2 1 + ζ =
このシステムで旋回角速度のフィードバック定数Dを零にすると、当然のことながら(4.15)式と なり、この時は船の旋回抵抗によるダンピングファクターのみとなる。
D を大きくすると、時定数 T1は変わらないが、ダンピングファクター：ζ の値だけを自由に調 節することができ、オーバーシュートを無くすることが可能になる。
このように、サーボシステムでは、比例制御量：Pと微分制御量：Dを適度に調整して、最適な 応答になるよう調整することができる。
＜一口メモ＞
制御定数P,Dと人間の行動
人間の行動や思考も制御系設計におけるP,Dに似たところがある。
積極的に素早く行動できる人は一般に「P」が大きいと言える。しかし、単に「P」が大 きいだけでは、早合点や過剰な行動となりがちで、動作が大きく物を破損したり、自分自 身が怪我をすることも多く、一般に「軽率」と評価される。（普通の「P」値の人でも、
過度の興奮状態や、飲酒した場合は、一時的に「P」の値が上がり、こうした状況になり がちになる。）
これを行き過ぎることなくスムーズにするのが「D」である。(5.11)式からもわかるよう に、上記の「P」が大きい人ほど、より大きな「D」が必要になる。これを的確に備えた人 が「堅実」「実直」と信頼される。しかしこれも、過度に「D」が大きすぎると、なかな か行動しようとしない「石橋を叩いて渡る」ような人間となり、これはまた、評価の分か れる結果となる。
機械の制御定数は理論的に決めることができるが、人の行動に関しては、なかなか最適な
「P」と「D」は見つけにくい。各人が若い時代から多くの経験と交流を通して、その人に 的確で相応しい「P」と「D」を備えることが必要である。
６．システムの安定性
前章に示した制御システムの例では、制御定数PやDの組み合わせによってはオーバーシュー トが変化するものの、何れも安定して作動していた。しかし、システムが複雑になってくると応答 も複雑になり、それが安定に作動するかどうか重要な問題になる。
＜制御系の安定・不安定の定義＞
制御系が安定・不安定とは、入力変化があった時、
・その出力が入力に対応して新たな平衡状態に収束（落ち着く）ときは「安定」。
・その出力がいつまでも平衡状態にならない、あるいは発散するような場合は「不安定」
【伝達関数が１次遅れの場合】
制御系の伝達関数が
+ 1 Ts
K
で書き表される場合、このステップ応答は以下のようになった。[T>0]の場合
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
=
−Tt
e K t
x 1
(6.1)[T=0]の場合 伝達関数は単に、Kという比例要素になり、この単位ステップ応答の時系列は、
( ) t K
x =
(6.2)[T<0]の場合は、どうなるだろうか。
( ) ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛ −
=
Tt
e K t
x
1この場合のステップ応答は、やはり(6.1)式となるが、ここで、 e の指数部が時間 t の増加と共 に正に増加するため、応答は無限の大きさに発散する。
t=0 t K x(t)
t=0 t=T t K(1-1/e)
=0.632K K
t=0 t K
１次遅れの場合は、以上のように３種類の応答に分けることができるが、系の安定・不安定につ いては次のようにまとめられる。
Τ >0の時「安定」
Τ =0の時「不安定（限界安定）」
Τ <0 の時「不安定」
【伝達関数が２次遅れの場合】
制御系の伝達関数が
( ) =
2 2+ 2 + 1 s T s T s K
G ζ
で書き表される場合、このステップ応答は以下のよ うになった。①
ζ > 1
の場合、( )
⎪⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ ⎟⎟ +
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
− −
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
− −
=
⎟⎟⎠⎜⎜ ⎞
⎝
−⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
−⎛
1
2 1
1
1 2
2 1
2 1
1 t
t T
T
e
T T e T
T T K T t
x
(6.3)②
ζ = 1
の場合、( )
⎪⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ +
−
=
⎟⎠⎜ ⎞
⎝
−⎛
T e t
K t x
T t 1
1
1
(6.4)
③
ζ < 1
の場合、( )
⎪⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ ⎟ ⎟ +
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛ −
− −
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛ −
−
=
− −1 1
1 sin cos 1
2 2
2
T t e
T t e
K t
x
Tt Ttζ
ζ
ζ ζ
ζζ
(6.5) ただし、
, 1
2 2
1
= −
ζ ζ m T T
T
0<ζ の場合は、上記の安定・不安定の定
義に従えば、応答は時間と共にKに収束 し，上記いずれの場合も安定である。
ここで、ζ ≦0 の場合はどうなるだろうか。この場合のステップ応答は、
[ ζ= 0]
( )
⎭ ⎬
⎫
⎩ ⎨
⎧ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
− ⎛
= t
K T t
x 1
cos
1
(6.6)[-1<ζ<0]
( )
⎪ ⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎪ ⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎟ +
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛ −
− −
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛ −
−
=
1 1 1 sin
cos 1
2 2
2
T t e
T t e
K t x
Tt t
T
ζ ζ
ζ
ζ
ζ ζ
(6.7)
となり、ステップ応答はKを中心に益々振幅が大きくなって時間と共に発散する結果になる。
t t=0
K
t=0 t K
x(t)
③ ②
①
1
22 ζ π
−
T
更にζ が−1より小さくなると、ステップ応答は(4.47)式と同じ形になるが、二つの時定数：T1 T2は 負の値となり、応答はKから離れ、無限の大きさに発散する。
[1=ζ ]
( )
⎪⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ +
−
=
⎟⎠⎜ ⎞
⎝
⎛
T e t
K t x
T t 1
1
1
(6.8) [ ζ <−1]
( )
⎪⎭
⎪ ⎬
⎫
⎪⎩
⎪ ⎨
⎧ ⎟⎟ +
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
− −
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
− −
=
⎟⎟⎠⎜⎜ ⎞
⎝
−⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
−⎛
1
2 1
1
1 2
2 1
2 1
1 t
t T
T
e
T T e T
T T K T t
x
(6.9)ただし、ζ<-1では
1 0 1 0
2 2 1 2
− <
= +
− <
= −
ζ ζ
ζ ζ T T T T
２次遅れの制御系は、以上のように５種類の応答に分けることができるが、系の安定・不安定につ いては次のようにまとめられる。
ζ >0の時「安定」
ζ =0の時「不安定（限界安定）」
ζ <0 の時「不安定」
６．１ ステップ応答・インパルス応答と系の安定・不安定
【伝達関数が１次遅れの場合】
１次遅れのステップ応答は T の値にかかわらず、その解は全て(6.1)式の形で表現することがで きる。より具体的には、伝達関数の分母を以下のように展開する。
Ts +
1= T ( s − P )
(6.10)ただし、PはTs+1=0の根であり、この場合の伝達関数は、
( s P )
T K
−
＜ステップ応答＞ この伝達関数の応答は伝達関数に(1/s)を掛けて与えられる。
( s P ) s s K P s
T
x K 1 1
− +
−
=
− ⋅
=
上式をLaplace逆変換すると、この系のステップ応答は次式となる。
( ) t K ( e
Pt)
x = 1 −
(6.11)
＜インパルス応答＞ この応答は伝達関数そのもので与えられる。
( s P )
T x K
= −
x ( ) t = K e
Pt (6.12)t=0 t K
x(t)
【伝達関数が２次遅れの場合】
前述のステップ応答は一般に複素数を用いて表記すると、その解は全て(6.3)式の形で表現する ことができる。より具体的には、伝達関数の分母を以下のように展開する。
(
1)(
2)
2 2
2
s 2 T 1 T s P s P
T + ζ + = − −
(6.13)ただし、P1,2は
T
2s
2+ 2 T ζ + 1 = 0
の根であり、ζ <
1の場合は複素数になる。
( )
( )
⎪ ⎪
⎩
⎪ ⎪
⎨
⎧
− <
±
−
− >
±
−
=
の場合 の場合 1 1 ,
1 1,
, 2
2
2 1
ζ ζ ζ
ζ ζ ζ
T i P T
P
この場合の伝達関数は、
(
1)(
2)
2 2
2
2 1 T s P s P
K T
s T
K
−
= − + + ζ
＜ステップ応答＞ この伝達関数の応答は伝達関数に(1/s)を掛けて与えられる。
( s P )( s P ) s P KP P s P P KP P s P K s
T
x K
1 1 1 12 2
1 1 1
2 1
2 2
1
2
+
⎟⎟ −
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
− −
⎟⎟ −
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
= −
− ⋅
= −
上式をLaplace逆変換すると、この系のステップ応答は次式となる。
( ) ⎭ ⎬ ⎫
⎩ ⎨
⎧ ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
− −
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ + −
=
Pte
PtP P e P
P P K P
t
x
1 22 1
1 2
1
1
2 (6.14)＜インパルス応答＞ この応答はLaplace変換は伝達関数そのもので与えられる。
(
1)(
2)
1 1 22 1 1 1 22 22
1 1
P s P P
P KP P
s P P
P KP P
s P s T x K
⎟⎟ −
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
− −
⎟⎟ −
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
− −
− =
= −
( )
⎭ ⎬
⎫
⎩ ⎨
⎧
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
− −
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
= −
Pte
PtP e P
P P P
KP t
x
1 22 1 2
1 2 1
1
1
(6.15)以上のステップ応答やインパルス応答から、以下のことがわかる。
（１）指数関数項のePt、あるいはeP1 t ,e P2 t の
指数の実数部
が系の収束や発散のカギに なる。すなわち系の安定性を決定する。それは(伝達関数の分母=0)の根の実数部 の極性
に依存する。したがって、伝達関数の分母は非常に重要な意味を持っており、
[伝達関数の分母]＝0 を
特性方程式
と言い、その根を伝達関数の極
と言う。制御系が安定であるためには、この
極の実数部が正（プラス）の値でないこと
が必要十分条 件になる。
５．２ 安定の判別法
特性方程式は一般にsの高次多項式となり、３次以上では根を解析的に求めるこが困難になる。
特性方程式を解かずに、安定・不安定の判別をする方法として、「ナイキスト(Nyquist)の方法」や 特性方程式から代数的に判別する「ラウス・フルビッツ(Routh-Hurwitz 英式でルース・ハービッ ツとも呼ばれる)の方法」等がある。以下ではこれらの方法について示す。
（１）Hurwitzの安定判別法（Routhの判別法も基本的には同じ）
特性方程式： a0 s n + a1s n-1 +a2s n-2 + ・・・・・・+an = 0 において、
① a0 , a1, a2,・・・・・・, anの係数が全て存在し、
② これらが全部同符号で、
③ 次の行列式(Hurwitzの行列式）が成り立つこと。
--- (6.16)
ただし、i=2,3, ・・・・,n ak: k<0, k>nの時0とする。
この行列式はたとえば、n=2ならば次式となり、
H2= a1 = a1 ＞ 0
2次式の特性方程式を持つ伝達関数ではHurwitzの安定判別法②（全部同符号の条件）と合わせて、
全ての係数が正であることが必要で、ζ >0となる先の判別と一致していることがわかる。
n=3の場合、 a0 〜 a3が全部部同符号で、かつ
H3 = a1 a3 = a1 a2 -a0 a3 ＞ 0 a0 a2
n=4の場合、a0 〜 a4が全部部同符号で、かつ
H4 = a1 a3 0
a0 a2 a4 = a0 a1 a2 −a1
2 a4−a0 a3
2 ＞ 0 0 a1 a3
n≧5 の場合も同様であるが、行列式の解法がやや面倒になるが以下のように解ける。（詳しくは
→線形代数学の行列式計算の項を参照）
a1 a3 a5 ・・・・・・・ a2( i-1)-1
a0 a2 a4 ・・・・・・・ a2( i-1)-2
0 a1 a3 ・・・・・・・ a2( i-1)-3
0 a0 a2 ・・・・・・・ a2( i-1)-4
Hn= ・ ・ ・ ＞ 0
・ ・ ・
・ ・ ・
・ ・ ・
0 0 0 ・・・・・・・ an-1
以下、順次 の行列の第１列目が となるよう、機械的に演算操作を行って行く と行列式の解が得られる。
a1 a3 a5 ・・・・・・・ a2( i-1)-1
a0 a2 a4 ・・・・・・・ a2( i-1)-2
0 a1 a3 ・・・・・・・ a2( i-1)-3
0 a0 a2 ・・・・・・・ a2( i-1)-4
Hi= 0 0 a1 ・・・・・・・
・ ・ ・
・ ・ ・
・ ・ ・
0 0 0 ・・・・・・・ ai-1
1 a3/a1 a5/a1 ・・・・・a2( i-1)-1/a1
a0 a2 a4 ・・・・・a2( i-1)-2
0 a1 a3 ・・・・・a2( i-1)-3
0 a0 a2 ・・・・・a2( i-1)-4
= a1 0 0 a1 ・・・・
・ ・ ・
・ ・ ・
・ ・ ・
0 0 0 ・・・・・ai-1
1 a3/a1 a5/a1 ・・・・・a2( i-1)-1/a1
0 a2 -a0 a3/a1 a4 -a0 a5/a1 ・・・・・a2( i-1)-2 -a0 a2( i-1)-1/a1
0 a1 a3 ・・・・・a2( i-1)-3
0 a0 a2 ・・・・・a2( i-1)-4
= a1 0 0 a1 ・・・・
・ ・ ・
・ ・ ・
・ ・ ・
0 0 0 ・・・・・ai-1
1 a3/a1 a5/a1 ・・a2( i-1)-1/a1
0 1 (a4 -a0 a5/a1)/ (a2 -a0 a3/a1) ・・・(a2( i-1)-2 -a0 a2( i-1)-1/a1)/ (a2 -a0 a3/a1) 0 0 a3 -a1( ↓ ) ・・・a2( i-1)-3 -a1( ↓ ) 0 0 a2 -a0( ↓ ) ・・・a2( i-1)-4 -a0( ↓ )
= a1(a2 -a0 a3/a1) 0 0 a1 ・・・・
・ ・ ・
・ ・ ・
・ ・ ・
0 0 0 ・・・・・ai-1
1 0 :
{ }
0＜制御系の安定性の計算例＞
以下の制御系が安定に作動するための比例定数Kの範囲を、Hurwitzの安定判別法によって求めよ。
●伝達関数
( )
( s K )( s s ) K
s s s
K s s
K
+ + +
= +
⋅ + + ⋅ +
+ ⋅
=
1 22 2
1 1 1 1
1 1
●特性方程式：
( s +
1)( s +
2) + K =
0すなわち：
s
3+ 3 s
2+ 2 s + K = 0
●Hurwitzの安定判別法 ①より、K≠0
②より、K > 0
③より
H3 = 3 K = 6- K＞ 0 1 2
①〜③より、この制御系の安定条件は、 0 < K< 6
output
input ＋
−
s + 1
K
s 1
2
1
+
s
（２）Nyquist の安定判別法
フィードバック制御系の全体の伝達関数は、既に示したように、
( ) ( ) ( ) s H s
G s G +
1
と書き表されることを示した。
制御系の安定性は、[伝達関数の分母=0 ]となる特性方程式の根、すなわち極の実数部が正でない ことが必要十分条件であったから、
G ( ) ( ) s H s +
1=
0を満足するsの実数部が正でないことと等価 である。すなわち、G ( ) ( ) s H s = −
1とする正の実数部を持つsが存在しないことを証明すれば、制 御系は安定となる。ここで、
G ( ) ( ) s H s
のことを一巡伝達関数
と言う。さて次に、sと一巡伝達関数
G ( ) ( ) s H s
の関係を複素平面で調べてみよう。図 a は実数部が正となり制御系を不安定にする s の集合 A でこの周りの境界を右回り
s = +
0− i ∞
からs = +
0+ i ∞
の方向に周回した場合、この制御 系の一巡伝達関数の軌跡を図bに示す。写像の法 則により、この図で同一周りで囲まれた領域は集 合Aによって作られた部分であることがわかって いる。ここで、図bのようにこれらの領域に(-1,j0)が含 まれていなければ、
G ( ) ( ) s H s = −
1とする正の実数部を持つs が存在しないこととなり、制御系が 安定であることを示している。
逆に、図 cの場合は、同一周りで囲まれた領域 の中にあることから、
G ( ) ( ) s H s = −
1とする正の実数部を持つs が存在し、制御系が不安定である ことを示している。
v:指令値 x:出力(=制御量)
−
＋
H(s):ﾌｨｰﾄﾞﾊﾞｯｸ特性 G(s):制御対象
Re Im 不安定にする s
によるG(s)H(s)
・
(-1,i0)図c G(s)H(s)平面 不安定 s=(+0,+i∞)
s=(+0- i∞)
Re Im
0
不安定にする sの領域A
図a s平面
Re Im 不安定にする s
によるG(s)H(s)
(-1,i0)
・
図b G(s)H(s)平面 安定
s=(+0,+i∞) s=(+0,-i∞)
以上より、Nyquist の安定判別法は実用的には以下のように要約される。（Nyquist の本来の安定 判別法はやや複雑で、本テキストではわかりやすく以下のようにまとめる。）
① 一 巡 伝 達 関 数
G ( ) ( ) s H s
でs = i ω
と し て 、ω =
0→ ∞
に 変 化 さ せ 、( ) ( ) s H s
G
のベクトル軌跡を複素平面上に描く。（ω =
0→ ∞
の軌跡は上 記の軌跡を実軸に対して対称となる。）②この軌跡上を
ω = −∞ →
0→ ∞
の方向に進む時、点( −
1,i
0)
が進行方向の左側にあれば「安定」。右側もしくはベクトル軌跡上にあれば「不安定」
（ただし、ベクトル軌跡が複数回、点
( −
1,i
0)
を回る場合は、図 b,c に戻って領域内に( −
1,i
0)
が含まれるか否かを詳しく調べる必要がある。）＜代表的な一巡伝達関数とNyquist の安定判別例＞
（１） 一次遅れ：
( ) ( ) = + 1
Ts s K H s
G
ただし、K,T >0
Kの値にかかわらず「安定」
（２）一次遅れ×積分：
G ( ) ( ) ( ) s H s = Ts K + 1 s
ただし、K,T >0
Kの値にかかわらず「安定」
Re Im 不安定にする s
によるG(s)H(s)
(-1,i0)
・
K ω=∞
ω=0 ω=−∞
Kが大
・
Re (-1,i0)ω=+∞
ω=+0 ω=−∞
不安定にする s によるG(s)H(s) ω=−0
Kが大
Im