好99％
2 e ゆえにXn＋i＜XBとなる割合は
2（e uaod d） d
ra 十2（c neod d） 一一 d
1
＝一i一十2ua 2
2m
1
：一 一m十r2 Te
国く群2離については、次のことよ弓わかる。最長周期の条件よ弓e≧1である。
また。はcaと互いに素であり、 fAとbとの最大公約数dとも互いに素となるので e≠dである。ゆえに1≦（erGod d）＜dとなり、明らかである。 （証明終）
この定理よ寧d＝（vas b）が小さくなるとXR．1．1＜Xnとなる叡合が理想の値1／2 に近づくことがわかる。実は効がが大きいとdの値が4・さくなる。なぜなら
一45一一
一一 ．．． e1 一．． et
m plv一 ee−pt とすると、最長周期の条件よ喚
d ： Si…1 t t 〈擁歪1∴海藻1盛。、e）
である。ee 2章§4のく1）式で定義される効力sは
dfi ffEi O （uaod m）
を満たす最：小の整数sとなt］1、「e護…1G≦1≦紛の値の最大値が効力sとなる。
すなわち効力が大きくなればあるi（1≦1≦t）についてfiが小旧くな3次のよう
な例を除けばdは小5くなる。
例rfi＝25・73 のとき
d＝・ 22・7＝28の効力は3となll、
d＝ 2・72＝98の効力は5となる。
以下、補題の誕明をする。
補題曳1 1｝ ，k∈Z， k＞尊とすると
…烈h劉一・（嬰ト1）千9i1キ4÷L，一M．
（証明） hj十。 h（k−1）
＝一一32 4 k一：： 一：一IIL： V一 ：V M 一 ＋．
である。yvaod 1を｛y｝と表せば、証明すべき等式の左辺はこの等式の左辺から
Sr、烈h」剖
一一一@4S一
を引いたものである。毛躍k薄とすれば、批燕＝h／gξZであるから
［一1 ｝一li！一g−」＋e），．［一1｝．！（Lll ±；｝lt±一fl」＋t）＋c｝
となB
S＝g．；．，［一1 ｝一｛itsim」＋c）
となる。u謬h〆gとおくと
．烈h」芝。｝磁烈÷＋親．
tとuが互いに素であることと
一s｝m一一．．一！gt uf｝一sig！LgL＋（c mod g），，．一y，geq−ggod g＋一一iLin
t s（Vはvg≦e＜＜v＋1）gを満足する整数）
k k k
であることから、｛c燕｝雪｛c／k＋u〆も｝，…，｛c葎＋〈t一一1）u／t｝を適当に並べ換えれば
。烈÷＋l」Hc響｝＋／響9＋÷｝＋…＋｛￠響＋t謁
と書き直せる。最後に
emodg ． g 1 〈十＝一 k 一 k t
であるかち、上の秘こ現れる撫をはずすことができてs＝g（m！Lg（mS｝rmi：gEL！2C pmed g）＋十 1）
一一47一一
k 一一g 詔（c跡◎d9）十
2
一（・納）＋藪
奄kgi重
が得られる。した：がって
烈11」劃一鼠k評→・一s
一量デ）＋・一（・繭）一㌦1＋9fl
一（同誉k｝1）＋轡i1÷・÷1
（証明終）
一Sg， 一一
§2系列相関検定
全周期にわたる系列相関係数C・ iは
碧轟・ ・ω凹〈幅下。x＞2
C玉＝
嚥。・2 ww（議。X＞2
と書くことができる。このCiを求めるkめに、いくつか関数を定義する。
a〈・）一台＋1一昨｛1：ll菱．
（ （z）） ＝z 一一 Lz」 一一一 一il一一÷ t g （z） ：z一 rz 1 ＋ 一ill一一 一一一 e s （z） ．
（（z））は鋸歯関数と呼ばれ、そのグラフは次の様になる。
〈（Z）＞
z
1一一一一一くY−m一一一一e（f一一一
鋸歯関数（（2））のグラフ 鋸歯関数は補題4護よウ次の性質を持っている。
（（一Z））＝一（（2）） e
＜＜露十鷺））＝＝〈（乞））e tl∈醤。
個） ・（（・））＋（（z＋÷））＋…＋（（・＋ ■〉，、鱗磁．
＿土禦5一唱一プ｝㎜一一…｝
一 一 一 一 刷 扁
＿，／Lニニ／＝遣 有
Q＿
一49一
xノ ｓ〈x ） ：eとなる数とするとts x≠x
垂刀ix ｬ歯開数を駅
S（ty）＝rfi（（一｛！1 Siil−Sl一一 Y ＋g C））＋一lt！m
と謝ことができる．さらに、澱酬。痴孝即（1｝s kg c）を
g（hs ks e）＝1？．，i．．，（（t））（（一IS／ ：￡一＋ ））
綻義す砿全醐にわたる綱糊係数Ciを求めることができ欲の命題が
ある。
命題4。1 全周期にわたる系列報闘係数Ciは
ra O 〈a， m s e＞ 3 一1一 6（ ra 一一一 x 一一 c）
Cl＝
鵡2−1
と表せる。
（読明）嘘。・◎・ω嘱轟・＞2
Cl＝：
馨嘉異緬x2rm〈。語盈mx ＞2
墨・｛・（（誓。＞）÷÷｝：・・ガ（（誓＋c））善 凶早2
12・P轟・（（
鶏2i憩一一1）（3難一1）
6
＆x十弓
lfi 2 i fi 一1）2
4
））÷3・・（・＋6・・x 一3・・（・一1）・
繍2伽2絹瞭＋2−3踏2＋6翰一3）
1［1．．．．E．； ，．tx（（一｛｝2 tiiiU｝一＋， e ））＋3ee（en−1）一一6x 一一3（m一一一 2
擁黛一1
一一T0一
以下、骨子だけ酵算する。
楚織犠｛（（÷））＋1÷1＋÷一÷δ（÷）｝讐十3（・＋＄xx
−12馨轟（〈÷））（櫟））÷6犠（襟））一6ffi（（÷））＋3〈・＋飯・
＝ ee ti （a， ifi s e） ＋6x．．：E．￡．，． （f／ 一一 t） ÷3m 一一一 6 ca （＆， 一一 t） 一i一 3（m 一一一 1）一 6 x t
瓢＝勧ff〈＆望 碗雪 e）十3絡（閣一1）一3鵬2一ト3靴一一69」十3擶十3（mhl）一6x
＝fRa（af晦の一3十駅帰一ズー￠）。 （誕明終）
通常、thは非常に大．きいから1痴の位を無視することができ
く）重刷σ〈a， rne c）〆鵜
という最大絶対誤差が6幽の近似式が得ちれる。
文献【1｝i：Pe82−84を参考にして作った一般Dedek韮ll d和を使って系列相関係数を 出すプログラムをApgeendixに載せておく。
以下、補題の証明をする。
補題軋a
㎞擁曝÷桝レ＋穿1L、，麗，磁．
〈証明）
1．a≦xくa十1〆n，aGZ のとき
ト＋制一・・。≦1＜・
一一T1一
であるから、補題の右辺＝騰となる。また
1｝・a≦至1x〈na牽19
． bi xj ＝ sia．
ゆえに成1｝立つ。
ii。＆十1海≦x〈a十1，aξZ のとき
ト＋k葦11一・，畔÷1一・＋1
となるk〈1≦kくil ）がある。 したがって 右辺＝ku＋韓一k）（a＋1）
：n（a十1）mk．
（1）より
照≦葺lx十k一一1くii（a十1）sn（a十1）≦ll・xr十kくll （a十2）s
． ． Lfi xr−1 ＝ii（a十1）m−k．
ゆえに成9立つ。
補題乱3 任意の正の整数nに対して
f（nx） ：f（x）＋f（ 1×十）＋．．．＋f（．＋一 一1 ）
na−k十1≦韮脳〈亙R（a＋1）一k＋1一漁＋1＞一k≦ft・xく星｝侮＋2） 一ks
〈1）
（証明終）
（2）
となる関数fは、折り返し関数と呼ばれる。次の関数は折り返し関数である。
一 52 一一
a） f（，x ）＝・x一 2i 2．
叫（・）一結：麗．
e） 任意の折移返し関数の利。
（証明）＆〉｛（・）＋￡←＋÷）＋…＋f（・ギ〉
：（xr 一一一 il一）＋ （x＋m｛rm 一g一）＋ ＋ （x＋E／ i 一 Li 一iY
ii（ii 一一 1） n
＝ nx 十 一一一：＝一： 一一nv ＝r−
2 2n
l
＝ ll iY 一 TS ：f（ii xY） ．
b） 1。nxξZのとき
f（nx）＝＝1 ．
董
x＋一①≦1〈n）の中で一つだけ整数となるので （2）の二一．
1三。11x ￠Zのとき
f（iix）＝e ．
i
x十一（O≦1＜のはすべて整数ではないので
く2）の右辺＝O。