

Cov(z_i, y_i), Cov(z_i, x_i), E[y_i], E[x_i]

はすべてデータから一致推定量を構成することが可能で，α, βの表現におい て上記の量の代わりにその一致推定量を代入すれば，α, βの一致推定量が得 られる．

具体的には， β =ˆ

∑

i^(zi− ¯z)(yⁱ− ¯y)

∑

i^(zi− ¯z)(xi− ¯x)^{, ˆα = ¯y − ˆβ ¯x.} これらを，α, βの操作変数推定量と呼ぶ．

以下，β^ˆの性質を調べる．簡単な計算から， β = β +ˆ ⁿ

−1^∑

i^{(zi− ¯zi)ui}

n^−1∑_i(z_{i− ¯z)(xi− ¯x)}^.

データはすべてi.i.d.で，適当なモーメント条件を仮定する．すると， 分母_{→ Cov(z}^p i^{, x}i^).

一方，

n^−1∑

i

(z_{i− ¯zi})u_i= n^−1∑

i

z_i^cu_{i− ¯z}^cu, z¯ ^c_i = z_{i− E[zi}].

中心極限定理を使うと，

√n¯z^cu¯_{→ 0, n}^{p −1/2∑}

i

z_i^cu_i → N(0, E[(z^d i^cui) 2]).

従って， √

n( ˆ_{β − β)}→ N(0, E[(z^d i^cui)

2]/(Cov(z_i, x_i))²). 簡単のために，分散均一性

E[u²_{i | z}i] = σ²_u を仮定すると，

√n( ˆ_{β − β)→ N(0, σ}^{d 2}_uVar(zi)/(Cov(zi, xi))²).

漸近分散の推定：上の漸近分布の結果をβの信頼区間の構成に使うには， 漸近分散を推定する必要がある．ここで，

Var(z_i), Cov(z_i, x_i)

はそれぞれ

Var(zˆ _i) = ¹ n

n

∑

i=1

(z_{i− ¯z)}², Cov(z^ˆ _i, x_i) = ¹ n

n

∑

i=1

(z_{i− ¯z)(xi− ¯x)}

で推定できる．

Var(zˆ _i)_{→ Var(z}^p _i), Cov(z^ˆ _i, x_i)_{→ Cov(z}^p _i, x_i). また，σ_u²は

ˆ σ²_u= ¹

n

n

∑

i=1

ˆ

u²_i, ˆu_i= y_{i− ˆα − ˆ}βx_i= y_{i− ¯y − ˆ}β(x_{i− ¯xi})

で推定できる．実際，

ˆ

u²_i = (ui_{− ¯u − ( ˆβ − β)(x}i_{− ¯x}i))²

= u²_i + ¯u²+ ( ˆ_{β − β)}²(xi_{− ¯x}i)²_{− 2(u}i_{− ¯u}i)¯_{u − 2u}i( ˆ_{β − β)(x}i_{− ¯x}i),

だから，

ˆ σ_u² = ¹

n

n

∑

i=1

u²_i + o_p(1)_{→ σ}^{p 2}_u.

従って，漸近分散を

V = σ_u²Var(zi)/(Cov(zi, xi))²

とおくと，V は

V = ˆˆ σ²_uVar(z^ˆ _i)/ ˆCov(z_i, x_i)

で推定できる．

Vˆ _{→ V.}^p よって，

Vˆ^−1/2√n( ˆ_{β − β)→ N(0, 1)}^d だから，_{q ∈ (0, 1)}に対して，c_1−q/2を

P (|N(0, 1)| ≤ c1−q/2) = 1 − q となるようにとると，区間

[ ˆ_{β − c1−q/2}

√_{V /n, ˆ}ˆ _{β + c}

1−q/2

√_{V /n]}ˆ

はβの近似的な_{1 − q}信頼区間を与える．実際，

P (β ∈ [ ˆβ − c1−q/2

√_{V /n, ˆ}ˆ _{β + c}

1−q/2

√_{V /n])}ˆ

= P (| ˆ^{V−1/2√n( ˆ}β − β)| ≤ c1−q/2) → 1 − q.