（1） （2）
Figure 3．8：（1）The case ofμo＜0，〃＝0，6μo，o＜0．（2）The case ofμo＞
0，〃＝0，6μo，o＞0． Each pair of the shaded regionS represents、4．
1κΣ（μo，〃）（テL，ω）1＞κo／2fbr any pointテ∈ノ1μo，μsuf五ciently near T and any unit vectorω∈㍗（Aμo， ）suf丘ciently near o． As in the proof of Assertion 3．15，fbr any integer m suf五ciently greater than lmo， there exists〃m with O＜〃m＜ρand such that Imμm⊂「日ア5（pμo，〃m）and／1〃m⊂『レレ吻（ρμo，μm）have a quadratic tangencyτm， see Fig．3．9． 口
3．3．2 Generic unfblding of the tangency
For short， set pμ。，〃＝p〃，ん。，〃（∬， y）＝ん＠， t1）and（μμ。，〃，uμ。，〃）＝（μ〃，u〃）．
Letηη＝（輪9m，んm（輪，9m））be the homoclinic tangency ofルγμ（ρ m）
and W5（p m）given in Proposition 3．14． Fごom（3．10）， we have
∂∫シm
（靱）ニCm＠一μ m）＋∂m（y−U。m）＋・・，
∂y
∂嘉＠，y）−6m（一一）＋Cm（y−U〃一）＋…
z z
x ↑L 『 x ↑一 一
（1）． （2）
Figure 3．9：
where 6m＝・bμo，〃m， cm・＝cμo，レm， d！m＝（1μo，〃m and o1＝o（1∬一μ〃ml十ly−
u〃mD． Thus 6m∂∫レm（ω， y）／∂31−cη、∂プ『〃m（猛， y）／∂ω＝（6m∂w膓一cL）（y−u〃m）十〇1・
On the other hand， since there exists a unit vector tangent toΣ（μo，〃m）at τmconverges to（1，0，0）as m→oO， limm→。。∂∫レm（輪，gm）／∂ω＝0． Since limm→。。 bm＝bμ。，o≠Oand limm→。。 bm∂m−c三＝det（∬ん。，・）（μμ。，o，uμ。，o）≠
0，
∂念（塗m，9m）一請∂監（㊨）＋6m∂㌃cL（9一輪）＋仇≠・
fbr all su伍ciently large m． By the Implicit Function Theorem， there exists aO2 fUnction y＝g．（5τ，z）＝g（〃，エ， z）de丘ned in a small neighborhood of
（〃m，輪∫ m（塗m，9m））in the（〃，ω， z）−space with
（靱，ん（靱））＝（∬，9 ㊤，の，z）．
Proposition 3．17． FbrαII 8μがcづeη砲／αrge m，τ九e卿α由臨c九〇mocliηic 渉卿e卿石・∫W8（P。m）αηd肝（P m）μψZd8 geηericαIlyατμ＝〃mω励
re3ρecττ・仇e〃一ραrαme彦e晒mi1 e8伊8（Pμ）｝αηd｛肝（P。）｝．
Proo呈Recall that Im，． has the parametrization Im，．（τ）＝（ち輪（〃，τ），玩（〃，τ））
with↓m，〃m（塗m）＝万η． By Definition 3．9（2）， it suf丘ces to show that
雲（ へ2ノ！m，ωη葛）≠聖（輪，塗m，刷㌦，塗m）） （3・13）
fbr all suf丘ciently large m． Note that
無怨（〃m，輪Zm（μ伽塗m））一駕（瞬・・，・），
42・
where塗。。 is theエーcoordinate of a pointアinΣ（μo，0）∩｛z＝0｝the tangent line inωy−plane at which is parallel to（1，0，0）， see Fig．3．7（2）in the case that r is of hyperbolic type． If we set元m，〃＝α；ηm， then鰐（Imo， （元m，．））・＝Im，〃（塗m），
whereη＝m−mo andαμ＝αμo，．． As was seen in the proof of Lemma 3．11，
無∂ U竺（㌦編一∂ 警（卿）≠α （3・4）
We denote the〃−function ym。（〃，元m，．）byんm（〃）． Since limm→。。虎m， ／d〃＝0，
it fbllows from（3．14）that
肋m
（〃m）d〃
〉
∂多竺（ η膓，ωm，〃m）＋∂㍑（㌦，』）㌢（㌦）
∂ymo − ∂ym （癒m〃
∂〃 ∂ω ，m （11ノ（〃m，ωm， m）− o（〃m，輪．） （〃m）＞Oo
（3．15）
fbr some positive constant Oo and all m su伍ciently greater than mo． Since
yη、（ へZノ，工m）：＝β；んη、（〃）fbrβ〃：＝βμ。，〃，
∂ym i 刷一β㌫輪（ m）＋ηβ㌃・dβ〃（ m）んm（ m）
∂〃 d〃 d〃
一β趨（ZノηZ）＋β鵠（㌦）ym（硫m）・
Since limm→∞βμm＝βo＞1and l輪（〃m，編）1≦δ， the inequality（3．15）
implies limm→。。1∂伽（ ム〃m，忽ηL）／∂〃1＝oo． This shows（3．13）． 口
Proo∫o『乃eore7η31． Propositions 3．14 and 3．17 imply Theorem 3．1． 口
、
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