宿題19 測度論的確率論 2015 Kengo Kato

2015.10.20.

宿題

¹⁹

提出期限：11.2の講義開始時．

問題

1. 講義ノート22節の後半の設定に従うとし，X1, X2, . . . はi.i.d.とする．いま，T を可算集 合とし，各t ∈ T に対して，ft: S → Rを可測関数であって，F := sup_t∈T |ft|と定義した とき，E[F (X1)] < ∞とする．このとき，n ≥ 1に対して，

Yn= sup

t∈T

     1 n

n

∑

i=1

{ft(Xi) − E[ft(Xi)]}      ,

とおくと，{Y−n : n ≤ −1}は{E−n : n ≤ −1}に関するバックワード・劣マルチンゲール であることを示せ．ヒント：n ≥ 2に対して，E[Yn−1| En] ≥ Ynを示せばよい．

2. X1, X2, . . . をexchangeableな(R-valued) r.v.’sとし，E[X₁²] = 1とする．

（a）E[XiXj] (i ̸= j)の値はi ̸= jの選び方によらないことを示し，E[X1X2] ≥ 0を示せ．

（b）与えられたρ ∈ [0, 1]に対して，ρ = E[X1X2]となるようなX1, X2, . . . の例を与えよ． 3. X = (X1, . . . , Xk)と^Y = (Y1, . . . , Yk)を^Rk-valued r.v.’sであって，あるM > 0が存在

して，P (X ∈ [−M, M ]^k) = P (Y ∈ [−M, M ]^k) = 1とする．このとき，任意の非負整数 α1, . . . , αkに対して，E[^∏k_j=1X_j^αj] = E[^∏k_j=1Y_j^αj]ならば，^X = Y^d であることを示せ． ヒント：∀t ∈ R^kに対して，⟨t, X⟩= ⟨t, Y ⟩^d を示せばよい．Thm. 13.2を使う．

4. (Blackwell-MacQeenの壺^*1)壺のなかにk色のボールが入っているとし，色を1, . . . , kで ラベルする．色jのボールはαj 個あるとすると，壺のなかには最初α1+ · · · + αk =: α個 のボールが入っている．まず壺のなかのボールをランダムに1つ選び，その色の番号をX1

とする．次に最初にとったボールを壺に戻し，さらにX1と同じ色のボールを1つ壺に追加 し，再び壺のなかからランダムにボールを1つ選び，その色の番号をX2とする．この操作 を繰り返して，r.v.’s X1, X2, . . . を得る．n + 1回目の操作の直前に壺に入っている色jの ボールの個数はαj +^∑n_i=1δXi^(j)である．ただし，δXi(j) = 1 if Xi = j, δXi^{(j) = 0 if}

*1Blackwell and MacQueen (1973). その他に，Fristedt and Gray (1997)のChapter 27も参考になる．

1

Xi̸= jである．

(a) (X₁, . . . , Xn)の同時分布は

P (X1= j1, . . . , Xn= jn) = ¹ (α)^[n]

k

∏

j=1

(αj)^[n(j)], 1 ≤ j1, . . . , jn≤ k

と表せることを示せ．ただし，n(j) = Card({i ∈ {1, . . . , n} : ji = j}, (a)^[m] = a(a + 1) · · · (a + m − 1)である．

(b) X1, X2, . . . がexchangeableであることを示せ．

(c) (b) の結果と，de Finetti の定理より，exchangeable σ-field E を条件付けたとき， X1, X2, . . . はi.i.d.である．そこで，

Yj = P (X1= j | E), j = 1, . . . , k

とおくと，Y1, . . . , YkはYj ≥ 0 (j = 1, . . . , k), Y1+ · · · + Yk = 1 a.s.をみたすr.v.’s であり，

P (X1= j1, . . . , Xn = jn| E) = Yj₁· · · Yjn ⁼

k

∏

j=1

Y_j^n(j)

と表せる．このとき，

(Y1, . . . , Yk) ∼ Di(α1, . . . , αk)

を示せ．ただし，Di(α1, . . . , αk)はパラメータ(α1, . . . , αk)をもつDirichet分布を表 す^*2．ヒント：(Z1, . . . , Zk) ∼ Di(α1, . . . , αk)としたとき，任意の非負整数β1, . . . , βk

に対して，E[^∏k_j=1Y_j^βj] = E[^∏k_j=1Z_j^βj]を示せ．

(d) n + 1 回目の操作の直前に壺に入っている色 j のボールの個数の割合は (αj +

∑n

i=1^δXi(j))/(α + n)であった．n → ∞としたとき， ( α1^+∑

n

i=1^δXi(1)

α + n ^{, . . . ,}

αk+^∑n_i=1δXi^(k)

α + n

)

→ (Y1, . . . , Yk) a.s.

を示せ．

5. 次の(a)と(b)を示せ．

(a) {Fn}-adaptedな r.v.’s Yn, n ≥ 0に対して，N がN < ∞ a.s. なる停止時刻なら， YN ∈ FN. さらに，Y∞ = limn→∞Yn が存在すれば，一般の停止時刻N に対して， YN ∈ FN.

*2_Dirichlet分布の定義は最後に与えている．

2

(b) M ≤ N を停止時刻とすると，FM ⊂ FN.

6. L ≤ M を停止時刻とし，任意のA ∈ FLに対して，

N (ω) =







L(ω), ω ∈ A, M (ω), ω ∈ A^c, とおくと，N は停止時刻であることを示せ．

7. N を停止時刻とし，あるm ∈ N とϵ ∈ (0, 1)が存在して，P (N ≤ n + m | Fn) > ϵ a.s. (∀n ≥ 0)とする．

(a) P (N > km) ≤ (1 − ϵ)^k (k = 1, 2, . . . )を示せ．ヒント：帰納法． (b) E[N ] < ∞を示せ．

8. (Wald の第 2 等式) ξ₁, ξ₂, . . . を i.i.d. r.v.’s とし，E[ξ₁] = 0, E[ξ₁²] < ∞ とする． Sn = ξ1 + · · · + ξn とし，Fn = σ(ξ1, . . . , ξn) (ただし，F0 = {∅, Ω} とする) とした とき，任意の可積分な停止時刻N に対して，Var(SN) = Var(ξ1)E[N ]を示せ．

Dirichlet分布の定義. Ga(α, β)をシェイプパラメータα ≥ 0，逆スケールパラメータβ > 0を もつガンマ分布とする．ただし，Ga(0, β)は0に退化した分布である．α > 0のとき，Ga(α, β) は密度関数x^{α−1 e−βx}_Γ(α)^βα1(0,∞)(x)をもつ．Γ(α)はガンマ関数である：Γ(α) =^∫₀^∞x^α−1e^−xdx.

いま，α1, . . . , αk ≥ 0の少なくとも1つは正であるとし，G1, . . . , Gkを独立なr.v.’sであって， Gj ∼ Ga(αj, 1)とする．ここで，Yj = Gj/^∑k_i=1Gi (j = 1, . . . , k)とおいたとき，(Y1, . . . , Yk) の同時分布をパラメータ(α1, . . . , αk)をもつDirichlet分布 と呼び，Di(α1, . . . , αk)で表す．

参考文献

Blackwell, D. and MacQueen, J.B. (1973). Ferguson’s distribution via P`olia urn schemes. Ann. Statist. 1 353-355.

Fristedt, B.E. and Gray, L.F. (1997). A Modern Approach to Probability Theory. Springer.

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