宿題11 数理統計 2016 S1・S2 Kengo Kato

2016.7.14. 出題：加藤賢悟 宿題 11

• ^{提出期限：7/21の講義終了時．}

問題

1. X1, . . . , X_n∼ U(0, 1) i.i.d.^{とすると，}0 < u < v < 1に対して， P(X_{(1) ≤ u, X(n)}≥ v) = 1 − (1 − u)ⁿ− vⁿ+ (v − u)ⁿ を示せ．

2. X = (X₁, . . . , Xk)^′, Xⁿ= (X₁ⁿ, . . . , X_kⁿ)^′をk次元の確率変数とする．このとき，

X^{n P}_{→ X ⇔ Xj}ⁿ_{→ X}^P j ∀j = 1, . . . , k

を示せ．ヒント：x= (x₁, . . . , x_k)^′ _{∈ R}^kに対して，_{∥x∥ ≥ |x}j| (j = 1, . . . , k), ∥x∥ ≤

∑k

j=1|x^j|^である．

3. k次元の確率変数列Xⁿ = (X₁ⁿ, . . . , X_kⁿ)^′に対して，Xⁿ = O_P(1)であることと，各 j= 1, . . . , kに対してX_jⁿ= OP(1)であることは同値であることを示せ．

4. X_n, Y_nを1次元のr.v.’sとし，X_n= O_P(1), Y_n= o_P(1)とする．このとき，次の関係 を示せ．

(a) X_n+ Y_n= O_P(1). (b) YnXn= oP(1).

5. F を_R上のd.f.とし，X₁, . . . , X_{n∼ F i.i.d.}とする．Fb_n(x) = n^−1∑n_i=1I(Xi _{≤ x)}と おいたとき，x < yに対して，

√n^{( bFn}(x) − F (x) b

F_n(y) − F (y) )

の極限分布を求めよ．

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