V機構が働くと仮定する。

このとき、4次元時空は非コンパクトである。

一方、 6次元時空はトーラスコンパクト化されている。

次元降下によって低エネルギーの物理を記述する4次元有効作用 を導く。

T双対不変な有効作用 

T

双対変換

行列記法

yy12jd0identify

1

変形モジュライ

両側を同一視する。

コンパクト化のモデル      

各々のトーラスを別々に解析できる。

体積モジュライ

フラックスモジュライ

変形モジュライ

固定するべきモジュライ  

ディラトン

アインシュタインフレイムでの4-d有効作用 

体積 フラックス

変形 シフト ディラトン

ストリングの質量 有効ポテンシャル

ストリングの質量 

体積、 変形、フラックスモジュライは自己双対点で安定化

安定なコンパクト化 

両方の寄与を同時に考える。 

自己双対点で下に凸

有効ポテンシャル

ハッブル減衰 モジュライの振動による変調

ディラトンはマージナルに安定

ディラトンに対する方程式

: モジュライ 

ハゲドーン相 

S = 1

2

∫

d^{4x −ge−2φ ⎡}_⎣⎢^{R + 4}

( )

^{∂φ 2⎤}_⎦⎥ ⁻

_∫

^{d4x F}

( )

^λ,β

ds² = −dt² + e^2λ(t)δ_ij dxⁱdx^j

β = 1 T

−3λ² +ϕ² = 2e^ϕ F + β ∂F

∂β

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ = 2e^ϕE

λ − ϕλ = e^ϕ −∂F

∂β

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ = e^ϕP

E + 3λP = 0

E = const. _λ^ _{= 0}

P = 0 ϕ^ = −2

t

内部空間は固定されていることが分かったので４次元のみを考える

ハゲドーン相

ϕ = 2φ − 3λ

自由エネルギー

ストリング・ガス宇宙論における構造形成 

42

長さ

t k

H⁻¹

H ⁻¹ ≈ ∞

ハゲドーン相

熱揺らぎ

放射優勢

ストリングガスの熱力学 

Z(β) = dEΩ(E)

0

∫

∞ ^e−βE

分配関数は状態密度のラプラス変換として与えられる

Ω(E) = dβ

2πi Z(β⁾

L−i∞ L+i∞

∫

^eβE

逆ラプラス変換は

C

L

β

Z(β⁾ = β_H β − β_H

β_H β − β₁

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

6

Ω(E, R) = β_H^eβHE

[

¹+δ Ω(E,R)

]

^{δ Ω = −}

⁽

^βH_5!^E

⁾

^{5 e−(βH −β1)E}

Heterotic ストリングガスの分配関数は

β₁ = 1− 1

R² + 2− 1 R²

β_H = 2 +1

ストリングガスの状態密度は

ストリングガスの熱揺らぎ 

δρ² = ρ² − ρ ² = − 1 R⁶

∂

∂β ^{F +} β ^∂F

∂β

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ = T² R⁶ C_V

S = logΩ ^{T =} _∂^∂S

E

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

−1

T = T_H 1+ β_H − β₁

β_H δ Ω

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

E = R²

³_s log ³_sT_H R² 1− T

T_H

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

C_V = ∂E

∂T = R²

³_sT 1− T T_H

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−1

δρ² = 1 R⁴

T

³_s 1− T T_H

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−1

熱力学の関係式より

逆に解いて

ただし

β_H − β₁ ≈ ³_s R² 結局

ストリングガスの揺らぎがつくる重力波 

T_i^jT_i^j − T_i^j T_i^j = 1 βR³

∂

∂logR − 1 R³

∂F

∂logR

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ = 1 βR³

∂p

∂R T_ν^µ = G^µα 2

G

∂logZ

∂G^αν なので

p = T ∂S

∂V = −T ∂(β_H − β₁⁾

∂V Eδ Ω

ここで

を使うと

1 βR³

∂p

∂R = 4 3

T²

R⁴³_sT_H 1− T T_H

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ log R²

²_s 1− T T_H

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎢

⎤

⎦⎥

⎥

2

k²h_ij(k) ≈ 8π^Gδ^T_ij^(k) より重力波がつくられる

熱揺らぎのパワースペクトル 

P_h(k) = _p

_s

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

4

1− T T_H

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ log 1

²_sk² 1− T T_H

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎢

⎤

⎦⎥

⎥

2

P_Φ(k) = _p

_s

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

4

1− T T_H

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

−1

∇²Φ = 4π^Gδρ

P_Φ(k) = k³ Φ(k)² = 16π²G²k⁻⁴ δρ² = 16π²G² T

³_s 1− T T_H

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−1

k⁻¹ = R

ポアッソン方程式 と を使うと

となり、スケール不変なスペクトル

が得られる。同様に、重力波についても

まとめ 

 

ストリング・ガス宇宙論は色々と面白い特徴を持ったストリング宇宙論 の１つである。  

 

もちろん、たくさんの問題が未解決のまま残されている。特に、構造形 成の問題はこのシナリオの成否を握っている。 

 

最大の問題はハゲドーン相から膨張宇宙への接続の機構が分かっていな いことである。 

 

インフラトンの正体が分かっていない以上、alternativeを考える価値は

ある。 

内部空間の安定性：backup 

背景場中のストリング 

背景場は定数と仮定する

正準運動量は と定義できる

運動方程式に２形式場からの寄与は無く

なのでモード展開は前と同じ。重心の運動量は

であり、巻き付きのある場合

が得られる

質量公式 

従って、ゼロモードは

と表すことができて、質量公式は

で与えられる

ストリング・ガスの作用 

ストリングの質量スペクトルを定数背景場      の場合に計算する。この計算の後 に背景場を時空の関数       とみなす。        をストリング・ガスの共動個数 密度とする。             

T双対不変性 4次元運動量

ストリング・ガスの共動個数密度 ストリングのエネルギーは

と与えられるので

T双対性と自己双対点 

自己双対点

T双対変換

1

1

モジュライの安定化 I 

平坦方向

自己双対点で質量がゼロとなるストリングモードからなる

第１種のストリング・ガスを考える。

巻きついたストリング・ガスの質公式

有効ポテンシャル

ドキュメント内 中央大学セミナー.ppt (ページ 34-54)