) ,exp(

1

ˆ 1 z x x

₅₀

p z

_{i i}

i

i

= −

−

= + β

のとき，

( p n f )

y Probabilit

Binomial ˆ , ,

„ 全体としての尤度は個々の尤度の積となり，対数をとること によって個々の尤度の和として求めることができる．

„ （対数）尤度が最大となるように， を定めるパラメータ β と

x50

を推定するのが最尤法である．

„

-2対数尤度はχ

²値と関連する．

p ˆ

i

80

( ) の例

( ^{B x x} )

p = + −

exp

50

1

ˆ 1

81

列の作成

82

「非線形回帰のあてはめ」設定

83

JMP 解析結果

切片 x 項

-26.211489 5.00433617 推定値

6.350431 1.207517 標準誤差

17.04 17.18 カイ2乗

<.0001*

<.0001*

p値(Prob>ChiSq)

推定値は次の対数オッズに対するものです： 0/1 パラメータ推定値

0.50000000 確率

5.23775541 予測値 x

5.05542585 下側限界

5.41318710 上側限界

0.9500 1-Alpha 逆推定

11.077731404 損失

4 DFE

2.7694329 平均損失

1.6641613 平均損失平方根

b x50 パラメータ

5.0043403751 5.237755368 推定値

1.20752566 0.07823367 近似標準誤差

. . 下側信頼限界

. . 上側信頼限界

次の値で解く: 数値 NR 解

「ニ変量の関係」

「逆推定」

で解析した結果

「非線形回帰」での 解析結果

信頼区間の推定に おいて収束しない．

84

まとめ

85

まとめ１

„ 線形と非線形の区別を明確にした．

„ 非線形モデルを解く方法として，最小二乗法 を説明した．

„ 非線形最小二乗法は数値計算で最適値を求 める方法であった．したがって，初期値の設 定が重要である．

„ JMP の「非線形回帰」では， Emax モデルを例 にパラメータとその信頼区間を直接求めた．

86

まとめ２

„ Emax モデルで，酵素反応速度論などの解析 ができることを示した．

„ Emax モデルを拡張し，さらに，効力比につい ても紹介した．

„ Emax モデルとロジスティック回帰のモデル式 の類似性を示し，ロジスティック回帰における 最尤法について説明した．

„ 「非線形回帰」で最尤法が解けることを示した．

87

まとめ３

„ 非線形モデルの解析結果として得られた信 頼区間は統計ソフトによって異なる可能性が あるので，使用しているソフトがどのような信 頼区間を算出しているかを確認することは重 要である．

„ 非線形モデルが解けるようになったことで，適 切なモデルを作成するには，データの裏にあ る専門分野の知識が重要となる．

88

セミナーのご案内

„ 2007 年 9 月 3 日 ( 月 ) 及び 18 日 ( 火 ) の 2 日間で非 線形回帰に関するセミナーを予定．

„ Excel のソルバーを利用して，考え方を説明し，

JMP で追試する．

„ 非線形回帰の解法として，最小二乗法と，最 尤法について説明する．

„ 効力比を求める非線形モデルについて説明 する．

„ 非線形モデル構築における考え方を経時

データを例に説明する．

89

JMP のユーザーサポート 非線形回帰

【モデルライブラリー】抜粋

90

モデルライブラリー

91 ロジスティック2p

"Bates, D.M.and Watts, D.G.(1988), Nonlinear Regression Analysis & its Applications.New York, John Wiley and Sons."

1

1+ theta1 * Exp theta2* X

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Y

-5 0 5

X

92 ロジスティック3p

"Bates, D.M.and Watts, D.G.(1988), Nonlinear Regression Analysis & its Applications.New York, John Wiley and Sons."

theta1 1 + theta2 * Exp theta3 *X

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Y

-1.0 -0.5 .0 .5 1.0 1.5 2.0

X

93 ロジスティック4p

S. (Sylvie) Huet et al.(1996), Statistical Tools for Nonlinear Regression: A Practical Guide With S-Plus and R Examples, Springer

theta1 + theta2 - theta1 1 + Exp theta3 * X- theta4

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Y

0 1 2 3 4 5 6 7 8

X

) (

exp(

1

₅₀

min max

min

B X X

y y y

y + − −

+ −

=

94 Michaelis Mentenモデル(2P)

Raymond H. Myers(1986), Classical and Modern Regression With Applications, Pws Pub Co

theta1 * X theta2 + X

0 25 50 75 100 125 150

Y

.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0

X

ドキュメント内 Microsoft PowerPoint - JMPの非線形回帰handout.ppt (ページ 40-48)