2015.11.17.
宿題
22
提出期限：11.24の講義開始時．
問題
以下，状態空間は常に可算と仮定する．
1.–3. Durrett 6.4.9 (cf. Durrett Theorem 6.4.8), 6.5.1 (µ(x) > 0 (∀x ∈ S)と仮定せよ), 6.5.7 (下の問題も参照).
4. µを既約かつ再帰的なマルコフ・チェインの定常測度とする．このとき，µ(x) > 0 (∀x ∈ S) を示せ．
5. 有限な状態空間をもつマルコフ・チェインは少なくとも1つの定常分布をもつことを示せ．
6. {Xn}を既約かつ正再帰的なマルコフ・チェインで，そのカーネル p(x, y)は p(x, x) =
0 (∀x ∈ S)をみたすとする．π を{Xn}の一意な定常分布とし，r : S → (0, 1)を与えら れた関数とする．いま，q(x, x) = 1 − r(x), q(x, y) = r(x)p(x, y) (x ̸= y)とし，{Yn}を
q(x, y)をカーネルにもつマルコフ・チェインとすると，{Yn}は既約かつ再帰的であって，
µ(x) = π(x)/r(x)を定常測度にもつことを示せ．さらに，{Yn}が正再帰的であるための必
要十分条件は∑x∈Sπ(x)/r(x) < ∞であることを示せ．
1
