と部分集合に分解します。するとu- 番目のインデックス部分集合に対して、(φ0a)は(φ0a)u
に比例した単位行列になります。つまり、
φ0a=
(φ0a)11k1
(φ0a)21k2
(φ0a)31k3
. ..
(φ0a)N1kN
(4.2.27)
v - 番目のブロックに対して固定点の解は、
(χa)ij = −(φ0a)vδij, wuiα˙ ∼ δuv
(a0n)ij ∼ δij. (4.2.28)
で与えられます。そこで、これらにADHM constraintsを課して解きますと、固定点の空 間というのは非可換U(1)インスタントンと呼ばれるものの和に分解される。u - 番目の ブロックでは、非可換U(1)インスタントンのkuインスタントンを導きます：
~ τα˙β˙
k1+X···+ku
k1+···+ku−1+1
wβui˙wuiα˙ −~ζ = 0 (4.2.29) ζ~= 0の場合は、wuiα˙ = 0 とa0n=−diag(X1、· · ·, Xn)となって、解はpoint-like インス タントンになります。
各固定点で作用を評価してやって、その周りで Gauss 積分をしてやって具体的に 1 ‐ インスタントン計算をやったのが
Ze(N=2,NF) = XN v=1
YN u=1,u6=v
1 (φ0v−φ0u)2
NF
Y
f=1
(mf +φ0v)
(4.2.30)
です。
4.3 Multi-instanton calculus and localization, Nekrasov’s formula
s
h v
Y Y
(s) (s)
図6: Young図と partitionの対応、hとv の定義。
数 k をk=k1+· · ·+kN とN 個の和へ partitionしましょう。`= 1、2、. . . , N として k`≥0とします。そうして、k` >0であるすべての`に対してk`のpartitionY` を
k`=k`,1+· · ·+k`,ν`,1, k`,1 ≥ · · · ≥k`,ν`,1 >0 (4.3.2) と与えます。その dual partition が
k`=ν`,1+· · ·+ν`,k`,1, ν`,1≥ · · · ≥ν`,k`,1 >0 (4.3.3) だとしましょう。Y`はYoung 図になりますね。図6を見てください。
一般kインスタントンでの結果が次の公式です。固定点周りでのLorentz 群SO(4)の maximal torus の作用の指標は、Young 図Y = (Y1、· · ·, YN)で特徴づけられます[37]。 ゲージ群 SU(N)のmaximal torusの寄与も考慮に入れると、固定点での接空間の指標は
χ(a, ²1, ²2) = XN λ,µ=1
TaµTa−1
λ
X
s∈Yλ
T1−hλ(s)T21+vµ(s)+ X
s0∈Yµ
T11+hµ(s0)T2−vµ(s0)
となります。ただしゲージ回転が diag(a1、a2、. . . , aN) で行い、Lorentz 回転を diag(²1
、²2) だけ行ったとして、Taλ =eiaλ 、Ta =ei²a と略記しました。TaµTa−λ1T1m1T2m2 なら、
ウエイトが aµ−aλ+m1²1+m2²2 ということです。
公式中の h、v は、もし箱sがYoung 図のi- 番目の列とj - 番目の行にあるのなら、
hλ(s) = νλ,i−j (4.3.4)
vλ(s) = νλ,j0 −i (4.3.5)
と定義します。ただし、i > νλ,10 とj > νλ,1の時は h=v = 0と定めます。図6を参照し てください。
すると、分配関数は次で与えられます[13]： (detL)1/2¯¯¯
(Y1,···,YN) = YN λ,µ=1
Y
s∈Yλ
(aµλ−²1hλ(s) +²2(1 +vµ(s))) Y
s0∈Yµ
(aµλ+²1(1 +hµ(s0)) +²2vλ(s0))
として、
Z(a, ²1, ²2) = X
Y1,···,YN
1 (detL)1/2¯¯
(Y1,···,YN)
(4.3.6) となる。
SU(N)、k= 1の場合の例を具体的に書くと、Y = (Y1、· · · , YN)はY = (∅,· · · ,2,· · ·,∅) しか選びようがないですから、2 が何番目にあるかについて足し上げて、
detL12 =²1²2 Y
u6=v
(au−av)(av−au+²) (4.3.7) となります。
この公式は Young 図に関する和を含んでおり、これだけでは何を意味しているのかま だ不明の点もあります。そこで最近はtopological stringを使ってもう少しこういう和を足 しあげる、ということが議論されており、これからの面白い話題です。またgravitational
correction といったことが今後重要になってくると個人的には思われます。おしまいに、
Seiberg-Witten の結果と比較する際にどうすればよいかだけ説明しておきますと、
Finst(a) = lim
²1,2→0²1²2logZ(a, ²1, ²2) (4.3.8) が Seiberg-Witten のprepotential の instanton correction部分になるべし、ということ が物理的な議論で判っています。このFinstはYoung 図の足し上げの極限で定まっていま すが、Seiberg-Witten の prepotential のほうは前の節で説明しましたように、curve と
その上の differential の積分で定まっていましたから、一見非常に違うものです。それを
具体的に示したのは Nekrasov-Okounkov [38]と中島 -吉岡 [39]です。中島- 吉岡のレク チャーノート [40]も一読に値すると思います。
参考文献
[1] A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. S. Shvarts and Y. S. Tyupkin, “Pseudoparticle Solutions Of The Yang-Mills Equations,” Phys. Lett. B59(1975) 85.
[2] G. ’t Hooft, “Computation Of The Quantum Effects Due To A Four-Dimensional Pseudoparticle,” Phys. Rev. D 14, 3432 (1976) [Erratum-ibid. D18, 2199 (1978)].
[3] M. F. Atiyah, N. J. Hitchin, V. G. Drinfeld and Y. I. Manin, “Construction Of Instantons,” Phys. Lett. A 65, 185 (1978).
[4] D. Amati, G. C. Rossi and G. Veneziano, “Instanton Effects In Supersymmetric Gauge Theories,” Nucl. Phys. B249, 1 (1985).
[5] V. A. Novikov, M. A. Shifman, A. I. Vainshtein and V. I. Zakharov, “Instanton Effects In Supersymmetric Theories,” Nucl. Phys. B229, 407 (1983).
[6] I. Affleck, M. Dine and N. Seiberg, “Dynamical Supersymmetry Breaking In Super-symmetric QCD,” Nucl. Phys. B241, 493 (1984).
[7] N. Seiberg and E. Witten, “Electric - magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory,” Nucl. Phys. B 426, 19 (1994) [Erratum-ibid. B430, 485 (1994)] [arXiv:hep-th/9407087].
[8] D. Finnell and P. Pouliot, “Instanton calculations versus exact results in four-dimensional SUSY gauge theories,” Nucl. Phys. B 453, 225 (1995) [arXiv:hep-th/9503115].
[9] K. Ito and N. Sasakura, “One-Instanton Calculations in N = 2 Supersymmetric SU(Nc) Yang-Mills Theory,” Phys. Lett. B382, 95 (1996) [arXiv:hep-th/9602073].
[10] N. Dorey, V. V. Khoze and M. P. Mattis, “Multi-Instanton Calculus in N=2 Super-symmetric Gauge Theory,” Phys. Rev. D 54, 2921 (1996) [arXiv:hep-th/9603136].
[11] T. J. Hollowood, V. V. Khoze, W. J. Lee and M. P. Mattis, “Breakdown of cluster decomposition in instanton calculations of the gluino condensate,” Nucl. Phys. B 570, 241 (2000) [arXiv:hep-th/9904116].
[12] T. J. Hollowood, “Calculating the prepotential by localization on the moduli space of instantons,” JHEP 0203, 038 (2002) [arXiv:hep-th/0201075].
[13] N. A. Nekrasov, “Seiberg-Witten prepotential from instanton counting,” Adv.
Theor. Math. Phys.7, 831 (2004) [arXiv:hep-th/0206161].
[14] J. Wess and J. Bagger, “Supersymmetry and supergravity,” Princeton University Press, 1992
[15] N. Dorey, T. J. Hollowood, V. V. Khoze and M. P. Mattis, “The calculus of many instantons,” Phys. Rept.371, 231 (2002) [arXiv:hep-th/0206063].
[16] E. B. Bogomolny, “Stability Of Classical Solutions,” Sov. J. Nucl. Phys.24 (1976) 449 [Yad. Fiz.24 (1976) 861].
[17] M. K. Prasad and C. M. Sommerfield, “An Exact Classical Solution For The ’T Hooft Monopole And The Julia-Zee Dyon,” Phys. Rev. Lett.35, 760 (1975).
[18] I. Affleck, “On Constrained Instantons,” Nucl. Phys. B191, 429 (1981).
[19] K. Ito and N. Sasakura, “Exact and microscopic one-instanton calculations in N = 2 supersymmetric Yang-Mills theories,” Nucl. Phys. B 484 (1997) 141 [arXiv:hep-th/9608054].
[20] E. Witten and D. I. Olive, “Supersymmetry Algebras That Include Topological Charges,” Phys. Lett. B 78(1978) 97.
[21] N. Seiberg, “Supersymmetry And Nonperturbative Beta Functions,” Phys. Lett. B 206, 75 (1988).
[22] P. C. Argyres and A. E. Faraggi, “The vacuum structure and spectrum of N=2 supersymmetric SU(n) gauge theory,” Phys. Rev. Lett.74, 3931 (1995) [arXiv:hep-th/9411057].
[23] A. Klemm, W. Lerche, S. Yankielowicz and S. Theisen, “Simple singularities and N=2 supersymmetric Yang-Mills theory,” Phys. Lett. B344, 169 (1995) [arXiv:hep-th/9411048].
[24] U. H. Danielsson and B. Sundborg, “The Moduli space and monodromies of N=2 supersymmetric SO(2r + 1) Yang-Mills theory,” Phys. Lett. B 358 (1995) 273 [arXiv:hep-th/9504102].
[25] M. Alishahiha, F. Ardalan and F. Mansouri, “The Moduli Space of the Super-symmetric G2 Yang-Mills Theory,” Phys. Lett. B 381 (1996) 446 [arXiv:hep-th/9512005].
[26] M. R. Abolhasani, M. Alishahiha and A. M. Ghezelbash, “The moduli space and monodromies of the N = 2 supersymmetric Yang-Mills theory with any Lie gauge groups,” Nucl. Phys. B 480(1996) 279 [arXiv:hep-th/9606043].
[27] A. Gorsky, A. Marshakov, A. Mironov and A. Morozov, “N=2 Supersymmetric QCD and Integrable Spin Chains: Rational Case Nf <2Nc,” Phys. Lett. B 380, 75 (1996) [arXiv:hep-th/9603140].
[28] E. J. Martinec and N. P. Warner, “Integrable systems and supersymmetric gauge theory,” Nucl. Phys. B 459 (1996) 97 [arXiv:hep-th/9509161].
[29] W. Lerche and N. P. Warner, “Exceptional SW geometry from ALE fibrations,”
Phys. Lett. B423, 79 (1998) [arXiv:hep-th/9608183].
[30] K. Ito, Phys. Lett.B406(1997) 54, hep-th/9703180
[31] K. Ito and S.-K. Yang, Int. J. Mod. Phys. A13(1998) 5373, hep-th/9712018 [32] N. Berline, E. Getzler and M. Vergne, “Heat Kernels and Dirac Operators,” 1992,
Springer Verlag.
[33] R. J. Szabo, “Equivariant localization of path integrals,” arXiv:hep-th/9608068.
[34] P. B. Kronheimer and H. Nakajima, “Yang-Mills instantons on ALE gravitational instantons,” Math. Ann. 288(1990) 263.
[35] N. Nekrasov and A. Schwarz, “Instantons on noncommutative R4 and (2,0) su-perconformal six dimensional theory,” Commun. Math. Phys. 198 (1998) 689 [arXiv:hep-th/9802068].
[36] T. J. Hollowood, V. V. Khoze and G. Travaglini, “Exact results in noncommuta-tive N = 2 supersymmetric gauge theories,” JHEP 0105, 051 (2001) [arXiv:hep-th/0102045].