kg 14 インチディスプレイ、

In document Inspiron 1000 オーナーズマニュアル (Page 71-77)

PC カード PC カード リリースラッチ

E- メール、モデム、およびインターネットの問題

2.9 kg 14 インチディスプレイ、

Misalkan x t

( )

menunjukkan ukuran populasi pada waktu t, menunjukkan jumlah kelahiran per individu per satuan waktu, dan

menunjukkan jumlah kematian per individu per satuan waktu

[

b

m

]

, ,

t t+ ∆ ∆ >t t 0. Maka perubahan populasinya adalah sebagai berikut:

(

) ( )

( )

( )

.

x t+ ∆ −t x t =bx t ∆ −t mx tt (2.1) Bagi persamaan (1) dengan ∆t. Jika ∆t mendekati nol, maka diperoleh

( )

( )

dx t rx t

dt = , (2.2) dengan adalah tingkat pertumbuhan intrinsik dari populasi. Model (2.2) menggambarkan populasi akan tumbuh secara

eksponensial jika dan akan menurun secara eksponensial jika .

r= −b m

0

r>

0

r<

(Hallam and Levin, 1986) Definisi 1 [Persamaan Diferensial Biasa] Persamaan diferensial biasa berorde-n adalah suatu persamaan yang mempunyai bentuk umum ( )

(

, , , ,..., n

)

0 F x y y y′ ′′ y = (2.3) dengan 2 2 , dy d y y y dx dx ′= ′′= , dan seterusnya. (Farlow, 1994) Metode Pemisahan Variabel

Langkah 1. Tulis kembali persamaan

( )

( )

f x dy

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Populasi adalah kumpulan individu dari suatu spesies yang sama yang menempati suatu tempat tertentu. Laju perubahan suatu populasi dapat dipengaruhi oleh empat hal yaitu tingkat kelahiran, tingkat kematian, imigrasi dan emigrasi. Tingkat kelahiran yaitu tingkat dimana adanya individu baru yang lahir melalui proses reproduksi yang dapat menambah jumlah populasi. Tingkat kematian yaitu tingkat dimana adanya individu yang mati dalam suatu populasi. Imigrasi yaitu masuknya individu baru ke dalam suatu populasi. Emigrasi yaitu keluarnya individu dari suatu populasi.

Laju perubahan suatu populasi dapat dimodelkan ke dalam suatu persamaan diferensial yang dapat memprediksikan pertumbuhan suatu populasi secara eksponensial. Terbatasnya sumber-sumber seperti ruang dan makanan dan juga adanya jumlah populasi yang terlalu padat menyebabkan populasi dibatasi oleh suatu daya dukung lingkungan sehingga pertumbuhan populasi lambat laun akan menurun dan akhirnya akan berhenti jika populasi sama dengan daya dukung lingkungan.

Berdasarkan dari segi waktu, model pertumbuhan populasi dapat dibagi menjadi model pertumbuhan kontinu dan model

pertumbuhan diskret. Model pertumbuhan kontinu pertama kali diusulkan oleh Verhulst seorang matematikawan dari Belgia. Dia menyebut model ini sebagai persamaan logistik. Salah satu bentuk variasi dari persamaan logistik yaitu persamaan logistik tak otonom. Pada model ini tingkat pertumbuhan populasi dan daya dukung lingkungannya tergantung pada waktu. Hal ini bisa disebabkan oleh adanya pengaruh tahunan yang mempengaruhi laju perubahan populasi. Salah satunya yaitu disebabkan oleh pengaruh musim.

Pada kehidupan nyata, banyak fenomena perubahan populasi yang terjadi secara diskret. Fenomena ini biasanya dimodelkan dalam bentuk persamaan beda.

1.2 Tujuan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah:

1. Mempelajari model pertumbuhan populasi kontinu dan model pertumbuhan diskret.

2. Mencari solusi dari model-model pertumbuhan populasi tersebut. 3. Analisis kestabilan solusi diskret dari

model pertumbuhan kontinu dan model pertumbuhan diskret.

II. LANDASAN TEORI

Model Populasi Eksponensial

Misalkan x t

( )

menunjukkan ukuran populasi pada waktu t, menunjukkan jumlah kelahiran per individu per satuan waktu, dan

menunjukkan jumlah kematian per individu per satuan waktu

[

b

m

]

, ,

t t+ ∆ ∆ >t t 0. Maka perubahan populasinya adalah sebagai berikut:

(

) ( )

( )

( )

.

x t+ ∆ −t x t =bx t ∆ −t mx tt (2.1) Bagi persamaan (1) dengan ∆t. Jika ∆t mendekati nol, maka diperoleh

( )

( )

dx t rx t

dt = , (2.2) dengan adalah tingkat pertumbuhan intrinsik dari populasi. Model (2.2) menggambarkan populasi akan tumbuh secara

eksponensial jika dan akan menurun secara eksponensial jika .

r= −b m

0

r>

0

r<

(Hallam and Levin, 1986) Definisi 1 [Persamaan Diferensial Biasa] Persamaan diferensial biasa berorde-n adalah suatu persamaan yang mempunyai bentuk umum ( )

(

, , , ,..., n

)

0 F x y y y′ ′′ y = (2.3) dengan 2 2 , dy d y y y dx dx ′= ′′= , dan seterusnya. (Farlow, 1994) Metode Pemisahan Variabel

Langkah 1. Tulis kembali persamaan

( )

( )

f x dy

dalam bentuk yang terpisah

g y dy

( )

= f x dx

( )

. (2.5) Langkah 2. Integralkan masing-masing sisi dari persamaan (2.5), untuk memperoleh solusi implisit.

g y dy

( )

=

f x dx

( )

+c,

dengan c adalah suatu konstanta bebas. Langkah 3. Jika mungkin, selesaikan dalam bentuk solusi implisit untuk memperoleh solusi eksplisit.

y

(Farlow, 1994) Definisi 2 [Masalah Nilai Awal]

Masalah nilai awal untuk suatu persamaan diferensial berorde-n 2 2 , , , ,..., 0 n n dy d y d y F x y dx dx dx ⎛ ⎞ = ⎜ ⎝ ⎟⎠

mengandung solusi yang akan dicari dari persamaan diferensial tersebut pada suatu interval yang juga memenuhi syarat awal I n

( )

( )

( )

( ) 0 0 0 1 0 1 1. n n y x y y x y y x y yy− = ′ = ′′ = = M 2 (2.6)

dengan x0∈I dan y y0, 1,....,yn−1 adalah

konstanta yang diberikan.

(

Farlow, 1994) Definisi 3 [Persamaan Diferensial Bernoulli]

Suatu persamaan berbentuk

( )

( )

n

dy

P x y Q x y

dx+ =

disebut persamaan diferensial Bernoulli. Catatan bahwa jika atau 1, maka persamaan Bernoulli adalah linear.

0

n=

(Rice and Strange, 1994) Teorema 1 [Transformasi persamaan Bernoulli ke dalam persamaan linear]

Jika n≠0 atau 1, maka persamaan Bernoulli

( )

( )

n

y′ +P x y=Q x y

dapat direduksi ke persamaan linear dengan mentransformasi v=y1−n.

Bukti:

Langkah pertama, kalikan persamaan diferensial dengan yn, sehingga diperoleh

( )

1

( )

. n n y y− ′ +P x y− =Q x Misalkan v=y1−n

,

maka

(

1

)

n v′= −n yy

atau

. 1 n y v n y ′ ′ = −

Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan diferensial yang diberikan, sehingga diperoleh

( )

( )

1 v v P x Q x n ′ + = −

yang linear dalam v.

(Rice and Strange, 1994) Definisi 4 [Titik Tetap]

Diberikan sistem persamaan diferensial

( )

, n

dx

.

x f x x R

dt = =& ∈ (2.7) Titik x∗ disebut titik tetap jika f x

( )

∗ =0. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan. Untuk selanjutnya akan digunakan istilah titik tetap.

(Tu,1994) Pelinearan

Misalkan x∗ adalah titik tetap, dan misalkan

( )

t x t

( )

x η =

adalah suatu perturbasi (gangguan) kecil jauhnya dari x∗. Untuk melihat apakah gangguan tersebut meningkat atau menurun, kita turunkan persamaan diferensial untuk η. Sehingga,

(

)

, d x x x dt η&= = & (2.8) dengan x∗ adalah konstan. Maka,

( )

(

)

.

x f x f x

η&= =& =+η (2.9)

Kita gunakan ekspansi Taylor sehingga diperoleh,

(

) ( )

( ) (

2 ,

f x∗+η = f x∗ +ηfx∗ +O η

)

(2.10) dengan O

( )

η2

menunjukkan bilangan kuadrat yang nilainya kecil. Catatan bahwa

( )

0

f x∗ = , jika x∗ adalah titik tetap. Oleh karena itu, dari persamaan (2.9) dan (2.10) kita peroleh

( ) ( )

2 . f x O η η&= + η (2.11) Jika f

( )

x∗ ≠0, maka

( )

2 O η diabaikan dan kita dapat menulis perkiraannya

( )

.

f x

η η&=

(2.12) Persamaan (2.12) merupakan persamaan linear dalam η, dan disebut pelinearan sekitar x∗. Hal ini menunjukkan bahwa perturbasi η

( )

t meningkat secara eksponensial jika

( )

0

fx∗ > dan menurun jika f

( )

x∗ <0. Jika f

( )

x∗ =0, maka O

( )

η2

diabaikan dan analisis taklinear diperlukan untuk menentukan kestabilan.

Kemiringan f

( )

x∗ pada titik tetap menentukan kestabilannya. Jika kemiringannya negatif ( f

( )

x∗ <0), maka titik tetap x∗ adalah stabil. Dan jika kemiringannya positif ( f

( )

x∗ >0), maka titik tetap x∗ adalah tidak stabil.

(Strogatz, 1994) Definisi 5 [Kestabilan Solusi Dari Persamaan Diferensial Tingkat Satu]

Pandang sistem persamaan diferensial tingkat satu x′ = f x t

( )

, dengan nilai awal

( )

0 0

x t =x .

Solusinya merupakan fungsi x=x t x t

(

; 0,0

)

(

t0≤t

)

. Untuk mempelajari kestabilan dari

( )

x t pandang solusi yang berdekatan , dengan

(

; 0, 0 y=y t x t

)

y′ = f y t

( )

, ,

( )

0 y t =y0. Misalkan z t

( )

=y t

( ) ( )

x t , maka z′ =F z t

( )

, (*) dengan F z t

( )

, = f x t

(

( )

+z t,

)

f x t t

(

( )

,

)

Solusi z=0 dari (*) dikatakan

1. Stabil jika ∀ >ε 0 dan t1t0,

(

,t1

)

z t

( )

, t 1

δ ε ε

∃ ∋ < ∀ ≥t .

2. Stabil seragam jika stabil dan

( )

δ δ ε= bebas terhadap . t1

3. Stabil asimtotik jika stabil dan

( )

1

z t <δ akan mengakibatkan

( )

0

z t → untuk t→ ∞.

(Grimshow, 1990) Definisi 6 [Kekontinuan fungsi di Suatu Selang]

Kita katakan fungsi kontinu pada selang terbuka

f

( )

a b, jika f kontinu di setiap titik

( )

a b, . f kontinu pada selang tertutup

[ ]

a b, jika f kontinu pada

(

a b,

)

, kontinu kanan di

dan kontinu kiri di .

a b

(Purcell and Varberg, 1987) Definisi 7 [Fungsi Kontinu Sepotong- sepotong (Piecewise Continuous Function)]

Suatu fungsi dikatakan kontinu sepotong- sepotong pada interval tertutup jika interval dapat dibagi ke dalam sejumlah hingga subinterval terbuka , sehingga

a≤ ≤t b c< <t d 1. Fungsi adalah kontinu pada tiap

subinterval f

c< <t d.

2. Fungsi mempunyai limit hingga ketika mendekati tiap-tiap titik ujung dari interval tersebut, sehingga

f t

( )

lim

tc+ f t dan tlim→df t

( )

ada.

(Rice and Strange, 1994)

Definisi 8 [Persamaan Beda (difference equations)]

Persamaan beda adalah suatu persamaan yang menghubungkan anggota-anggota yang berbeda dari barisan bilangan

{

y y y0, 1, 2,...,yn,...

}

dimana nilai dari

barisan tidak diketahui nilainya dan nilai tersebut yang akan dicari.

n

y

(Farlow, 1994) Definisi 9 [Limit Barisan]

Misalkan

{ }

1

n n

s= merupakan barisan bilangan real. Kita katakan bahwa sn mendekati limit L (ketika mendekati tak hingga), jika untuk setiap

n

0

ε> terdapat suatu bilangan bulat positif N sehingga,

(

)

.

n

s − <L ε nN Jika sn mendekati limit L kita tulis lim n

n→∞s =L atau snL

(

n→ ∞

)

.

(

Goldberg, 1976) Definisi 10 [Kekonvergenan Barisan] Jika barisan bilangan real

{ }

mempunyai limit

1

n n

s=

L, kita katakan bahwa

{ }

sn n 1

=

konvergen ke L. Jika

{ }

tidak mempunyai limit, kita katakan bahwa

{ }

1 n n s= 1 n n s= adalah divergen. (Goldberg, 1976)

III. PEMODELAN

In document Inspiron 1000 オーナーズマニュアル (Page 71-77)

Related documents