TC 型の運動方程式

注目系のハミルトニアンをH_S,熱浴のハミルトニアンH_R,相互作用をH₁とし、

Hˆ = H−H,˜ (4.65)

H = H0+H1, H0 =HS+HR (4.66)

とする。相互作用描像の演算子は、

X^I(t) =e^iHˆ0tXe^−iHˆ0t (4.67) で定義され、ハイゼンベルク描像の演算子は、

X(t) = ˆV⁻¹(t)XVˆ(t), (4.68) id

dtVˆ(t) = ˆHVˆ(t) (4.69)

14)ここでρ(0)は、(4.6)のものである。なお、

⟨⟨a^†(t)a(t)⟩R⟩ = Tr[ρ(0)TrR(ρRa^†(t)a(t))]

= Trtot[ρtot(0)a^†(t)a(t)]

である。

で定義される。運動方程式は、

d

dtA^I(t) = i[ ˆH₀^I(t), A^I(t)], (4.70) d

dtA(t) = i[ ˆH(t), A(t)] (4.71)

である。

Uˆ(t)を、

Vˆ(t) =e^−iHˆ0tUˆ(t) (4.72)

によって定義する。この式を微分すると、

−iHeˆ ^−iHˆ0tUˆ(t) = −iHˆ0e^−iHˆ0tUˆ(t) +e^−iHˆ0td dt

Uˆ(t) d

dtUˆ(t) = −iHˆ₁^I(t) ˆU(t) (4.73) を得る。初期条件は、Uˆ(0) = 1である。

Uˆ(t, s) = ˆU(t) ˆU⁻¹(s) (4.74)

とすると、これは、

∂

∂tUˆ(t, s) = −iHˆ₁^I(t) ˆU(t, s) (4.75) を満たす。また、

Uˆ(t, s) = ˆU(t, t^′) ˆU(t^′, s), (4.76)

Uˆ(t, t) = 1 (4.77)

を満たす。これらより、

Uˆ(s, t) = ˆU⁻¹(t, s) (4.78)

である。

射影演算子P^を

P² = P, (4.79)

P˜ = P (4.80)

を満たす任意の演算子とし、

Q^def= 1− P (4.81)

とすると、

Q² = (1− P)² = 1−2P +P² = 1− P

= Q, (4.82)

Q˜ = Q, (4.83)

QP = P − P² = 0, (4.84)

PQ = P − P² = 0 (4.85)

が得られる。今、

ˆ

x(t)^def= QUˆ(t), y(t)ˆ ^def= PUˆ(t) (4.86) とする。(4.73)は、

d dt

Uˆ(t) = −iHˆ₁^I(t)[Q+P] ˆU(t)

= −iHˆ₁^I(t)ˆx(t)−iHˆ₁^I(t)ˆy(t) (4.87) または、(4.82),(4.80)^{を用いて、}

d

dtUˆ(t) = −iHˆ₁^I(t)[Q²+P²] ˆU(t)

= −iHˆ₁^I(t)Qx(t)ˆ −iHˆ₁^I(t)Py(t)ˆ (4.88) ともかける。これに左からQ^{を作用させて、}

d

dtx(t) =ˆ −iHˆ_1,QQ^I (t)ˆx(t)−iHˆ_1,QP^I (t)ˆy(t) (4.89) を得る。ここで、

Hˆ_1,QQ^I (t)^def= QHˆ₁^I(t)Q, Hˆ_1QP^{I def}= QHˆ₁^I(t)P (4.90) である。(4.89)より、Wˆ(t)を任意の演算子として、

d

dt[ ˆW(t)ˆx(t)] = −iWˆ(t)[ ˆH_1,QQ^I (t)ˆx(t) + ˆH_1,QP^I (t)ˆy(t)] +dWˆ(t) dt x(t)ˆ

= ˆW(t)[−iHˆ_1,QQ^I (t) + ˆW⁻¹(t)dWˆ(t)

dt ]ˆx(t)−iWˆ(t) ˆH_1,QP^I (t)ˆy(t) (4.91) である。今、Wˆ_QQ(t)^を

−iHˆ_1,QQ^I (t) + ˆW_QQ⁻¹(t)dWˆ_QQ(t) dt = 0, dWˆQQ(t)

dt = iWˆ_QQ(t) ˆH_1,QQ^I (t) (4.92) を満たす、初期条件

Wˆ_QQ(0) = 1 (4.93)

の解とする。このとき、(4.91)より、

d

dt[ ˆWQQ(t)ˆx(t)] =−WˆQQ(t)iHˆ_1,QP^I (t)ˆy(t) (4.94) を得る。これを解くと、

Wˆ_QQ(t)ˆx(t)−Wˆ_QQ(0)ˆx(0) = −i

∫ _t

0

dsWˆ_QQ(s) ˆH_1,QP^I (s)ˆy(s) であり、(4.93)と(4.86)よりWˆ_QQ(0)ˆx(0) =Q^{である。上式を}x(t)ˆ について解いて、

ˆ

x(t) = ˆW_QQ⁻¹(t)Q −i

∫ _t

0

dsWˆ_QQ⁻¹(t) ˆW_QQ(s) ˆH_1,QP^I (s)ˆy(s) (4.95)

を得る。今、

Uˆ_QQ(t) ^def= ˆW_QQ⁻¹(t), (4.96) UˆQQ(s, t) ^def= ˆUQQ(s) ˆU_QQ⁻¹(t) (4.97) とする。このとき、

Uˆ_QQ(t, t) = 1, (4.98)

UˆQQ(t, u) ˆUQQ(u, s) = ˆUQQ(t, s), (4.99) Uˆ_QQ(s, t) = ˆU_QQ⁻¹(t, s) (4.100) となる。これより、

Wˆ_QQ⁻¹(t) ˆW_QQ(s) = ˆU_QQ(t,0) ˆU_QQ(0, s)

= ˆU_QQ(t, s) (4.101)

である。

(4.101),(4.96)^およびy(t)ˆ ^の定義(4.86)^{を使うと、}(4.95)^は ˆ

x(t) = ˆUQQ(t)Q −i

∫ _t

0

dsUˆQQ(t, s) ˆH_1,QP^I (s)ˆy(s) (4.102) となる。(4.102),(4.86)のy(t)ˆ の定義を、(4.87)の右辺に代入して、

d

dtUˆ(t) = −iHˆ₁^I(t) ˆUQQ(t)Q −

∫ _t

0

dsHˆ₁^I(t) ˆUQQ(t, s) ˆH_1,QP^I (s)PUˆ(s)

−iHˆ₁^I(t)PUˆ(t) (4.103)

を得る。

(4.72)^を(4.68)^{に代入し、}(4.67)^{を用いると、}

X(t) = ˆU⁻¹(t)e^iHˆ0tXe^−iHˆ0tUˆ(t)

= ˆU⁻¹(t)X^I(t) ˆU(t) (4.104)

を得る。これに真空⟨⟨1|=R⟨1| ⊗ ⟨1|^{を作用させると15)、}

⟨⟨1|X(t) = ⟨⟨1|Uˆ⁻¹(t)X^I(t) ˆU(t)

= ⟨⟨1|X^I(t) ˆU(t) (4.105)

となる。ここで、

⟨⟨1|Uˆ⁻¹(t) =⟨⟨1|Uˆ(0, t) =⟨⟨1| (4.106) を用いた。これは、(4.75)に⟨⟨1|^{を作用させた}

∂

∂t⟨⟨1|Uˆ(t, s) = −i⟨⟨1|Hˆ₁^I(t) ˆU(t, s)

= −i⟨⟨1|e^iHˆ0tHˆ₁e^−iHˆ0tUˆ(t, s)

= −i⟨⟨1|Hˆ1e^−iHˆ0tUˆ(t, s)

= 0 (4.107)

15)R⟨1|^は熱浴,⟨1|は注目系のブラ真空である。(2.10)^または(3.44)からして、全系のブラ真空は常にこうかける。初期時刻 で(4.6)である必要はない。

から得られる。第3,^第4^等号で

⟨1|Hˆ₀ = 0, ⟨⟨1|Hˆ₁ (4.108)

を用いた。これは、(3.82)^{より従う。}

Aを非チルダ演算子とする。(4.105),(4.70)より、

d

dt⟨⟨1|A(t) = i⟨⟨1|[ ˆH₀^I(t), A^I(t)] ˆU(t) +⟨⟨1|A^I(t)d dt

U(t)ˆ (4.109)

を得る¹⁶⁾。(4.103)^{を代入して、}

d

dt⟨⟨1|A(t) = i⟨⟨1|{Hˆ₀^I(t)A^I(t)−A^I(t) ˆH₀^I(t)}Uˆ(t)−i⟨⟨1|A^I(t) ˆH₁^I(t) ˆU_QQ(t)Q

−

∫ _t

0

ds⟨⟨1|A^I(t) ˆH₁^I(t) ˆU_QQ(t, s) ˆH_1,QP^I (s)PUˆ(s)−i⟨⟨1|A^I(t) ˆH₁^I(t)PU(t)ˆ

= −i⟨⟨1|A^I(t)

(Hˆ0−Hˆ₁^I(t)P)

Uˆ(t)−i⟨⟨1|A^I(t) ˆH₁^I(t) ˆUQQ(t)Q

−

∫ _t

0

ds⟨⟨1|A^I(t) ˆH₁^I(t) ˆU_QQ(t, s) ˆH_1,QP^I (s)PUˆ(s) (4.110) となる。第2^等号でHˆ₀^I(t) = ˆH0と(4.108)を用いた。これが時間畳み込み(TC)^{型の運動運動方程式で} ある。

以下では、Aを注目系の非チルダ演算子とする。

(4.110)をLangevin方程式へ移行するために、柴田と橋爪が採用した処方箋は:

処方1：射影演算子として、

P =|0⟩RR⟨1| (4.111)

を採用する¹⁷⁾。

処方2^：(4.110)^{の右辺の各項で、}Hˆ₁^I(t)について展開し、意味のある最低次までを取る。

処方3：乱雑演算子に依存する右辺第2項において、相互作用描像の演算子をハイゼンベルク描像の演 算子に置き換える。

16)ここで、

d

dt⟨⟨1|A(t) = ⟨⟨1|B(t) は、次の意味を持つ。(3.82)により、B(t)を非チルダ演算子B^′(t)にかえ、

d

dt⟨⟨1|A(t) = ⟨⟨1|B^′(t) としたとき、•を時間によらない演算子として、

d

dt⟨⟨1|A(t)|•⟩⟩ = ⟨⟨1|B^′(t)|•⟩⟩, d

dtTrtot{A(t)•} = Trtot{B^′(t)•}

が成立する。

17)|0⟩Rは、§3.1のρR|I⟩^または§3.2の|ρR⟩⟩^{に対応する。これは、}(4.6)を仮定したことに対応する。

処方1^により、⟨⟨1|APB^{のタイプの項は、}

⟨⟨1|APB = _R⟨1| ⊗ ⟨1|A|0⟩RR⟨1|B

= ⟨1|R⟨1|A|0⟩RR⟨1|B

= ⟨1|R⟨1|[

R⟨1|A|0⟩RB ]

= ⟨⟨1|R⟨1|A|0⟩RB

= ⟨⟨1|⟨A⟩RB (4.112)

となる。第3項で_R⟨1|R⟨1|A|0⟩R=_R⟨1|A|0⟩RR⟨1|を用いた。また以下では、簡単のため、

⟨A⟩R≡R⟨1|A|0⟩R (4.113)

とかく。これにより、(4.110)^は、

d

dt⟨⟨1|A(t) = −i⟨⟨1|A^I(t) ˆH₀Uˆ(t)−i⟨⟨1|A^I(t) ˆH₁^I(t) ˆU_QQ(t)(1− P)

−

∫ _t

0

ds⟨⟨1|A^I(t) ˆH₁^I(t) ˆU_QQ(t, s) ˆH_1,QP^I (s)PUˆ(s)−i⟨⟨1|A^I(t) ˆH₁^I(t)PUˆ(t)

= −i⟨⟨1|A^I(t) ˆH0Uˆ(t)−i⟨⟨1|A^I(t) ˆH₁^I(t) ˆUQQ(t) +i⟨⟨1|A^I(t)⟨Hˆ₁^I(t) ˆUQQ(t)⟩R 

−

∫ _t

0

ds⟨⟨1|A^I(t)⟨Hˆ₁^I(t) ˆU_QQ(t, s)(1− P) ˆH₁^I(s)⟩RUˆ(s)

−i⟨⟨1|A^I(t)⟨Hˆ₁^I(t)⟩RUˆ(t)

= −i⟨⟨1|A^I(t) ˆH₀Uˆ(t)−i⟨⟨1|A^I(t) ˆH₁^I(t) ˆU_QQ(t) +i⟨⟨1|A^I(t)⟨Hˆ₁^I(t) ˆU_QQ(t)⟩R 

−

∫ _t

0

ds

(⟨⟨1|A^I(t)⟨Hˆ₁^I(t) ˆU_QQ(t, s) ˆH₁^I(s)⟩R− ⟨Hˆ₁^I(t) ˆU_QQ(t, s)⟩R⟨Hˆ₁^I(s)⟩R

)Uˆ(s)

−i⟨⟨1|A^I(t)⟨Hˆ₁^I(t)⟩RUˆ(t) (4.114) となる。ただし、Aを注目系の非チルダ演算子とするとき、A^I(t)も注目系の非チルダ演算子だけでか けて、_R⟨1|A^I(t) =A^I(t)_R⟨1|であることを用いた。また、第2等号で

UˆQQ(t, s) ˆH_1,QP^I (s)P = ˆUQQ(t, s)(1− P) ˆH₁^I(s)P を用いた。

Uˆ_QQ(t, s)をHˆ₁^I(t)について展開する。まず、Uˆ_QQ(t, s)の従う微分方程式を求める。(4.97),(4.96)より、

Uˆ_QQ(t, s) = ˆW_QQ⁻¹(t) ˆW_QQ(s),

∂

∂tUˆQQ(t, s) = [∂

∂tWˆ_QQ⁻¹(t)]WˆQQ(s) (4.115) である。WˆQQ(t) ˆW_QQ⁻¹(t) = 1^{を微分して、}

0 = [d dt

Wˆ_QQ(t)] ˆW_QQ⁻¹(t) + ˆW_QQ(t)d dt

Wˆ_QQ⁻¹(t), (4.116) d

dtWˆ_QQ⁻¹(t) = −Wˆ_QQ⁻¹(t) [d

dtWˆ_QQ(t)

]Wˆ_QQ⁻¹(t)

= −iWˆ_QQ⁻¹(t)iWˆQQ(t) ˆH_1,QQ^I (t) ˆW_QQ⁻¹(t)

= −iHˆ_1,QQ^I (t) ˆW_QQ⁻¹(t) (4.117)

を得る。これを(4.115)^{に代入して、}

∂

∂tUˆQQ(t, s) = −iHˆ_1,QQ^I (t) ˆW_QQ⁻¹(t) ˆWQQ(s)

= −iHˆ_1,QQ^I (t) ˆU_QQ(t, s) (4.118) を得る。これと初期条件UˆQQ(s, s) = 1^より

UˆQQ(t, s) = 1−i

∫ _t

s

duHˆ_1,QQ^I (u) ˆUQQ(u, s) (4.119) この右辺自身を右辺のUˆQQ(u, s)^{に代入して、}

Uˆ_QQ(t, s) = 1−i

∫ _t

s

duHˆ_1,QQ^I (u)−

∫ _t

s

du₁

∫ _u1

s

du₂Hˆ_1,QQ^I (u₁) ˆH_1,QQ^I (u₂) ˆU_QQ(u₂, s)

= 1−i

∫ _t

s

duHˆ_1,QQ^I (u)−

∫ _t

s

du1

∫ _u1

s

du2Hˆ_1,QQ^I (u1) ˆH_1,QQ^I (u2) +O( ˆH₁^I)³ (4.120) を得る。O( ˆH₁^I)^3はHˆ₁^I(t)^について3次以上の項である。これより、意味のある最低次は

Hˆ₁^I(t) ˆUQQ(t) ≈ Hˆ₁^I(t), (4.121) Hˆ₁^I(t) ˆU_QQ(t, s) ˆH₁^I(s) ≈ Hˆ₁^I(t) ˆH₁^I(s) (4.122) となる。これを(4.114)^{に代入して、}

d

dt⟨⟨1|A(t) = −i⟨⟨1|A^I(t) ˆH0Uˆ(t)−i⟨⟨1|A^I(t) ˆH₁^I(t) +i⟨⟨1|A^I(t)⟨Hˆ₁^I(t)⟩R 

−

∫ _t

0

ds

(⟨⟨1|A^I(t)⟨Hˆ₁^I(t) ˆH₁^I(s)⟩R− ⟨Hˆ₁^I(t)⟩R⟨Hˆ₁^I(s)⟩R

)Uˆ(s)

−i⟨⟨1|A^I(t)⟨Hˆ₁^I(t)⟩RUˆ(t) (4.123) を得る。いま、マルチンゲールの性質

⟨Hˆ₁^I(t)⟩R= 0 (4.124)

を仮定すると、(4.123)^は、

d

dt⟨⟨1|A(t) = −i⟨⟨1|A^I(t) ˆH0Uˆ(t)−i⟨⟨1|A^I(t) ˆH₁^I(t)

−

∫ _t

0

ds⟨⟨1|A^I(t)⟨Hˆ₁^I(t) ˆH₁^I(s)⟩RUˆ(s) (4.125) となる。ところで、(4.104),(4.106)^より、

⟨⟨1|A^I(t) = ⟨⟨1|Uˆ(t)A(t) ˆU⁻¹(t)

= ⟨⟨1|A(t) ˆU⁻¹(t) (4.126) であるから、(4.125)は、

d

dt⟨⟨1|A(t) = −i⟨⟨1|A(t) ˆU⁻¹(t) ˆH₀Uˆ(t)−i⟨⟨1|A^I(t) ˆH₁^I(t)

−

∫ _t

0

ds⟨⟨1|A(t) ˆU⁻¹(t)⟨Hˆ₁^I(t) ˆH₁^I(s)⟩RUˆ(s)

= −i⟨⟨1|A(t) ˆH₀(t)−i⟨⟨1|A^I(t) ˆH₁^I(t)

−

∫ _t

0

ds⟨⟨1|A(t) ˆU⁻¹(t)⟨Hˆ₁^I(t) ˆH₁^I(s)⟩RUˆ(s) (4.127)

ともかける。第2項でH₀ =H₀^I(t)と(4.104)を用いた。右辺第1項は、

−i⟨⟨1|A(t) ˆH0(t) = −i⟨⟨1|A(t) ˆH0(t) +i⟨⟨1|Hˆ0Uˆ(t)A(t)

= −i⟨⟨1|A(t) ˆH₀(t) +i⟨⟨1|Uˆ⁻¹(t) ˆH₀U A(t)ˆ

= −i⟨⟨1|[A(t),Hˆ0(t)] (4.128)

とかける（もともと、最左辺は最右辺に由来する）。ただし、(4.108)^および(4.104),(4.106)^{を用いた。}

Aは注目系の演算子なので、

[A(t),Hˆ₀(t)] = ˆV⁻¹(t)[A,Hˆ₀] ˆV(t)

= ˆV⁻¹(t)[A,Hˆ_S] ˆV(t)

= [A(t),HˆS(t)] (4.129)

である。これを(4.128)に代入して、

−i⟨⟨1|A(t) ˆH0(t) = −i⟨⟨1|[A(t),HˆS(t)]

= −i⟨⟨1|A(t) ˆH_S(t) +i⟨⟨1|Hˆ_S(t)A(t)

= −i⟨⟨1|A(t) ˆH_S(t) +i⟨⟨1|Uˆ⁻¹(t)e^iHˆ0tHˆ_SVˆ(t)A(t)

= −i⟨⟨1|A(t) ˆHS(t) +i⟨⟨1|HˆSVˆ(t)A(t)

= −i⟨⟨1|A(t) ˆH_S(t) (4.130)

を得る。最後の等号で、

⟨1|HˆS=⟨1|HS− ⟨1|H˜S = 0 (4.131) を用いた。これは、(3.82)より従う。(4.128)を(4.125)に代入して、

d

dt⟨⟨1|A(t) = −i⟨⟨1|A(t) ˆHS(t)−i⟨⟨1|A^I(t) ˆH₁^I(t)

−

∫ _t

0

ds⟨⟨1|A(t) ˆU⁻¹(t)⟨Hˆ₁^I(t) ˆH₁^I(s)⟩RUˆ(s) (4.132) を得る。

ドキュメント内 TFD, NETFD, Stochastic NETFD (ページ 30-37)