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, Y の周辺確率関数という。

確率の総和は 1 なので

n

i 1 m

j 1

p

i j

n

i 1

p

i

m

j 1

p

j

1 が成り立つ。

2 つの連続型確率変数 X , Y についても同時確率密度関数およ

び周辺確率密度関数を考えることができる。

条件付き分布

確率変数 期待値

同時確率分布

同時確率分布と周辺分 布 (I)

同時確率分布と周辺分 布 (II)

同時確率分布と周辺分 布 (II)

同時確率分布と周辺分 布 (II)

条件付き分布 独立性

期待値

確率変数の和の期待値 確率変数の積の期待値 同時確率分布の分散 共分散

共分散の性質 相関係数

確率変数の和の分散 n 変数への拡張

定理4.9 の証明 (平均) 定理 の証明 (分散)

Y が Y y

j

という値をとるという条件の下で， X x

i

となる 確率を考えると

f x

i

y

j

P X x

i

Y y

j

P X x

i

, Y y

j

P Y Y

j

( 乗法定理 ) f x

i

, y

j

f y

j

となる。

f x

i

y

j

を， Y y

j

を与えたときの X x

i

の条件付き確率関

数という。

独立性

確率変数 期待値

同時確率分布

同時確率分布と周辺分 布 (I)

同時確率分布と周辺分 布 (II)

同時確率分布と周辺分 布 (II)

同時確率分布と周辺分 布 (II)

条件付き分布 独立性

期待値

確率変数の和の期待値 確率変数の積の期待値 同時確率分布の分散 共分散

共分散の性質 相関係数

確率変数の和の分散 n 変数への拡張

定理4.9 の証明 (平均) 定理4.9 の証明 (分散)

X が x

i

という値をとるという事象と Y が y

j

という値をとる という事象が独立であるということは

P X x

i

, Y y

j

P X x

i

P Y y

j

となることである。

これは，同時確率関数 f x , y と周辺確率関数 f x , f y また は p

i j

, p

i

, p

j

を用いれば

f x

i

, y

j

f x

i

f y

j

, p

i j

p

i

p

j

が成立することである。

この関係が，すべての i, j について成り立つとき，確率変数 X と Y は ( 統計的に ) 独立であるという。

連続型確率変数の場合には同時確率密度関数 f x , y と周辺確

率密度関数 f x , f y に f x , y f x f y という関係が成立

すれば，確率変数 X と Y は ( 統計的に ) 独立であるという。

期待値

確率変数 期待値

同時確率分布

同時確率分布と周辺分 布 (I)

同時確率分布と周辺分 布 (II)

同時確率分布と周辺分 布 (II)

同時確率分布と周辺分 布 (II)

条件付き分布 独立性

期待値

確率変数の和の期待値 確率変数の積の期待値 同時確率分布の分散 共分散

共分散の性質 相関係数

確率変数の和の分散 n 変数への拡張

定理4.9 の証明 (平均) 定理 の証明 (分散)

離散型確率変数 X , Y の同時確率分布が表 4.6 のように与えら れているとき， X の期待値 ( 平均値 ) を以下のように定義する。

E X

n

i 1 m

j 1

x

i

p

i j

n

i 1

x

i

m

j 1

p

i j

n

i 1

x

i

p

i

Y の期待値も同様に定義される。

連続型確率変数の同時確率分布についても，期待値は同様に 定義できる。

以下の定理 4.5 定理 4.9 は連続型確率変数の場合にも成立

確率変数の和の期待値

確率変数 期待値

同時確率分布

同時確率分布と周辺分 布 (I)

同時確率分布と周辺分 布 (II)

同時確率分布と周辺分 布 (II)

同時確率分布と周辺分 布 (II)

条件付き分布 独立性

期待値

確率変数の和の期待値 確率変数の積の期待値 同時確率分布の分散 共分散

共分散の性質 相関係数

確率変数の和の分散 n 変数への拡張

定理4.9 の証明 (平均) 定理4.9 の証明 (分散)

定理 4.5 確率変数の和の期待値 確率変数 X, Y について

E X Y E X E Y

今ダウンロードする "(I) (II) 2 (I) 2 (II) ..."

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